第3章 “状态方程的解”习题解答3.1计算下列矩阵的矩阵指数te A 。

200200(1)020;(2)031002003--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A A0001(3) ; (4) 1040-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A（1）解 222000000ttt t e ee e ---⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A （2）解 233300000ttt t t e e e te e ----⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A （3）解()122011001111s s s s s s s s s s -⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦I A I A ()()()11101tt e L s t t --⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎣⎦A I A （4）解： 14s s s ⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦I A()1222221144124242244s s s s ss s s s s --⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦⎡⎤-⋅⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦I A 221221242422441cos 2sin 222sin 2cos 2t ss s e L s s s t t tt -⎡⎤-⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A3.2 已知系统状态方程和初始条件为()1001010,000121⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x x(1) 试用拉氏变换法求其状态转移矩阵； (2) 试用化对角标准形法求其状态转移矩阵； (3) 试用化te A 为有限项法求其状态转移矩阵； (4) 根据所给初始条件，求齐次状态方程的解。

（1）解 12100010012O O ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A A ， 其中， 12101,12⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A A 则有 1200tt t e e e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A A A 而 1tt ee =A ， ()2112t e L s --⎡⎤=-⎣⎦A I A()112101220111(1)(2)101111212s s s s s s s s s s s ---⎡⎤-=⎢⎥--⎣⎦-⎡⎤=⎢⎥---⎣⎦⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥---⎣⎦I A()2112220t tt tt e eL s e e e --⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦-⎣⎦A I A 所以状态转移矩阵为()112200000tt t t tt e e L s e e e e --⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦A I A （2）解21(1)(2)012I λλλλλ--==--=--A 121,2λλ==对于11λ=，100011101⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦1P P对于22λ=，2210001001⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦P P110101111-⎡⎤⎡⎤=⇒=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦P P2122220010100111100t tt tt tt t t e ee e e e e ee -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A P P2200000tt t t tt e e e e e e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦P （3）解 矩阵的特征值为1,21λ=,32λ=对于32λ=有： 2012()2()4()t e t t t ααα=++ 对于1,21λ=有： 012()()()t e t t t ααα=++ 因为是二重特征值，故需补充方程 12()2()t te t t αα=+ 从而联立求解，得：202122()2()322()t tt t t t t tt e te t te e e t e e te ααα=-=-+=-- ()()20122222222()()()20100020322010002012100100 0100100120120000 0t t t t t t t t t t t t t t t t t t e t t t e te e te te e e e te e e te e e e e e ααα=++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A I A A（4）解：0)0222()()(0)001000001t t t t t t t tt t t e t e e e e e e e e -==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A(A x x x3.3 矩阵A 是22⨯的常数矩阵，关于系统的状态方程式= xAx ，有 1(0)1⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 时， 22t t e e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x2(0)1⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 时， 2t t e e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x试确定这个系统的状态转移矩阵(,0)t Φ和矩阵A 。

解：因为系统的零输入响应是()(,0)(0)t t =x x Φ所以221(,0)1t t e t e --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦Φ，22(,0)1t t e t e --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦Φ将它们综合起来，得22122(,0)11tt t t e e t e e ----⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦Φ 122222222122(,0)11122112222tt tt t t t t t t t t t t t t e e t ee e e ee e e e e e ee e -----------------⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤--=⎢⎥--⎣⎦Φ 而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵0(,)t t Φ满足微分方程()()00,,dt t t t dt=A ΦΦ 和初始条件 ()00,t t =I Φ因此代入初始时间00t =可得矩阵A 为：0100022220(,)(,)2224240213t t t t t t t t t t t d t t t t dt e e e e e e e e -==--------=⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎡⎤-+-+=⎢⎥-+-+⎣⎦⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦A ΦΦ3.9 已知系统= xAx 的转移矩阵0(,)t t Φ是 2202222()(,)2t tt t t tt t e e e e t t e ee e --------⎡⎤--=⎢⎥--⎣⎦Φ 时，试确定矩阵A 。

解 因为 0(,)t t Φ是状态转移矩阵， 所以有 00(,)(,)d t t t t dt ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭A -1ΦΦ 将00t =，00(,)t t I =Φ代入得：0213-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 3.10 已知系统状态空间表达式为011341u ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦x x[]11y =x(1) 求系统的单位阶跃响应； (2) 求系统的脉冲响应。

（1）解 0134⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，[]1,111⎡⎤==⎢⎥⎣⎦B C1(4)3(3)(1)034λλλλλλλ--==-+=--=-I A121,3λλ⇒==11λ=时， 1111013301-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦P P23λ=时， 2231013103-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦P P 1113⎡⎤=⎢⎥⎣⎦P 131311221111222-⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦P 13333333111002213110223111222233132222ttt t t t tt t t t t t e e e e e e e e e e e e e -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦⎡⎤--+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦A P P将()1()u t t =代入求解公式得：3313323111(0)2222()(0)33132222t tt t t t t t e e e e x t x e e e e ⎡⎤--+⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦x +3()3()3()3()013112333tt t t t t t t t e e e e d e e e e τττττττττ--------⎡⎤--+⎡⎤⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎰ 331233123(0)(0)122333(0)(0)122t t ttt ttt t t e e e e x x e e e e e x x e ⎡⎤---+-⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦若取(0)0=x ，则有 1()1t t e t e ⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦x[][]111()11221t t t e y t e e ⎡⎤-===-⎢⎥-⎣⎦x（2）解 由（1）知te =A 33333111222233132222t t t t t t t t e e e e e e e e ⎡⎤--+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦取()(0)u t δ=，则有3313323()3()3()3()03312313111(0)2222()(0)33132222131(0)123333(0)(0)2233(0)2t tt t t t t t tt t t t t t t t t t ttt tte e e e x t x e e e e e e e e d e e e e e e e e x x e e e x ττττττττδτ--------⎡⎤--+⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦⎡⎤--+⎡⎤+⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦---+=--⎰x 323(0)2t t t e e x e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦若取0(0)0⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x ，则有()t t e t e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x ，[]()112t t t e y t e e ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦3.11 求下列系统在输入作用为：① 脉冲函数；② 单位阶跃函数；③ 单位斜坡函数下的状态响应。

(1) 1001a b a u b a b ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦x x(2) ()0101u ab a b ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦ xx （1）解0000at tbt a e e b e ---⎡⎤⎡⎤=⇒=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A A ① ()()u t t δ=，()()()()()1()0212100000101(0)1(0)ata t t btb t atat bt bt x e e b a t d x e e a b e x e b a e x e b a ττδτ----------⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎡⎤+⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎰x取()00=x ，则()11at bt e b a t e b a --⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦x② ()()1u t t =，()()()()()1()021201101(0)()()1(0)()()at a t t bt b t at at bt bt e x e t d e x b a e e e x a b a a b a e e x b b a b b a ττττ----------⎡⎤⎡⎤=+⋅⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤+-⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥--⎣⎦⎰x若取()00=x ，则有 ()1()()1()()at bt e a b a a b a t e b b a b b a --⎡⎤-⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦x ③ ()u t t =， ()()1()20(0)1(0)tat a t bt b t e x e t td b a e x eτττ------⎡⎤⎡⎤=+⋅⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎰x()()()()()()()()()()221222122222101011010at at bt btat at bt bt t e e x a a a e x b a t e b b b t e e x a b a a b a a b a t e e x b b a b b a b b a --------⎡⎤+-⎢⎥⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦--+⎢⎥⎣⎦⎡⎤++-⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥--+⎢⎥---⎢⎥⎣⎦若取()00=x ，则有()()()()()()()222211at bt t e a b a a b a a b a t t e b b a b b a b b a --⎡⎤+-⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥--+⎢⎥---⎢⎥⎣⎦x （2）解()010,1ab a b ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦A B ()()()()1ab a b a b ab a b λλλλλλλ--=++=+++=++=⎡⎤⎣⎦I A所以12,a b λλ=-=-1a λ=-时， 111010a abb a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦P P 2b λ=-时， 221010b aba b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦P P 11a b ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦P 1111b a b a ---⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦P1111001101atat t bt bt atbtat btat bt at bt b e e e a b a a b e e be ae eea b abe abe ae be ---------------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+-+=⎢⎥---⎣⎦A P P① ()()u t t δ=，()12()()()()()()()()0(0)1(0)01(0)1()1at btat bt at bt at bt ta tb t a t b t a t b t a t b t bt at x be ae e e t x a b abe abe ae be be ae e e d a b abeabe ae be ae be x a b ττττττττδτ--------------------------⎡⎤-+-+⎡⎤=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+-+⎡⎤+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦-=-⎰x 1212(0)()(0)()(0)()(0)at bt at btat bt at bt at bt e e x e eabe abe x ae be x ae be ----------⎡⎤+-+-+⎢⎥-+-+-⎣⎦取(0)0=x ， 则有1()at bt at bt e e t a b ae be ----⎡⎤-+=⎢⎥--⎣⎦x② ()()1u t t =，()()()12()()()()()()()()01010011()1()(0)1at btat bt at btat bt a t b t a t b t t a t b t a t b t bt at x be ae e e t x a b abe abe ae be be ae e e d a b abe abe ae be ae be x a b ττττττττττ--------------------------⎡⎤⎡⎤-+-+=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+-+⎡⎤+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦-=-⎰x 2121111()(0)()(0)()(0)at btat bt at bt at bt at bte e x e e b a a babe abe x ae be x e e ----------⎡⎤+-++-+-⎢⎥⎢⎥-+--+⎣⎦取(0)0=x ， 则有 11111()at bt at bt e e t b a a ba be e ----⎡⎤-+-⎢⎥=⎢⎥--+⎣⎦x ③()u t t =，()()()()12()()()()()()()()01010011()0(1at btat bt at btat bt ta tb t a t b t a t b t a t b t at bt x be ae e e t x a b abe abe ae be be ae e e d a b abeabe ae be be ae x e a b ττττττττττ--------------------------⎡⎤⎡⎤-+-+=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+-+⎡⎤+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦-++-=-⎰x ()()()2221211)011()0()0at bt at btat bt at bt at btat e bt e e x a b at e bt e abe abe x ae be x a b ----------⎡⎤-+-++-+⎢⎥⎢⎥-+-+⎢⎥-+--+⎢⎥⎣⎦取(0)0=x ， 则有 ()2211111at bt at bt at e bt e a b t a b at e bt e a b ----⎡⎤-+-+-+⎢⎥⎢⎥=--+-+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦x 3.12 线性时变系统()()()t t t = xA x 的系数矩阵如下。