华中师大一附中2014—2015学年度第二学期期中检测高一年级数学试题考试限时：120分钟 卷面满分：150分 命题人：黄倩 审题人：黄进林一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1．数列23，45-，87，169-，…的一个通项公式为A ．n nn n a 212)1(+⋅-= B ．n n n n a 212)1(+⋅-=C ．n nn n a 212)1(1+⋅-=+ D ．n n n n a 212)1(1+⋅-=+2．等差数列{a n }中，a 2 + a 8 =16，则{a n }的前9项和为A ．56B ．96C ．80D ．72 3．下列命题中正确的是A ．两两相交的三条直线共面B ．两条相交直线上的三个点可以确定一个平面C ．梯形是平面图形D ．一条直线和一个点可以确定一个平面4．数列{a n }满足a 1=0，24521--=+n n n a a a ，则=2015aA ．0B ．34C ．1D ．25．下列命题中正确的个数是（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α内的直线平行或异面 （3）夹在两个平行平面间的平行线段相等 （4）垂直于同一条直线的两条直线平行A ．0B ．1C ．2D ．3 6．已知0<a ，不等式04222<-+a ax x 的解集为A ．)6,7(aa - B ．)7,6(a a - C ．)72,7(a a -D ．∅7．如右图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成︒60角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个结论中，正确结论的序号是A ．①②③B ．②④C ．③④D ．①③④8．已知0>x ，则xx y 162+=的最小值为A ．12B ．16C ．20D ．109．关于x 的不等式a a x x 3|3||1|2->---的解集为非空数集，则实数a 的取值范围是 A ．21<<a B ．21732173+<<-a C ．1<a 或2>a D ．1≤a 或2≥a10．)2141211()41211()211(110+++++++++++ 的值为A ．92118+ B ．102120+ C ．112122+ D ．102118+N MF EDCBA11．正项数列{a n }，a 1=1，前n 项和S n 满足)2(2111≥⋅=⋅-⋅---n S S S S S S n n n n n n ，则=10a A ．72 B ．80C ．90D ．8212．已知正数x , y , z 满足1222=++z y x ，则xyz zs 21+=的最小值为A ．3B ．2)13(3+ C ．4 D ．)12(2+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知实数x , y 满足41≤+≤-y x 且32≤-≤y x ，则y x 32-的取值范围是 ．14．等差数列{a n }中，||||93a a =，公差0<d ，则使前n 项和S n 取得最大值的正整数n 的值是 ．15．已知)2(21>-+=a a a m ，)0(222≠=-b n b ，则m , n 之间的大小关系为 ．16．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列{a n }是等和数列，且a 1=2，公和为5，则数列{a n }的前n 项和S n = ．三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分10分）已知a ，∈b R +，12=+b a ，求ba 11+的最小值．18．（本小题满分12分） 在正方体1111D C B A ABCD -中，G 是C 1D 1的中点，H 是A 1B 1的中点（1）求异面直线AH 与BC 1所成角的余弦值；（2）求证：BC 1∥平面B 1DG ．19．（本小题满分12分）已知等比数列{a n }满足1243=+a a ，3261=⋅a a 且公比1>q ， （1）求{a n }的通项公式；（2）若nn a nb =，求{b n }的前n 项和T n ．20．（本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑 物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源 消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：)100(53)(≤≤+=x x kx C ，若不 建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设)(x f 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求k 的值及)(x f 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用)(x f 达到最小，并求最小值． 21．（本小题满分12分）数列{a n }满足31=a ，121+=+n n a a ， HG D 1C1B 1A 1DCBA（1）求证：}21{+-n n a a 成等比数列； （2）若02≥--mt t a n 对一切∈n N *及]1,1[-∈m 恒成立，求实数t 的取值范围． 22．（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足121-=n n a S ，（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证：数列{a n }中的任意三项不可能成等差数列；（3）设2)1(-=n nn a a b ，T n 为{b n }的前n 项和，求证3<n T .华中师大一附中2014—2015学年度下学期高一期中检测数学试题答案一． 选择题DDCBCA CABBAC 二． 填空题13. []3,8 14. 5或6 15. m n ≥ 16. 5,251,22n n n S n n ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数为奇数三．解答题17.解：11112(2)()3322a ba b a b a b b a+=++=++≥+ ……………….7分当且仅当2a b =且21a b +=即21,212b a =-=-时取“=”……………..9分 所以11a b+的最小值为322+ ……………………………………………10分(说明:若没有求出,a b 的具体值，本题最多给8分) 18.解：(1)连结1AD ，1HD ，∵AB ∥C 1D 1 AB =C 1D 1∴四边形11ABC D 为平行四边形， ∴AD 1∥BC 1，∴1D AH ∠为异面直线AH 与1BC 所成的角,…….….2分 设正方体棱长为1， 在1AD H ∆中，12AD =152AH D H ==， ∴222111110cos 2D A AH D H D AH D A AH +-∠==⋅ ……………..….5分∴异面直线AH 与1BC 所成角的余弦值为105…………….6分 (2)连结1BD 交1B D 于点O ， 连结OG ，易知O 为1BD 的中点， 在11BC D ∆中，OG 为中位线，∴OG ∥BC 1又OG ⊂平面1B DG 且1BC ⊄平面1B DG ∴BC 1∥平面1B DG ………………….12分 19.解：（1）16343232a a a a ⋅=∴⋅=又343412,14,8a a q a a +=>∴==31*322,n n n q a a q n N --∴=∴=⋅=∈ ………………………………………5分（2）由（1）知12n n n b -=ABC DA 1B 1C 1D 1GHOHGD 1C 1B 1A 1DCBA0121123(1)2222n n n T -=+++⋅⋅⋅+ 12n T = 121121(2)2222n n n n--++⋅⋅⋅++(1)(2)-得211111122222n n n n T -=+++⋅⋅⋅+-11()22212212nn nn n -+=-=-- 1242n n n T -+∴=- ……………………………12分（说明：第（2）问如果结果错误不给分） 20.解：（1）设隔热层厚度为x cm ， 再由(0)8C =，得40k =， ………………..2分 因此40()35C x x =+. 隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++……….6分 （2）8001600()6(610)1021600107035610f x x x x x =+=++-≥-=++ 当且仅当2(610)1600x +=即5x =时取""= ……………….11分 所以当隔热层修建5cm 厚时， 总费用达到最小值为70万元 ………………..12分21.解：（1）证明：1111211111122242222111nn n n n n nnn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a +++-+--+++-===-⋅++++++++ 1{}2nn a a -∴+是等比数列，首项为25，公比为12-……………………….5分 （2）由1）知1121()252n n n a a --=⋅-+得132211()52n n a -=--⋅- …………………..6分当n 为奇数时，32411()52n n a =--⋅ 单减 13n a ∴<≤当n 为偶数时，32411()52n n a =-+⋅ 单增112n a ∴≤<所以12n a ≥（当2n =时取等号） …………………………9分由题212t mt +≤对[1,1]m ∈-恒成立记2(),[1,1]g m tm t m =+∈-，要使1()2g m ≤需 1(1)21(1)2g g ⎧-≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩ 1331t --≤≤ ……………………………..12分（说明：第（2）问中如果不讨论n 的奇偶性，即使最终答案正确，最多给9分）22. 解：（1）11111(1)1(2)22n n n n S a S a --=-=-， (1)(2)-得 12(2)n n an a -=≥又12a ={}n a ∴为等比数列，首项为2，公比为2，*2,n n a n N ∴=∈……………..3分（2）假设{}n a 中存在三项,,()r s t a a a r s t <<按某种顺序成等差数列2n n a =单增 r s t a a a ∴<<2s r t a a a ∴=+即2222s r t ⋅=+同除以2r 得2212s rt r --⋅=+1,1s r t r -≥-≥∴左端为偶数，右端为奇数，矛盾所以任意三项不可能成等差数列 ……………………7分（3）22(21)nn n b =-当1n =时，1123T b ==<，不等式成立 ………………………8分当2n ≥时，11222(21)(21)(21)(22)(21)(21)n n n n n n n n nn b --=<=------ 1112121n n-=--- 122311111112[()()()]212121212121n n n T -∴<+-+-+⋅⋅⋅+-------1121332121n n =+-=-<--综上 ，对于一切*n N ∈有3n T <成立 …………………………12分。