解 已知的本征解为 (n、nx、ny、nz=0，1，2…)
对于基态而言，由于nx=ny=nz=0，故可以直接使用无简并微扰论公 式进行讲算 利用公式 可知 于是有 能量的二级修正为 近似解为
下面利用坐标变换求体系的精确解。由于微扰项与z方向无关，故 可以只考虑另外两个方向的坐标变换。令
； 即
；
因此哈密顿算符可以改写为
量子力学自测题（16）
一、（20分）线谐振子在t=0时处于 态上，其中为线谐振子第n个能量本征值En对应的本征函数。
（1）求在态上能量的可测值、取值概率与平均值； （2）写出t>0时刻的波函数及相应的能量取值概率与平均值。 二、（20分）设是算符的本征函数，相应之本征值为，算符满足对 易关系。证明：（其是）也是的本征函数，其相应的本征值分别为(n-1) 和(n+1)。 三、（20）设做一维自由运动的粒子t=0时处于 态上，求t>0和t>0时粒子动量与动能的平均值。 四、（20分）两个自旋为的非全同粒子，自旋之间的相互作用是， 其中C是实常数，分别是粒子1和粒子2的自旋算符。设t=0时，粒子1的 自旋沿z轴的正方向，粒子2的自旋沿z轴的负方向，求t>0时测量粒子2 的自旋处于z轴负方向的概率。 五、（20分）三维各向同性谐振子的哈密顿算符为 试写出能量本征值与本征函数。如这谐振子又受到微扰的作用，求基态 能量到二维修正，并与精确解比较。
若令
；
则哈密顿算符为
最后得到精确解为 基态能量为 由于，故可以利用公式 将根式展开至的二次项，得到 与微扰论的二级近似结果完全一致。
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解 体系的哈密顿算符为 选择耦合表象，由于S=0，1，故四个基底分别为
；；； 在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即 可以直接写出它的解为
； ； ； ； 已知t=0时，体系处于 因为哈密顿算符不显含时间，故t>0时刻的波函数为 粒子2处于z轴负方向的概率为 五、（20分）三维各向同性谐振子的哈密顿算符为 试写出能量本征值与本征函数。如这谐振子又受到微扰的作用，求基态 能量到二维修正，并与精确解比较。
； ； ； 能量平均值为 （2）由于哈密顿算符不显含时间，故有 因为哈密顿量是守恒量，所以能量的取值概率和平均值皆与t=0时一 样。 二、（20分）设是算符的本征函数，相应之本征值为，算符满足对
易关系。证明：（其是）也是的本征函数，其相应的本征值分别为(n-1) 和(n+1)。
解 用粒子数算符作用到上，即 上式表明是的本征态，相应的本征值为（n-1）。
同样，用粒子数算符作用到 上，即 上式表明也是的本征态，相应的本征值为（n+1）。
三、（20）设做一维自由运动的粒子t=0时处于 态上，求t>0和t>0时粒子动量与动能的平均值。
解 由于动量算符与动能算符对易，它们有共同本征函数 将t=0时的波函数写成的线性组合，即 归一化常数为
动量的取值概率为 ；；
量子力学自测题（16）参考答案
一、（20分）线谐振子在t=0时处于 态上，其中为线谐振子第n个能量本征值En对应的本征函数。
（1）求在态上能量的可测值、取值概率与平均值； （2）写出t>0时刻的波函数及相应的能量取值概率与平均值。 解 线谐振子能量的本征值为 利用归一化条件 可知归一化常数为 归一化的波函数为 （1）在态上，能量的可能取值及相应的取值概率为
动量的平均值为 动能的平均值为
因为动量算符和动能算符皆与哈密顿算符对易，故它们都是守恒 量，而守恒量的取值概率与平均值皆不随时间改变，故t>0时的结果与 t>0时完全一样。
四、（20分）两个自旋为的非全同粒子，自旋之间的相互作用是， 其中C是实常数，分别是粒子1和粒子2的自旋算符。设t=0时，粒子1的 自旋沿z轴的正方向，粒子2的自旋沿z轴的负方向，求t>0时测量粒子2 的自旋处于z轴负方向的概率。