量子力学自测题（22）参考答案
1、（a ），（b ）各10分
（a ）能量有确定值。

力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。

（b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’）
选择定则：l ∆＝1±，m ∆＝0,1±，s m ∆＝0
根据：电矩m 矩阵元-e →r
n’l’m’ms’，n l m ms ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分
（a ）∧K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。

（b ）∧F ψ＝λψ，
ψ∧F ＝λψ K ＝ψ∧K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧G ψ-ψG ψ｝＝0
（c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧
K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )
ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧
K >≥0，即2F +2G ≥K 3、(a)，(b)各10分
(a) ∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ωνν
ω
-］
∧H ψ＝E ψ，ψ＝［b a
］，令E ＝2
λ，则 ［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων
ν
λω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2
22νω+，E 2＝2 22νω+
当ω»ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+222ων）＝ω+ων22
E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2
［ω+ων22］
（b ）∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝∧H 0+∧H ’，∧H 0＝ω∧z S ，∧H ’＝ν∧
x S ∧H 0本征值为ω 21±，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）＝ω 21
相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01
] 则∧
H ’之矩阵元（S z 表象）为 '11H =0，'22H =0，'12H ＝'21H ＝ν 21
E 1＝E 1（0）+'11H +
)0(2)0(12'21E E H
-＝-ω 21+0-ων 2241＝-ω 21-ων241 E 2＝E 2（0）+'22H +)
0(1)0(22'12E E H -＝ω 21+ων241 4、E 1＝2222ma π，)(1x ψ＝⎪⎩⎪⎨⎧0sin 2a x a π a x x a x ≥≤<<,00
x ＝dx x a ⎰021ψ＝2sin 202a dx a x x a a
=⎰π x p ＝-i ⎰=a dx dx d 011ψψ-i ⎰=a a x d a 020)sin 21(2π
x xp ＝-i ⎰⎰-=a
a a x d a x x a i dx dx d x 00
11)(sin sin 2ππψψ ＝
⎰-a a x xd a i 02)(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --⎰a dx a x 02]sin π ＝0+⎰=a
i dx ih 0
2122 ψ 四项各5分
5、（i ），（ii ）各10分
（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。

),(21→→r r ψ有：)(1→r a ψ→)(2r a ψ，)(1→r b ψ→)(2r b ψ，)(1→r c ψ→)(2r c ψ，
)]()()()([21
2121→
→→→+r r r r a b b a ψψψψ
a c c a
b
c c b 共6种。

（ii ）s ＝21
，单粒子态共6种：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡01a ψ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡10a ψ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡01b ψ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡10b ψ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡01c ψ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡10c ψ。

任取两个，可构成体系（交换）反对称态，如
⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡→→→→2211221101)(01)(01)(01)(21r r r r a b b a ψψψψ ＝[21)()(21→→r r b a ψψ-)]()(21→
→r r a b ψψ210101⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 体系态共有
1526=C 种 或：a ψ，b ψ，c ψ三种轨道态任取两个，可构成一种轨道对称态[2
1
)()(21→→r r b a ψψ+)]()(21→→r r a b ψψ及一种反对称态
[21)()(21→→r r b a ψψ-)]()(21→→r r a b ψψ，前者应与自旋单态x 00相乘，而构成体系反对称态，共3种。

后者应与自旋三重态x 11， x 10 ，x 1-1相乘而构成体系反对称态，共3⨯3＝9种。

但轨道对称态还有)(1→r a ψ→)(2r a ψ型，共3种型，各与自旋单态配合，共3种体系态，故体系态共3+3+9＝15种。