量子力学自测题（21）
1、已知一维运动的粒子在态)(x ψ中坐标x 和动量x p 的平均值分别为0x 和0p ，求在态
)()(0/0
x x e x x ip +=-ψϕ 中坐标x 和动量x p 的平均值。

解：已知粒子在态)(x ψ中坐标x 和动量x p 的平均值分别为
0*
)()(x dx x x x x ==
⎰+∞
∞-ψψ
0*)()(p dx x x i x p x =⎪⎭
⎫
⎝
⎛∂∂-=
⎰+∞
∞
-ψψ
现粒子处在)(x ϕ态，坐标x 和动量x p 的平均值
)())(()()()()(000*00**
=-=''-''=++==⎰⎰⎰∞
+∞
-+∞
∞
-+∞
∞
-x x x d x x x x dx
x x x x x dx x x x x ψψψψϕϕ
)()()]()()[()]([)()()(00*00/0/00*/0/0*/*00000=+-=''⎪⎭⎫ ⎝⎛
'∂∂-'+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-++-+=
+⎪⎭⎫ ⎝⎛
∂∂-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎰⎰⎰⎰∞
+∞
-∞
+∞
---+∞
∞
--+∞∞-p p x d x x i x p dx x x x i e x x e p x x e dx
x x e x i x x e dx x x i x p x ip x ip x ip x ip x ip x ψψψψψψψϕϕ
2、一体系服从薛定谔方程
),(),(21)(22121221222
12r r E r r r r k m ψψ=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+∇+∇-
（1）指出体系的所有守恒量（不必证明）；
（2）求基态能量和基态波函数。

解：（1）体系的哈密顿量为
2
212222122
122r r k m m H -+∇-∇-= 引入质心坐标R 和相对坐标r
： )(2
121r r R += 21r r r -=
在坐标变换r R r r
,,21⇒下，体系的哈密顿量变为 2
22222
122kr M H r R +∇-∇-= μ 2/2m m M ==μ
容易得知系统的守恒量为z L L E ,,2。

（中心力场） （2）相对运动哈密顿量为
22222222
1
2212r kr H r r r μωμμ+∇-=+∇-= μ
ωk
=
相对运动为三维各向同性谐振子，基态能量和波函数为
ω 23=N E 2
221
2
/33)(r e r απ
αψ-= ,2,1,0=N
μω
α=
3、设t=0时氢原子处在态 ]322[10
1)0,(121211210100-+++=
ψψψψψr
（1）求体系能量的平均值；（2）任意t 时刻波函数),(t r
ψ；（3）任意t 时刻体系处在1,1==m l 态的几率；（4）任意t 时刻体系处在0=m 态的几率。

解：氢原子定态能量和波函数为
),()(),,(222
ϕθϕθψlm nl nlm n Y r R r an e E =-
=
（1）a
e E E E 401153522
21-=+=
（2）任意t 时刻波函数
)]}(3)(2)([)(2{10
1),(121211210/100/21r r r e r e t r t iE t iE
---+++=
ψψψψψ
（3）任意t 时刻体系处在1,1==m l 态的几率为1/5； （4）任意t 时刻体系处在0=m 态的几率为1/2。

4、一维谐振子受到微扰2
cx H ='作用，式中c 为常数。

在粒子数表象中，
)(22
/1++⎪
⎭
⎫
⎝⎛=a a m x ω
+
a a ,分别为湮灭算符和产生算符，满足 >++>=>
->=
+1|1|1||n n n a n n n a
（1）用微扰论求准确到二级近似的能量值；
（2）求能量的准确值，并与微扰论给出的结果相比较。

解：（1）由1],[=+
a a 得 ]21)([2)(22222a a a a c a a c cx H ++++++=+=
='μω
μω
利用 >++>=>
->=+1|1|1||n n n a n n n a 计算微扰矩阵元得
})2)(1()12()1({2|]21)([|2||2,2,22+-+++++++-=
>+++<>='=<'n m mn n m mn
n n n n n c n a a a a m c n H m H δδδμω
μω
零级近似能量、一级和二级修正能量分别为 ω ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21)
0(n E n
μω c n H E nn n ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+='=21)
1(
322322)
0()0(2
)
2(221)]2)(1()1([8ωμωμ
c n n n n n c E E H E
n
m m
n mn
n
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-=++--=-'=∑
≠
精确到二级近似的能量值为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=42222121ωμμωωc c n E n （2）现求能量精确值
2
20222222
12212x p cx x p H μωμμωμ+=++=
2
/122
0212⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=+=μωωμωωc c
本征能量
()2
/12
/12
0121212121λωμω
ωω+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+= n c n n E n
2
2,2,1,0μω
λc
n =
=
视λ为微小量，则
+++=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=)
2()1()0(282121n n n n E E E n E λλω 其中 ω ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21)
0(n E
n
μω c n E n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21)1( 3
22)
2(221ωμ c n E n ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-= 能量精确解的前三项与分别与零级近似能量、一级和二级修正能量相同。

5、设+
a a ,分别为湮灭算符和产生算符，满足对易关系1],[=+
a a 。

体系的哈密顿量为 D a Ca a Ba Aaa H +++=+
+
+
（1）问D C B A ,,,满足什么条件H 才是厄密算符？（2）求体系的能量。

解：（1）容易得知H 是厄密算符的条件是D C B A ,,,均为实数，且B A =，则
D a Ca a a A H +++=+
+])([22 （1） （2）由（1）式得
)(1
)(22D H A
a a a a A C -=++++ （2） 令 +
+=a a b γλ a a b γλ+=++ 其中γλ,为待定实数 ],[],[],[],[2
2
a a a a a a a a
b b +
+
+
+
+
+=++=γλγλγλ 已知 1],[=+
a a 则得 2
2
],[γλ-=+
b b
为使+b b ,与+
a a ,满足相同的对易关系 1],[=+
b b 则 12
2
=-γ
λ
计算 =+
b b )(a a γλ+++
++++++=+aa a a a a a a 2222])([)(γλγλγλ
利用 1],[=+
a a
a a aa +++=1
得 =+
b b 2
2
2
2
2
])([)(γλγγλ++++++
a a a a
所以
)(1)(22222γλγ
λγγλ-=++++
++b b a a a a （3） 比较（2）式和（3）式，如令
A
C
=+λγγλ22 则得
)(1
D H A -)(12γλγ-=+b b 由此可得 =
H D b b A
+-+)(2γλγ
（4）
如果已知γλ,，则H 的本征值为 =
n E D n A
+-)(2γλγ
,2,1,0=n
现在来求γλ,,由于 12
2
=-γλ
A
C
=+λγγλ22 解之得
2
222424A
C A C C --+=
λ
2
2
22424A
C A C C ---=
λ 2
2
4A
C A -=
λγ
所以 =n E A C D A C A
C C n A C 2424422222
2
>+⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛----
- ,2,1,0=n。