2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题二 三角函数、平
面向量 第三讲 平面向量课时作业 文
1．(2016·唐山模拟)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →
＝( ) A.12AB →＋12AD →
B.34AB →＋12AD →
C.34AB →＋14
AD →
D.12AB →＋34
AD → 解析：因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12()
AB →＋AC →＝12
(AB →＋AD →＋DC →
)＝12
(AB →
＋AD →
＋12AB →)＝34AB →＋12
AD →，故选B.
答案：B
2．(2016·高考全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8
解析：解法一 因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)． 因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.
解法二 因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2
＝3－2m ＋32
＋(－2)2
＝16－2m ＝0，解得m ＝8. 答案：D
3．(2016·河北三市联考)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则m
n
等于( ) A ．－1
2
B.12 C ．－2
D ．2
解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪
⎧
λn ＝m －λ＝2
，故m
n
＝－2.
答案：C
4.如图，在等腰直角三角形ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过点C 作
AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，则OP →·(OB →－OA →
)＝( )
A ．－12
B.12 C ．－32
D.32
解析：依题意AB ＝2，∠OAB ＝45°，又CP →⊥AB →，AC →＝14AB →，∴OP →·(OB →－OA →
)＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫OA →
＋14AB →＋CP →·AB →＝OA →·AB →＋14AB →2＋CP →·AB →＝－1＋12＝－12. 答案：A
5．(2016·湖南东部六校联考)设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )
A ．－1
3
B.13 C ．－1
D ．0
解析：由已知可得，a ·b ＝2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝1
3，故选B. 答案：B
6.(2016·广州三校联考)如图，在半径为1，圆心角为90°的直角扇形OAB 中，Q 为AB 上一点，点P 在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )·OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ →
的最大值为( )
A.1
2 B.22
C.3
4
D ．1
解析：解法一 ∵OP →＝tOA →＋(1－t )OB →，∴B ，P ，A 三点共线，且BP →＝tBA →
，又0≤t ≤1，∴P 在线段BA 上运动，∵Q 为AB 上一点，设∠POQ ＝θ，∴OP →·OQ →＝|OP →|·|OQ →
|·cos
θ≤1×1×1＝1，即当P ，Q 两点重合且位于点A 或点B 处时，OP →·OQ →
取得最大值1，故选
D.
解法二 特殊位置法，取t ＝1，得点P 与点A 重合，又取点Q 与点A 重合，∴OP →·OQ →＝OA →2
＝1，对比选项A ，B ，C 的值都比1小，故选D. 答案：D
7．(2016·高考全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a∥b ，则m ＝__________. 解析：利用两向量共线的坐标运算公式求解． ∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a∥b ， ∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6. 答案：－6
8．△ABC 中，点M 是边BC 的中点，|AB →|＝4，|AC →|＝3，则AM →·BC →
＝________. 解析：AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝1
2×(9－16)＝－72.
答案：－7
2
9．(2016·天津模拟)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°，E 为DC 的中点，那么AC →与EB →
所成角的余弦值为________．
解析：AC →＝AB →＋AD →，|AC →|2＝|AB →＋AD →|2＝7；EB →＝AB →－AE →＝12AB →－AD →，|EB →|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12AB →－AD →2
＝1.
故AC →·EB →＝(AB →＋AD →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AD →＝12
，cos 〈AC →，EB →〉＝AC →·EB →
|AC →||EB →|＝714.
答案：
714
10．(1)向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，求|a ＋b |和a ＋b 与c 的夹角；
(2)设O 为△ABC 的外心，已知AB ＝3，AC ＝4，非零实数x ，y 满足AO →＝xAB →＋yAC →
，且x ＋2y ＝1，求cos ∠BAC 的值．
解析：(1)∵a ⊥c ，∴2x －4＝0，x ＝2，
∵b ∥c ，∴－4－2y ＝0，y ＝－2.
∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b |＝32
＋－1
2
＝10.
设a ＋b 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ＋b ·c |a ＋b |·|c |＝3×2＋－1×－410×20
＝2
2.
∵0≤θ≤π，∴θ＝π4，即a ＋b 与c 的夹角为π
4.
(2)设AC 的中点为D ，连接OD (图略)， ∵AO →＝xAB →＋yAC →＝xAB →＋2yAD →
， 又x ＋2y ＝1，∴O ，B ，D 三点共线． 由O 为△ABC 外心，知OD ⊥AC ，BD ⊥AC ，
在Rt △ADB 中，AB ＝3，AD ＝12AC ＝2，所以cos ∠BAC ＝AD AB ＝2
3
.
11．已知向量a ＝(1，3sin ωx )，b ＝(cos 2
ωx －1，cos ωx )(ω>0)，设函数f (x )＝a ·b 的最小正周期为π. (1)求ω的值；
(2)求函数f (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的单调区间． 解析：(1)由题意知，f (x )＝a ·b ＝cos 2
ωx －1＋3sin ωx ·cos ωx ＝12cos 2ωx ＋32sin
2ωx －12＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6－12，
因为函数f (x )的最小正周期为π，所以2π
2ω
＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－12，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，3π2， 所以当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；
当2x ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π2，即x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6
，2π3时，函数f (x )单调递减．
12．(2016·甘肃联考)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n . (1)求角B 的大小；
(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围．
解析：(1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ， ∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，
∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0， ∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0， 即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A ， ∴cos B ＝－1
2.
∵0°<B <180°， ∴B ＝120°.
(2)由余弦定理，得b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos 120°＝a 2
＋c 2
＋ac ＝(a ＋c )2
－ac ≥(a ＋c )2
－⎝
⎛⎭
⎪⎫
a ＋c 22
＝34
(a ＋c )2
，当且仅当a ＝c 时取等号， ∴(a ＋c )2
≤4，∴a ＋c ≤2，
又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2]．。