量子力学自测题5
一、填空题（本题20分）
1．Planck 的量子假说揭示了微观粒子 特性，Einstein 的光量子假说揭示了光的 性。
Bohr 的氢原子理论解决了经典电磁场理论和原子的 之间的矛盾，解决了原子的 的起源问题。
2．力学量算符必须是 算符，以保证它的本征值为 。
对一个量子体系进行某一力学量的测量时，所得到的测量值肯定是 当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的，除非体系处于 。
测量结果的不确定性来源于 。
两个力学量同时具有确定值的条件是 。
二、（本题15分）
1．设算符a
ˆ具有性质{}
1ˆ,ˆ,0ˆ2==+a a a 。
求证： （1）a a N
ˆˆˆ+
≡本征值必为实数。
（2）N N
ˆˆ2= （3）N
ˆ的本征值为0或者1。
2．利用对易式σσσi 2=⨯，求证：
{}0,=j
i
σσ，),,,(z y x j i =，其中，j
i
σ
σ,为
Pauli 矩阵。
三、（本题15分）
1．设氦原子中的两个电子都处于1s 态，（不简并）两个电子体系的空间波函数为
)()(),(2100110021r r r r ψψψ=
（1）写出两个电子体系的四个可能的自旋波函数4321,,,χχχχ。
（2）写出对两个电子的交换反对称的总体波函数),,,(2121z z s s r r ϕ（同时考虑空间自 由度和自旋自由度）。
2．一电子处于自旋态)(2
1z z ↓+↑=
ψ，求：
（1）在自旋态ψ下，z
S ˆ的可能测值与相应的几率。
（2）在自旋态ψ下，x
S ˆ的可能测值与几率。
四、（本题15分）
设一个类氢离子的电荷数由Z 变成Z+1，试用微扰方法计算基态能量的一级近似值。
已知：类氢离子的基态能量本征值和本征函数分别为
a e Z E n 222-=，a
Zr
e
a Z -
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=2
/31001πψ
计算时，可利用积分公式
2
241α=
⎰
∞
-dx xe ax 。
五、（本题20分）
设一维谐振子的能量本征函数为)(x n ψ，求：
（1）动量ρ
ˆ在)(x n ψ态下的平均值。
（2）动能T ˆ在)(x n
ψ态下的平均值。
如有必要，可以利用 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=+-)(21
)(2)(11x n x n x dx d n n n ψψαψ 六、（本题15分）设一量子体系的Hamilton 量为
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=3*
3
*2
32*1
211
ˆE a a a E a a a E H
而且，1,,2
3
2
22
1<<a a a ，试利用微扰法计算体系能量的一，二级修正值。
量子力学自测题5参考答案
一、填空题
1．能量的量子化，粒子，稳定性，线光谱
2．厄米，实数，该力学量的本征值，该力学量的某一本征态，态的叠加，两个力学量算符对易
二、1．证明 （1）因为N a a a a N
ˆˆˆ)ˆˆ(ˆ===++++，所以N ˆ是一个厄米算符，它的本征值必为实数。
（2）N a a a a a a a a a a N
ˆˆˆˆ)ˆˆ1(ˆˆˆˆˆˆ2==-==+++++。
（3）设N
ˆ的本征值为n ，本征矢量为n ，则因为 n N n N
ˆˆ2= 所以
n n n n =2
从而得到n 2
-n=0,可见，N
ˆ的本征值为n=0或n=1。
2．证明 由 σσσi 2=⨯ 得
z y x i σσσ2],[=
即
z x y y x i σσσσσ2=- （1）
（1）式的两边左乘x σ得，
z x x y x y i σσσσσσ2==
右乘x σ得，
x z y x y x i σσσσσσ2=-
两式相加得
0)(2=+x z z x i σσσσ
这就是说，
{}0,=x z σσ
完全相同的方法可以证明，
{}0,=z y
σσ
，{}0,=y x σσ
三、1．解 (1)四个可能的自旋态有，
↑↑=1χ
)(2
12↓↑+↑↓=
χ
↓↓=3χ
(2
14↓↑-↑↓=
χ
（2）因为空间波函数对21ˆ,ˆr r 的交换对称，对两个电子的交换反对称的总体波函数为：
))(ˆ()ˆ(2
1)ˆ()ˆ(1001100421001100↓↑-↑↓==r r
r r
ψψχψψϕ 2．解 （1
）在自旋态)(2
1
z z ↓+↑=
ψ下，z
S ˆ的可能测值为2 或-2 ，相应的几率分别为
2
1。
（2
）把自旋态ψ
写成
x z z ↑=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=
↓+↑=
1121100121][2
1ψ
可见，自旋态ψ正是z
S ˆ的本征值为2 的本征态x ↑，因此z
S ˆ的测值为2
，几率为1。
四、解 类氢离子的Hamilton 量为
r
Ze H 2
220
2ˆ-∇-=μ 当1+→Z Z 时，体系的Hamilton 量变为
H H r
e r Ze r e Z H '+=--∇-=+-∇-=ˆˆ2)1(2ˆ0
2
222222μμ 其中
r
e H
2ˆ-=' 因此，能量的一级修正值
)ˆ,(ˆ100
10011)1(ψψH H E '='= ⎰⎰⎰-
-
=r
d e
r a Z e a
Zr ˆ132332π ⎰⎰⎰-
-
=ϕθθπd d dr r e
r a Z e a
Zr sin 1223
32
a
Ze dr re a Z e a
Zr
2
23
3
24-=-=⎰∞
-ππ 在计算中利用了积分公式
2
241a
dx xe ax =
⎰
∞
- 因此，基态能量的一级近似值是
⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+=122222)
1()
0(a Z a Ze a Ze a e Z E
E
E 五、解 （1）利用
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=+-)(21
)(2)(11x n x n a x dx d n n n ψψψ ⎪⎭⎫
⎝
⎛-==n n n n dx d i p
p ψψψψ,)ˆ,( 0),(2
1
),(211=++-=+-n n n n n a i n a
i ψψψψ
（2）谐振子的动能2
2
22dx d m T -=的平均值
),(222
2n n dx
d m T ψψ -=
利用
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=+-)(21
)(2)(11x n x n a x dx d n n n ψψψ 可以得到
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-1122212n n n n n a dx d dx d ψψψ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=+-11212n n dx d
n dx d n a ψψ
[
]
222
)2)(1()12()1(2
+-++++-+=n n n n n n n n a ψψψ
因此，
n n n E n n m
a n a m T 2
1
2121)12(4)12(2,2222
2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωψψ 六、解 先把Hamilton 量分解成H H H '+=ˆˆˆ0
，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=321
00000ˆE E E H ，⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛='3*
3*
23*1
21
00ˆE a a a a a a H
很容易看出，能量的一级修正值
011)1(1='=H E ，022)1(2='=H E ，033
)
1(3='=H E 二级修正值
312
2
212
1
3
12
13
2
12
12
)2(1E E a E E a E E H E E H E -+
-=
-'+
-'=
3
22
3
212
1)
2(2E E a E E a E -+
-=
，2
32
3
132
2
)
2(3
E E a E E a E -+
-=。