第一章随机事件与概率一、单项选择题1•掷一枚骰子，设A=｛出现奇数点｝, B=｛出现1或3点｝，贝U下列选项正确的是().A. AB=｛出现奇数点｝B. AB =｛出现5点｝C.B =｛出现5点｝D. AU B2.设A、B为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是().(A B) B A. (A B) B A B A AB(A B) B A B . AB AB A3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A=｛第i次正面向上｝(i =1,2)，则“至少有一次正面向上”可表示为().A I A2U A1A2 A A2 A1A2 U A2某人向一目标射击3次，设A表示“第i次射击命中目标”(i =1，2，3)，则3次都没有命中目标表示为().A A2 A3 A A2 A3 AA2A3 AA2A3设A与B为互为对立事件，且P(A) O,P(B) 0，则下列各式中错误的是().P(A|B) 0 P(B| A) 0 P(AB) 0 P(AU B) 1 设事件A与B相互独立，P[A)=, P( B)=,贝UP(A|B)=().A. 0.2B.0.4C. 已知事件A与B互不相容，P(A)>0, P( B)>0,则().P(AU B) 1 . P(AB) P(A)P(B)P(AB) 0. P(AB) 08.设P(A)=0, B为任一事件,则().A A B与B相互独立与B互不相容9.已知P(A)=, P(B)=,且 A B,则P(A| B)=()..0.4 C. 设A与B为两事件,则AB =().AB AUB AI B AI B 设事件 A B,P(A)=, P( B)=,则P(AUB)().A. 0.3B.0.2C. 设事件A与B互不相容，P(A)=, P(B)=,则P(A|B)=().A. 0.08B.0.4C.设A B 为随机事件，P( B)>0, P(A| B)=1,则必有().P(AUB) P(A) . A B(A)=P(B)( AB»=P(A)中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为().C. 某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4 4人中恰好2男 2女的概率为().616.某种动物活20年的概率为，活25年的概率为，现有一只该种动物已经活了 20年，它 能活到25年的概率是().A. 0.48B.0.75C.将两封信随机地投到4个邮筒内，贝U 前两个邮筒内各有一封信的概率为().0.25 C一批产品的合格品率为96%而合格品中有75%!优质品，从该批产品中 任取一件恰好是优质品的概率为().0.75 C 设有10个产品，其中7个正品, 个都是正品的概率为().4— 4-设有10个产品，其中8个正品,10 10 C 10 10个，取后放回，则取到的3个产品都是正品的概率为().0.42 0.63 C ；0.420.63 C ；0.430.62随机地抛掷质地匀称的6枚骰子,则至少有一枚骰子出现6点的概率为().C 61(5)51 C 61(5)5C 6-(1)51 (-)6把3个不同的球分别放在3个不同的盒子中,则出现6 6 6 6 6 6 62个空盒的概率为().1 1- 1从123,4,5,6六个数字中,等可能地、有放回地连续抽取4个数字，则取到的49 2 3 3 个数字完全不同的概率为().14.从 1,2,3,4,5A. 0.4B.0.2人参加社会活动，则3 3.0.4C..3个次品，现从中任取4个产品，则这42个次品，现从中抽取3次，每次任取1().旦 C3 £ C 310 G 3)103103某人打靶的命中率为, 现独立地射击5次，则5次中恰有2次命中的概率为未中第二次命中的概率为().2.(1- p) C.(1- p)二、填空题1. 一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为.2. 甲乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为3. 设袋中有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为.4. 从数字1, 2,…，10中有放回地任取4个数字，则数字10恰好出现两次的概率为.5. 甲乙丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别是，，，则目标被击中的概 率为.6. 甲袋中装有两白一黑共3个球，乙袋中装有一白两黑共3个球，从甲袋中任取一球放入 乙袋中，再从乙袋中任取一球，则取到白球的概率为 .7. 设事件 A 与B 互不相容，P(A)=, P(B)=,则 P(AUB)=. 8. 设事件A 与 B 相互独立，且P(A+B)=, P(A)=,则P(B)=. 9. 设 P(A) 0.3,P(B| A) 0.6，则P(AB=.1 110. 设 P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) -,P(BC) 0，则 P(A+B+C=4 611. 已知 P(A)=, P(AB)=,则 P(AB)=.12. 某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为，则4次射击中恰好命中3次的概率为. 13. 已知 P(A)=, P(B)=, P( B|A)=,则P(A|B)=.11114. 设 P(A) P(B| A) P(A| B) 一，则 P(AU B)=.4 3 215. 一批产品的废品率为4%而正品中的一等品率为60%从这批产品中任取一件是一等 品的概率5 4! A , 4! 18 6! A 4 6"某人每次射击命中目标的概率为 p(Ovpvl)，他向目标连续射击，则第一次为.16.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为，则飞机至少被击中一炮的概率为三、计算题1.设P(A)=, P(B)=, P(B| A) 0.3,求P(AB 以及P(A| B).2.已知 A B,P(A) 0.2,P(B) 0.3,求：(1) P(A), P(B) ; (2) P(A^ ; (3) P(AB) ; (4)P(AUB) ；(5) P(BA).3.若事件A与B互不相容，P(A)=, P(A+B=,求：(1) P(AB) ；(2) P(A|B) ；(3) P(AB).4.已知事件A与B相互独立，且P(A)=, P(A+B=,求⑴ P(B) ；(2) P(AB) ；(3) P(A|B).四、应用题1.一批产品共有50个，其中40个一等品、6个二等品、4个三等品，现从中任取3个产品，求3个产品中至少有2个产品等级相同的概率.把钥匙中有3把能打开门，现从中任取2把，求能打开门的概率.3.将5双不同的鞋子混放在一起，从中任取4只，求这4只鞋子至少能配成一双的概率.4.从0，1, 2, 3这4个数中任取3个进行排列，求取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数的概率.5.一批零件共100个，次品率为10%每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求下列事件的概率：(1)第三次才取得合格品；(2)如果取得一个合格品后就不再取零件，在三次内取得合格品.6.盒子中有8个红球和4个白球，每次从盒子中任取一球，不放回地抽取两次，试求：(1) 两次取出的都是红球的概率；(2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率；(3) 第二次取到红球的概率.7.某工厂有三台设备生产同一型号零件，每台设备的产量分别占总产量的25% 35% 40% 而各台设备的废品率分别是，，，今从全厂生产的这种零件中任取一件，求此件产品是废品的概率.8.两台车床加工同一种零件，加工出来的零件放在一起，已知第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是，且第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍(1)求任取一个零件是合格品的概率；(2)如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率.9.已知5%勺男人和％的女人是色盲,假设男人女人各占一半.现随机地挑选一人，求：(1)此人恰是色盲的概率是多少？(2)若随机挑选一人，此人是色盲，问他是男人的概率多大？(3)若随机挑选一人，此人不是色盲，问他是男人的概率多大？10.现有10张考签，其中4张是难签，甲、乙、丙三人抽签考试(取后不放回) ，甲先乙次丙最后，求下列事件的概率：(1)甲乙都抽到难签；(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签；(3)甲乙丙都抽到难签；(4)证明：甲乙丙抽到难签的机会均等.11.三个人向同一敌机射击，设三人命中飞机的概率分别为，和.若三人中只有一人击中，飞机被击落的概率为；若有两人击中，飞机被击落的概率为；若三人都击中，则飞机必被击落. 求飞机被击落的概率.12.在上题中，假设三人的射击水平相当，命中率都是，其他条件不变，再求飞机被击落的概率.13.已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为，求：(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率.14.一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率第一台为，第二台为，第三台为，且三台机床是否需要看管彼此独立. 求在一小时内三台机床中最多有一台需要工人看管的概率.15.加工某一零件共需经过三道工序，设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%，3%，5%.假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？16.甲、乙、丙三人独立地破译一密码，他们各自能破译出的概率分别是，，，求此密码被破译的概率.17.有甲、乙两批种子，发芽率分别为和，各在两批中随机取一粒，求：(1)两粒种子都能发芽的概率；(2)至多有一粒种子能发芽的概率；(3)至少有一粒种子能发芽的概率.18.一批产品有70%的一级品，进行重复抽样检查，共抽取5件样品，求：(1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p1；(2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率p2；(3) 取出5件样品中至少有一件一级品的概率p 3.19. 一射手对一目标独立地射击4次,若至少命中一次的概率为80 ,求射手射击一次命中81目标的概率.20. 一射手对一目标独立地射击，每次射击命中率为p,求射击到第4次时恰好两次命中的 概率•五、证明题1. 设0<P(B)v1，证明事件A 与B 相互独立的充分必要条件是 P(A|B) P(A| B).2. 证明条件概率的下列性质：(1)若P(B)>0，则 0 P(A|B) 1,P( | B) 1,P( |B) 0 ；则 P(AUB|C) P(A|C) P(B |C)；(3) P(A| B) 1 P(A| B).第二章随机变量及其概率分布11下列函数中可作为某随机变量的概率密度函数的是4 210 x 100 xx 100 0,⑵若A 与 B 互不相容，p(C) 、单项选择题1.设随机变量X 的分布律为则 P{X<1}=()..0.2C.设随机变量X 的概率分布为 则 a=().A. 0.2B.0.3C.设随机变量X 的概率密度为f (x) x 2' 0, x 1,则常数c=().x 1122设随机变量X的概率密度为f(x)3小ax , 0 x 0, 其它1则常数a=().100 7 0, ().h 0 x 2冷2x 30,其它0,其它6. 设函数f(x)在区间［a,b ］上等于sin x ,而在此区间外等于0;若f(x)可以作为某连续 型随机变量的概率密度函数，则区间［a,b ］为().[0, —][0, ] [ -,0] [0,—]下列函数中，可以作为某随机变量 X 的分布函数的是().2 2 20, x 00.3, 0 x 1 F(x) . F(x)0.2, 1 x 2 1,x 2A. F (x) 一定连续B. F (x) 一定右连续C. F(x)是不增的D. F(x) 一定左连续 9. 设F(x) P(X x)是随机变量X 的分布函数,1 1 22已知随机变量X 的分布律为宀 2x, 0 x 1 MtI 度f(x) 0,其它'则P{2a(-)k ,(k 1,2,3...)，贝U 常数 a=(). A. F (x)是定义在( )上的函数B. lim F (x) xlim F(x) 1xP(a X b) F(b) F(a).对一切实数x ,都有 0<F(x)<1 10.设随机变量的概率分布为P(Xk)0.5x, 0.8, 0 1, x 0, x 00.1, 0x5 F(x). F(x)0.6, 5x6 1, x 60, sin x, 1,8.设F(x)是随机变量X 的分布函数, 则()•则下列结论错误的是().F(x)是X 的分布函数，贝U F=().A. 0.7B.0.8C.随机变量X 的概率密().1113 4 3 2 4已知随机变量X 的分布律为 若随机变量Y=X\则P{Y=1}=().A. 0.0016B.0.0272C. 设随机变量 X~N(1 , 4) , Y=2X+1, Y~().(1,4)(0,1)(3,16)(3,9) (x)是N(0,1)的分布函数，贝U P(a X b)=().[0,5][2,17][2,15][0,17]20. 某种商品进行有奖销售，每购买一件有的中奖率.现某人购买了 20件该商品，用随 机变量X 表示中奖的件数，贝U X 的分布为().A. 正态分布B.指数分布C.泊松分布D.二项分布21. 设X 服从参数 2的泊松分布，F(x)是X 的分布函数，贝U 下列正确的选项是(). F(1) e 2. F(0)(X=0)=P(X=1)D. P(X 1) 2e922. 设X 服从参数 的泊松分布，且P(X 1) 2 P(X 3)，贝U =(). .2C.二、填空题1.若 P(X x 2) 1 , P(X x 1) 1 ,其中 X 1VX 2,则 P(x 1 X x 2)=.A. 0.1B.0.3C.设随机变量X~B(4,,则P{X>3}=().16.设X ~ N( , 2), (b) (a). (b)(a)J) (a-).17.设 X~N(-1 , 4),(x)是 N[0,1)的分布函数，贝U P(-2< X<0)=().12(2) 则(0)().1 (0)2) (2)1(2)(0)设X~N(0，1)， (x)是X 的概率密度函数,2.0.5 C.19. 设X 服从均匀分布U[0, 5]，Y=3X+2,则 丫 服从().3. 若X 是连续型随机变量,则4. 设随机变量X 的分布函数为F(x),已知F(2)=, F(-3)=,则P( 3 X 2)=.8. 设随机变量X 的分布律为10. 设随机变量X 服从参数为6的泊松分布,写出其概率分布律. 11. 若随机变量X~B(4,,则P(X 1)=. 12. 若随机变量X~U(0,5),且Y=2X,则当0 y 13. 设随机变量 X~N(0,4)，则 P(X 0)=. 114. 设随机变量X~U(-1,1)，则P(| X |丄)=.216. 设随机变量X~N(-1,4)，则丫 —〜.2 17. 设随机变量X 的分布律为P(X k)莘，k3k设随机变量X 的概率分布为 记丫二％,则 P(Y=4)=.P(X=1)=.5.设随机变量X 的分布函数为F(x)e^dt,则其密度函数为.0,6.设连续型随机变量X 的分布函数为 F(x)sin x, 0 x ,其密度函数为f (x),则2 1,f(6)=7.设随机变量X 的分布函数为F(x)1 e 0,,则当x>0时,X 的概率密度f(x)=. 0则 P(0 X 1)=.9.设随机变量X~h(3,4),则 P(4 X 5).(其中(1) 0.8413,(0.5) 0.6915)10时,丫的概率密度f Y (y)=.15.设随机变量X 在［2,4］上服从均匀分布，则 P(2 X 3)=.0,1,2,...，贝U a=.kx 10x218. 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x)，0，则k=.0, 其匕19. 若随机变量 X~N(1,16) , Y=2X-1，则 Y~. 20. 若随机变量 X~U(1,6) , Y=3X+2,则 Y~.三、计算题0, x 01. 设连续型随机变量X 的分布函数为F(x) x 2, 0 x 1，求X 的概率密度函数.1, x 12. 设X 服从参数卩=的0-1分布，求X 的分布函数及P(Xv.3. 设随机变量X~U( a, b)，求X 的密度函数与分布函数.4. 设随机变量 X~N(3,4)，求：(1) P(2<X<3) ； (2) P(-4< X<10)；⑶ P(| X|>2)；⑷ P(X>3).5. 已知随机变量X 的密度函数为f(x) 衣‘ 0, ⑶ P( 1 X 0.5).10. 设X~U ［0 , 4］，Y=3X+1，求丫的概率密度.11. 已知随机变量X~N ［1，4)，Y=2X+3，求丫的概率密度. 12. 已知X 服从参数 1的指数分布，Y=2X-1，求丫的概率密度.四、应用题8.设随机变量X 在［0，5］上服从均匀分布，求方率分布；(3)X 2的分布律.求4x 20 x 其它 11求：(1)常数k ；⑵分布函数;6.设随机变量X 的概率密度为 f(x)x,1 2 0,其它求X 的分布函数.x,7.设随机变量X~f(x)2 0,x, x 其它求: (1) P(X 11 3刁；⑵兀X 2).4Xx X 20有实根的概率.1.一批零件中有10个合格品和2个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出废品后不再放回，用X表示在取得合格品以前已取出的废品的个数，求：(1)随机变量X的分布律；⑵随机变量X的分布函数.2.袋中有标号为1，2，2，3，3，3的六个球，从中任取一个球，求所取出的球的号码X 的概率分布及分布函数•3.袋中有标号为1, 2, 2, 3, 3, 3的六个球，从中任取两个球，X表示取出的两个球的最大号码，求X的概率分布.4.设一批产品共1000个,其中40个是次品，随机抽取100个样品，按下列两种方式抽样，分别求样品中次品数X的概率分布•(1)不放回抽样；⑵有放回抽样•5.抛掷一枚质地不均匀的硬币，每次正面出现的概率为1,连续抛掷10次，以X表示正3面出现的次数，求X的分布律.6•有一繁忙的交通路口，每天有大量的汽车经过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为•在某天的该段时间内有1000辆汽车经过，问出事故的次数不小于2的概率.7.以电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：(1)每分钟恰有4次呼唤的概率；(2)每分钟的呼唤次数至少有4次的概率.8.袋中装有8个球，其中3个红球、5个白球，现从袋中任取3个球，求取出红球数的概率分布.9.已知某类电子元件的寿命X (单位：小时)服从指数分布，其概率密度为1 -X—e 1000 , x 0f (x) 1000 ,0, x 0一台仪器装有3个此种类型的电子元件，其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作，假设 3 个电子元件损坏与否相互独立.试求：(1)一个此类电子元件能工作1000小时以上的概率P1；⑵一台仪器能正常工作到1000小时以上的概率P2.10.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在以下来设计的.设男子身高X服从170 (厘米)， 6 (厘米)的正态分布，即X ~ N(170,62).问车门高度应如何确定？五、综合题1.设10件产品中有2件次品，现进行连续无放回抽样，直至取到正品为止，求：(1)抽样次数X的概率分布；⑵X的分布函数F(x)；(3)P(X 2), P(1 X 3).2.司机通过某高速路收费站等候的时间X(单位：分钟)服从参数3的指数分布.5(1)求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p；(2)若该司机一个月要经过此收费站两次，用丫表示等候时间超过10分钟的次数，写出丫的分布律，并求P(Y 1).3.甲乙丙三人独立地等1, 2, 3路公共汽车，他们等车的时间(单位：分钟)都服从［0，5］上的均匀分布，求三人中至少有两人等车不超过2分钟的概率.4.设测量距离时产生的随机误差X~N(0，104)(单位：米)，现作三次独立测量，记丫为三次测量中误差绝对值大于的次数，已知(1.96) 0.975.(1)求每次测量中误差绝对值大于的概率p；(2)问丫服从何种分布，并写出其分布律；(3)求三次测量中至少有一次误差绝对值大于的概率.5.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (单位：分钟)服从参数-的指数分布.10某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开.他一个月要到银行5次，以丫表示他未等到服务而离开窗口的次数.(1)写出丫的分布律；(2)求该顾客一个月至少有一次未等到服务而离开窗口的概率.6.设连续型随机变量X的分布函数为：0, x 03 系数A；4 X的概率密度；⑶ P(0.3 X 0.7)；⑷丫=X2的概率密度.F(x) Ax2, 0 x 1，求:1, x 17. 连续型随机变量X 的分布函数为F(x) A Barctanx,( (1)常数A , B ； (2) P( 1 X 1); (3) X 的概率密度.8. 设X 是连续型随机变量，其概率密度为：Ax 2,0 x 2 f(x) 其它 0, 其匕求：⑴系数A 及分布函数F(x)；⑵ P(1 X 2); (3) Y=2X 的概率密度. 9. 设X 的分布律为：求：(1)Y=(X1)2的分布律；⑵丫的分布函数；(3) P( 1 Y 2).第三章多维随机变量及其概率分布 一、单项选择题1. 设二维随机变量(X Y)的分布律为:亶1618设二维随机变量(X, Y)的分布律为:X-1123PC. 设随 机变量X 与 丫相互 独立，且)，求:P(X+YC 1)=().A.0.4B.0.3C. 设二 (X,Y)的分布函数为F(x, y)，贝U ().F Y (y)设随机变量X 与丫相互独立，且X~N(3,4), 丫~叫2,9),则Z=3X-Y~().(7,12)(7,27)(7,45)(11,45)N( 1, ；)N( 1, I) N( 2, 12) N( 2, l)二维随机变量(X,Y)只取如下数组中的值 (0,0),(-1,1),(-1, -),(2,0)，且相应的概率依次为 —,-,丄,§，则c 的值为().3 2c c 4c 4c.3 C 设随机变量(X, 丫的联合概率密度为f (x, y)，则P(X 1)=().1dx f (x, y)dy. f (x, y)dx1dy f(x,y)dx. 1 dx f (x, y)dy(2 x y)0 09.设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y) ce ,\J J,y 0，则常数c 为 0, 其匕10. 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，其边缘分布函数为F x (x)、F Y (V )，且对某一组禺，力有F(X 1,yJ F X (X 1)F Y (%)，则下列结论正确的是().和丫相互独立和丫不独立和丫可能独立，也可能不独立和丫在点(X 1,yj 处独立11. 设二维随机变量(X,Y)〜N( 1, 2, 12, 2,)，且X 与丫相互独立，则().120 12, 12 12 2设随机变量X 与丫相互独立，且X ~ N( 1, 12),Y~N( 2,；)，则下列结论正确的是().2 2 2X Y~N( 12,( 12) ) . X Y~ N( 12, 12)维随机变量F(x,)F x (x)6.设二维随机变量(X,Y)~ N( 1, 2)，则 Y~().()..0.C.、填空题度 f (x, y).4. 设随机变量X 与丫相互独立，其概率密度分别为:则二维随机变量（XY ）的联合概率密度为.关于丫的边缘概率密度f Y （y ）=.1 1 f (x,y )，则 f(；,；)=. 8.设二维随机变量（XY ）的概率密度为f （x,y ） 1, V:宀2,0 y 0, 其匕VP{x1}.X Y ~ N( 122,1；)• (X,Y)〜N( i22,1I)6.设二维随机变量（XY ）的概率密度为 f(x,y) e ( 0,y), x 0,y 其它，则当y 0时,（x, 丫 i.设二维连续随机变量 (X, 丫 在区域 G={( x, y) | x2y 2 4｝上服从均匀分布，则其概率密 f x (X)xe , x0, x 0 ，f Y (y)2e 0,2y, y 0 y 05.设二维随机变量（XY ）的概率密度为 f(x,y)1, 0,x 1,0 其它y 1，则7.当0 x 1,0 y 1时，随机变量（X.Y ）的分布函数2F(x,y) x y，其概率密度为1，则2.设二维随机变量（XY ）的分布律为:则P{X=Y}=.，且其分布律密度 f x （X ）=.10. 设二维随机变量（X, Y ）的概率密度为:则（X,Y ）关于X 的边缘概率密度为.三、计算题求边缘分布律；⑵ 试问X 与丫是否相互独7. 设二维随机变量(XY) f (x, y) 4Xy ， ° I 1,0 y 1，求边缘概率密度.9.设二维随机变量（XY ）的概率密度为f （x,y ）±e>2y 1 2），则（X,Y ）关于X 的边缘概率 f(x,y) 3(X y), 00,x 2,0其它C ；关于X ，丫的边缘分布•离散型随机变量（X,Y ）的联合分X ，丫的边缘分布.散型随机变量（XY ）的等可能值求:(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).于X, Y 的边缘概率分布. 机变量(X,Y)只能取下列数组中1 …(0,0),( 1,1),( 1-),(2,0)，且取31115 次为—，-，， • 6 3 12 121立？为什么？的概率密度为1.已知二维离散型随机变量（X, Y ）的联合分布为:这些值的概率依6.设二维随机变量（XY ）0, 其匕1 2 2 R 2 R 2' X y，求边缘概率密度.0, 其它9. 已知二维随机变量(X.Y)的概率密度为:ax 22xy 2,0 x 1,0 y 1 0, 其它求：⑴常数a ；(2)(人Y)关于X , 丫的边缘概率密度.10. 设二维随机变量(X, Y)的分布律为:求：⑴Z 1 X Y 的分布律;(2) Z 2 XY 的分布律.四、综合题1. 箱子里装有12件产品, 箱子里任取一件产品，共取两 下：8.设二维随机变量(XY)的概率密度为f(x,y)f(x, y)其中2件是次品，每次从 次,定义随机变量X(1) ( X, Y)的联合概率密度；(2) ( X, Y)关于X , 丫的边缘概率密度，并问随机变量X 与丫是否独立? (3) ( X, 丫的分布函数.4. 已知二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为:求：(1)随机变量(X, Y)的概率密度;⑵ P(Y X).第四章随机变量的数字特征 一、单项选择题随机变量X 的概率分布律为 则期望EX=().A. 1.2B.1.3C. 随机变量 X为则方差DX=().B. 2.5C. 设随机变量X 服从kxy 2,0 x f(x,y)0, 1,0 y 1 其它求：(1)常数k ；(2)( X, Y)关于X ，丫的边缘概率密度⑶X 与丫是否相互独立？为什么? (4) P(X Y 1).5.设二维随机变量(XY)的概率密度为:f(x,y)ke 0(3x 4y),x 0, y 0 其它 ，求：(1)常数k ；(2) P(0 X 1,0 Y 2)； (3) ( X,Y 的分布函数;(4) 随机变量X 与 丫是否相互独立?6.设X 与丫相互独立，x 服从均匀分布qo, f Y (y)丄］，丫的概率密度为:55y,y5e0,的概率分布律参数为2的指数分布,则下列各项中正确的是()•=,D)=设随机变量X 与丫相互独立，X K 从参数为2的指数分布，Y~B(6,,则E(X-Y)=(). 0.5 C 设随机变量X 与丫相互独立，X~B(16,，丫服从参数为9的泊松分布，则D(X-2Y+3)=()..-11丄2丄11,丄已知随机变量刈服从均匀分布1［1,5］，则下列各项中正确的是().3 18 3 6 3 6 2 184 4 =2, DX=4=3, DX=Z3 3 1 1=3, DX=」=2, DX=」3 38. 设X 为随机变量，EX=2，DX=5,则 E(X+2)2=(). .9 C已知随机变量 刈服从参数为 的泊松分布，且P(X 1) P(X 2)，则X的期望EX=()..1 C 设x 服从［0,1］上的均匀分布，贝U D(2X)=().丄 1 1 1设随机变量X 与丫相互独立，X~N(2,4 2), Y~N3,3 2),则E(X+Y), D(X-Y)的值分别 12 34 6为().，，25C.5， ， 712. 设二维随机变量(X,Y)~ N( 1, 2, 12, f ,)，若 0,则().与丫一定独立与丫一定不独立与丫不一定独立与丫仅不相关，但不独立13. 设X 与丫为两个随机变量，且 X,Y 0，则().与丫一定独立与丫不相关与丫独立且不相关与丫仅不相关，但不独立14设随机变量 X~N2,4),则Q2X+5)=(). 1 2x 0.8 C设随机变量X 的分布函数F(x) 1 e ,X 0，则EX 与DX 为().0, x 0，4， 0.5 C. ， ， 2C.6. 已知随机变量X 的概率密度f(x) O x,0其;1，则B 与DX分别为().16.已知DX=1, Dy25, X,Y 0.4，则D(X-Y)=()..22 C 已知 DX=4, DY=9, X,Y 0.5，则 D(2 X-3Y)=()..61 C 设随机变量 X 与丫的协方差 Cov(X,Y)-，且DX=4, DY=9,贝U XY =().61 11- 1丄若随机变量X 与丫满足E(XY) EX EY ，则下列结论不正确的是().216 36 6与丫不相关与丫相互独立D(X Y) DX DY .相关系数 XY =O20.已知二维离散型随机变量(X, Y)的分布律为:则E(X+Y)与E(XY 分别是().A.2.1 , , 0.8 C.二、填空题1.设随机变量X 的期望叭=.1230 12.设随机变量X 与丫相互独立，且X ~ N(12),Y~ N( 2,；),则E(X+Y)=2, ,D(X+Y)=.3. 设随机变量X 与丫相互独立,且X~N(1,4), Y~B(10,，则 E(2X-3Y)=,D(2X-3Y)=.4.随机变量X 服从0-1分布,且EX=,则P(X=0)=.5. 设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则D(2X+1)=.6. 设随机变量X 的分布律为则 E(W)=.7.已知二维离散型随机变量 则 E(XY=.相关系数X03PX-11P011 2的分布律为:Y02PY~N(0,1), Cov(X,Y) 0.5 ,则D(X+Y)=.EX=2,方差 DX=4,则则 E (XY =.10.设(X,Y)8.设随机变量X 与Y 相互,且 DX>0,DY>0 ,则X 与Y 的9.设随机变量X 与Y 相互,其分布律分别为:D(X-Y)=.随机变量X~N(0,1),11. 设DX=9, DY=25,相关系数 XY 0.5，则 D(X-Y)=.12. 设随机变量X 与丫相互独立，且EX=EY=0, E(X 2)=E(Y 2)=1，则E(X+Y)2=,D(X+Y)=.13. 已知二维随机变量(X,Y) ~ N(1,1,4,9—)，则 Cov(X,Y)=.2设随机变量X 的分布律为令 Y=2X+1，则 EY=.15. 设随机变量X 11X 21..., X n 独立1n,若Y 丄 X i ，则EY=n i 1三、计算题设随机变量X 的分布律为 求：(1) EX (2) E(X 2) ； (3) E(3X 3+5).设随机变量X 的分布律为 求：期望EX 与方差DX3. 设随机变量X 的概率密度为 f(x) 6X(1 X)，°甘X 1，求：期望EX 与方差DX0, 其匕0,|x| 1x, 0 x 12 x, 1 x 2，求：期望EX 与方差DX 0, 其它—0 x 44，求：⑴ E(X 2Y),E(XY);⑵ D(X 2Y 3).0,其它7. 已知二维随机变量(X, Y)的概率分布为4.设随机变量X 的概率密度为f(x)1\1 x 2|x| 1，求:期望EX 与方差DX6.设随机变量X 与丫相互独立，且X 服从参数2的泊松分布，丫的概率密度为同分布，且均值5.设随机变量X 的概率密度为f (x)f(x)Cov(X,Y).四、应用题1. 甲、乙两台自动车床，生产同一种标准件，生产1000只所出的次品数分别用X 、Y 来表示，经过一段时间的考察，X 、丫的分布律分别为:的圆盘直径服从均匀分布U ［a ，b ］，求圆盘面积的期望.3.有甲、乙两种牌号的手表，它们日走时的误差(单位：秒)分别记作 X 、丫，且日走时误差所服从的分布律如下: 每年对某厂生产的29寸彩色电视机的需求量是随机变量X(单位：万台)，它均匀分布于［10，20］.每出售一万台电视机，厂方获得利润50万元，但如果因销售不出而积压在仓库里，则每 一万台需支付库存费10万元，问29寸彩色电视机的年产量应定为多少台， 才能使厂方的平均 收益最大？五、综合题1. 设随机变量X 的概率密度在［0，1］之外为0,在［0，1］上的密度与X 2成正比.求：(1)X的分布函数；⑵ 期望EX 和方差DX2.设X 服从参数为 的泊松分布，已知P(X 2) P(X 3)，且 P(X 4) aP(X 0)，求：⑴ 常数a ； (2) E[(2 X 1)(2X 1)].3. 设随机变量X 与丫相互独立，它们的概率密度分别为:求：(1)E(X+Y)，E(XY ；012312求：协方差Cov(X,Y)与相关系8.设(X,Y)在圆域G {( x,y) | x 2 y 2 R 2}内服数从均匀分布，求2.X0123P台机床加工 质量好？ 某车间生产X-101P市场上f x (X)2e 2x, x 0, x0，fY(y) 4e 4y, y 0 0, y 0问哪一 的产品问哪种 表质量4.牌 更号的手 好(2) D(X+Y , D(2 X-3Y).4.设X~N5,5) , Y在［0,］上服从均匀分布，相关系数XY 0.5，求：E(X 2Y)和D(X 2Y).5.设随机变量X11X21..., X n相互独立，且服从同一分布，期望为，方差为2，令—1 nX — X i，求：EX,DX .n i i6.设二维随机变量(XY)的分布律为:求：(1)边缘概率密度;(2) EX EY；⑶ Cov(X,Y).8.设随机变量X~ f (x) x 「,0 x 22 ，试求:0,其它(1) EX DX (2) D(2-3X)；⑶ P(0 X 1).9.设连续型随机变量X的分布函数为：0, x 0F(x)-, 0x8，81, x 8 求：(1) X勺概率密度f(x)；(2)EX DXDX(3)P{| X EX| D X}.2 ?10.设随机变量X~ f (x) ax K X 1，且EX0,其匕Y X 1 X 2.求：⑴DX DY ⑵X 与丫的相关系数X ,Y .12.设二维随机变量(X, Y)的概率密度为:求：(1)边缘分布密度;(2) E(X+Y)，E(XY)，Cov(X,Y)； ⑶ P(X Y 1).第五章大数定律及中心极限定理 、单项选择题1. 设随机变量X 的方差DX=2,则利用切比雪夫不等式估计P(|X EX | 8)的值为(). X 的期望EX 与方差DX 都存在，则对任意正数，有().右，求: (1)常数a，b；⑵DX11.设随机变量X i 与X 2相互独立，且X i ~N(2),X 2 ~ N( , 2).令 X X 1 X2, 0 f(x,y) o,x 1,0 y x其它31 丄 丄里设32 32 32 32P(|X EX DX1 )2 P(|X EX 1 ) 1 jDX)~23.设随机变量 Z n ~B(n, p) , n=1,2,…, 其中 0<p<1，则 lim P{x}n Wp(1 p) ().t?"dt.t 2Tdt1T et 2?dt.1 T et 2?dt.P(| X EX | 厂 P(| X EX4.设随机变量%,人，…，X i0o 独立同分布,EX i O ，DX j 1,i 1,2,...,100，则由中心极限定100理得P{ X i 10}近似于().i 1(1) (10) (100)设％为n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，P 是事件A 在每次试验中X 发生的概率，则对于任意的 0, lim p{|仝p| }().nn.1C.D. p6. 设随机变量X 1,X 2,…，X n ,…相互独立，且X 都服从参数为丄的指数分布，则当n 充分大时，21n随机变量乙 6X i 的概率分布近似服从(). n i 14 1 1N(2,4) N(2,—) N(—, ) N(2n,4n)二、填空题n 2 4n1. 设EX=-1，DX=4,则由切比雪夫不等式估计P{-4< X<2}>.2. 已知随机变量X 的期望EX=100,方差DX=10,估计X 落在(80,120)内的概率.3. 设随机变量X,%，…，X,…相互独立且同分布，它们的期望为 ，方差为2，令1n 乙丄 X i ，则对于任意的 n i 14. 设％,人，…，X n ,…是独立同分布的随机变量序列，且有EX inX i nDX i 2 0(i 1,2,...)，则对于任意实数 x ，］im P{ ' 1— x}.5. 设X 1,X 2,…，X n ,…是独立同分布的随机变量序列，且 X 都服从参数为的0-1分布，记100Z X i ，则 P{Z 30}.i 16. 在n 重独立重复试验中，设P(A)=P ，X 为A 发生的次数，则当n 充分大时，X 近似服从.三、计算题1. 已知随机变量X 服从均匀分布1［0，1］，估计下列概率：6 P{| X 0.5 |0，lim P{| Z n| }n50Z X i ，试用中心极限定理计算P(Z 3).i 13. 设P(A)=，现在进行1000次独立重复试验，(1)估计事件A 发生的次数在300~500之间的概率；⑵ 求事件A 发生的次数在300~500之间的概率.4. 设P(A)=，利用中心极限定理求在100次重复独立试验中A 至少发生60次的概率.5. 设X~l[-1，1], Y~N0,丄)，且X 与Y 相互独立，估计概率 P(-1<X+Y<1).4四、应用题1. 设某商店每天接待100人，设每位顾客的消费额(元)服从[0，60]上的均匀分布，且 顾客的消费是相互独立的.求商店的日销售额超过3500元的概率.2. 保险事业是较早应用概率论的部门之一， 他们为了估计企业利润，需要计算各种各样的概率.若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率为，现在 10000个这类人参加人寿保险， 试求未来一年中这些保险者里死亡人数不超过 70的概率.3. 设元件的正品率为，若要以的概率保证箱内正品数大于1000只，问箱内至少要装多少 只元件？4. 某车间有100台车床，设每台车床的工作是独立的，且每台车床的实际工作时间占全 部工作时间的80%求：(1)任一时刻有70至86台车床工作的概率； ⑵任一时刻至少有80台车床工作的概率.4. 解：设在某一时刻工作着的车床数为 X ，由题意知：X ~ B(100,0.8)，则EX=80, DX=16.由棣莫夫一一拉普拉斯中心极限定理得： X 近似服从N(80,16). 则(1)任一时刻有70至86台车床工作的概率为：(1.5) ( 2.5)(1.5) (2.5) 1 0.927 ；(2)任一时刻至少有80台车床工作的概率为：(5)(0) 1 0.5 0.5.1⑵ P { 2 x|.2.设 X(i =1,2,...,50) 是相互独立的随机变量，且都服从泊松分布P,令。