代数式、整式与因式分解A 级 基础题1．计算a3·a2正确的是( ) A ．a B ．a5 C ．a6 D ．a92．(2019年广东广州)计算(a2b)3·b2a，结果是(二次根式 A 级 基础题1．(2019年上海)下列计算18－2的结果是( ) A ．4 B ．3 C ．2 2 D. 22．(2019年山东聊城)下列计算正确的是( ) A ．310－2 5＝ 5 B.711·⎝⎛⎭⎪⎫117÷111＝11 C ．(75－15)÷3＝2 5 D.13 18－3 89＝ 23．(2019年四川绵阳)使代数式1x ＋3＋4－3x 有意义的整数x 有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 4．与－5是同类二次根式的是( ) A.10 B.15 C.20 D.255．(2019年江苏南京)若3<a<10，则下列结论中正确的是( ) A ．1<a<3 B ．1<a<4 C ．2<a<3 D ．2<a<46．(2019年北京)写出一个比3大且比4小的无理数：______________. 7．(2019年山西)计算：418－9 2＝__________. 8．计算：613－(3＋1)2＝________. 9．当1＜a ＜2时，代数式()a －22＋||1－a 的值是________．10．(2019年浙江嘉兴)计算：2(8－1)＋|－3|－(3－1)0.11．(2019年贵州六盘水)计算：(－1)0－|3－π|＋3－π 2.B 级 中等题12．设n 为正整数，且n ＜65＜n ＋1，则n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．813．如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a b ＝a b；②ab·ba＝1；③ab ÷a b＝－b ，其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 14．下列各式运算正确的是( ) A.5－3＝ 2 B.419＝213C.12－3＝2＋ 3 D.2－52＝2－ 515．(2019年山东济宁)若2x －1＋1－2x ＋1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是( )A ．x≥12B ．x≤12C ．x ＝12D ．x≠1216．若y ＝x －4＋4－x2－2，则(x ＋y)y ＝________.17．(2019年山东枣庄)如图1­3­1，我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，则该三角形的面积为S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a2b2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＋b2－c222.现已知△ABC 的三边长分别为5，2,1，则△ABC 的面积为________．图1­3­1 C 级 拔尖题18．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式S ＝pp －ap －bp －c⎝ ⎛⎭⎪⎫其中a ，b ，c 是三角形的三边长，p ＝a ＋b ＋c 2，S 为三角形的面积，并给出了证明． 例如：在△ABC 中，a ＝3，b ＝4，c ＝5，那么它的面积可以这样计算： ∵a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴p ＝a ＋b ＋c 2＝6.∴S ＝pp －ap －bp －c＝6×3×2×1＝6.事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．如图1­3­2，在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝6，AB ＝9. (1)用海伦公式求△ABC 的面积； (2)求△ABC 的内切圆半径r.图1­3­2 参考答案1．C 2.B 3.B 4.C 5.B6．π(答案不唯一) 解析：∵3<x<4, ∴9<x<16， ∴9<x<16，故答案不唯一，可以是π，10，11，12，13，14，15，其中之一． 7．3 2 8.－4 9.110．解：原式＝4 2－2＋3－1＝4 2. 11．解：原式＝1－(π－3)＋(π－3)＝1. 12．D 13.B 14.C 15.C 16.1417．1 解析：∵S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a2b2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＋b2－c222，∴△ABC 的三边长分别为1,2，5，则△ABC 的面积为：S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×22－⎝⎛⎭⎪⎫12＋22－5222＝1.18．解：(1)∵BC ＝5，AC ＝6，AB ＝9， ∴p ＝BC ＋AC ＋AB 2＝5＋6＋92＝10.∴S ＝pp －ap －bp －c＝10×5×4×1＝10 2.故△ABC 的面积10 2.(2)∵S ＝12r(AC ＋BC ＋AB)，∴10 2＝12r(5＋6＋9)．解得r ＝ 2.故△ABC 的内切圆半径r ＝ 2.二次函数--二次函数解决实际问题1. 如图，用长8m 的铝合金条制成矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是( )A.6425m2B.43m2C.83m2 D.4m2 2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A.4米B.3米C.2米D.1米3. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的.为了牢固起见，每段护栏需要每间隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m ，如图所示，则防护栏不锈钢支柱的总长度至少为( )A.50mB.100mC.160mD.200m4. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y ＝－125x2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4m 时，这时水面宽度AB 为( )A.－20mB.10mC.20mD.－10m5. 某幢建筑物，从10米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直(如图)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面403米，则水流下落点B 离墙距离OB 是( )A.2米B.3米C.4米D.5米6. 如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是( )A.3cm2B.323cm2C.923cm2D.2723cm27. 若某商品的利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系式是y ＝－x2＋8x ＋9，且售价x 的范围是1≤x≤3，则最大利润是( ) A.16元 B.21元 C.24元 D.25元8. 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )A.5元B.10元C.0元D.3600元9. 如图，隧道的截面是抛物线，可以用y ＝－116x2＋4表示，该隧道内设双行道，限高为3m ，那么每条行道宽是( )A.不大于4mB.恰好4mC.不小于4mD.大于4m ，小于8m10. 如图所示，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m 长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设它的长为xm ，要使鸡场的面积最大，鸡场的长为 m.11. 比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系式y ＝－29x2＋89x ＋109，则羽毛球飞出的水平距离为 米.12. 如图，有一抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16m ，跨度为40m ，现把它的图形放在坐标系中.若在离跨度中心M 点5m 处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶，这根铁柱应取 m.13. 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y(单位：米2)，当x ＝ 米时菜园的面积最大.14. 将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__________cm2.15. 已知某人卖盒饭的盒数x(盒)与所获利润y(元)满足关系式：y＝－x2＋1200x－357600，则卖出盒饭数量为________盒时，获得最大利润为________元.16. 某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天销售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为____________元时，该服装店平均每天的销售利润最大17. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y＝－35x2＋3x＋1的一部分，如图所示.(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由.18. 一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，可提高利润，欲对该T恤进行涨价销售.经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件.请确定该T恤涨价后每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求销售单价为多少元时，每周的销售利润最大？19. 如图，某足球运动员站在点O 练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y ＝at2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？20. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y ＝－16x2＋bx ＋c 表示，且抛物线时的点C 到墙面OB 的水平距离为3m ，到地面OA 的距离为172m.(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？参考答案：1—9 CACCB CCAA 10. 25 11. 5 12. 15 13. 15 14. 25215. 600 2400 16. 2217. 解：(1)y ＝－35x2＋3x ＋1＝－35(x －52)2＋194，∵－35＜0，∴函数的最大值是194.答：演员弹跳的最大高度是194米；(2)当x ＝4时，y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4＝BC ，所以这次表演成功.18. 解：由题意，得y ＝(x －40)[300－10(x －60)]，即y ＝－10x2＋1300x －36000(60≤x≤90).配方，得y ＝－10(x －65)2＋6250.∵－10＜0，∴当x ＝65时，y 有最大值6250，因此，当该T 恤销售单价为65元时，每周的销售利润最大.19. 解：(1)由题意得：函数y ＝at2＋5t ＋c 的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0.5＝c3.5＝0.82a －5×0.8＋c ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2516c ＝12，∴抛物线的解析式为：y ＝－2516t2＋5t ＋12，∴当t ＝85时，y 最大＝4.5；(2)把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，∴当t ＝2.8时，y ＝－2516×2.82＋5×2.8＋12＝2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门.20. 解：(1)根据题意得B(0,4)，C(3，172)，把B(0,4)，C(3，172)代入y ＝－16x2＋bx ＋c得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4－16×32＋3b ＋c ＝172，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝4，所以抛物线解析式为y ＝－16x2＋2x ＋4，则y ＝－16(x －6)2＋10，所以D(6,10)，所以拱顶D 到地面OA 的距离为10m ；(2)由题意得货运汽车最外侧于地面OA 的交点为(2,0)或(10,0)，当x ＝2或x ＝10时，y ＝223＞6，所以这辆货车能安全通过；(3)令y ＝0，则－16(x －6)2＋10＝8，解得x1＝6＋23，x2＝6－23，则x1－x2＝43，所以两排灯的水平距离最小是43m.二次函数和圆1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( ) A.y ＝18x2 B.y ＝－x2－1 C.y ＝1x2 D.y ＝a4x42.抛物线y ＝2x2，y ＝－2x2，y ＝12x2的共同性质是( )A.开口向上B.对称轴是y 轴C.都有最高点D.y 随x 的增大而增大3.若二次函数y ＝(x －m)2－1，当x≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是( ) A.m ＝1 B.m ＞1 C.m≥1 D.m≤14.如图，AB 是⊙O 的直径.若∠BAC ＝35°，那么∠ADC ＝( )A.35°B.55°C.70°D.110°5.在同圆中，下列四个命题：①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等.其中真命题有( )A.4个B.3个C.2个D.1个6.如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，连接BC.BD.下列结论错误的是( )A.AE ＝BEB.C.OE ＝DED. .∠DBC ＝90°7.如图，AD.AE.CB 均为⊙O 的切线，D.E.F 分别是切点，AD ＝8，则△ABC 的周长为( ) A.8 B.12 C.16 D.不能确定8.如果二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么一次函数y ＝bx ＋c 和反比例函数y ＝bx在同一坐标系中的图象大致是( )9.如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上.已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B.下列说法错误的是( )A.圆形铁片的半径是4cmB.四边形AOBC 为正方形C.弧AB 的长度为4πcmD.扇形OAB 的面积是4πcm210.已知二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，并且关于x 的一元二次方程ax2＋bx ＋c －m ＝0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2－4ac ＜0；②abc ＞0；③a －b ＋c ＜0；④m ＞－2，其中正确的个数有( )A.1B.2C.3D.411.如图，扇形OAB 的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为 (结果保留π).12.已知抛物线y ＝x2－4x 上有两点P1(3，y1)、P2(－12，y2)，则y1与y2的大小关系为：y1 y2(填“＞”“＜”或“＝”).13.如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，D.E.F 为三个切点，若∠DEF ＝52°，则∠A 的度数为 .14.某软件商店销售一种益智游戏软件，如果以每盘50元的售价销售，一个月能售出500盘，根据市场分析，若销售单价每涨价1元，月销售量就减少10盘，当每盘的售价涨x 元(x 取整数)时，该商店月销售额y(元)与x 的函数关系式为 ，自变量x 的取值范围是 .15.设A.B.C 三点依次分别是抛物线y ＝x2－2x －5与y 轴的交点以及与x 轴的两个交点，则△ABC 的面积是 .16. 已知二次函数y ＝－x2＋2x ＋m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程－x2＋2x ＋m ＝0的解为 .17. 已知抛物线y ＝12x2＋x －52.(1)用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；(2)若抛物线与x 轴的两个交点为A.B ，求线段AB 的长.18. 如图，AB是半圆O的直径，C.D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；(2)若AB＝4，AC＝3，求DE的长.19. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x …－1 0 1 2 3 4 …y …10 5 2 1 2 5 …(1)求该二次函数的关系式；(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？(3)若A(m，y1)、B(m＋1，y2)两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小.20. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C.D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E.(1)求OE的长；(2)若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和围成的图形(阴影部分)的面积.21. 某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体关系为w＝－2x＋240，且物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题：(1)求y与x的函数关系式；(2)当x取何值时，y的值最大？(3)如果公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？22. 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD＝∠CAB.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)若BC＝3，AC＝5，求圆的直径AD及切线BE的长.23. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－3,0)、B(5,0)、C(0,5)三点，O为坐标原点.(1)求此抛物线的解析式；(2)若把抛物线y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)向下平移133个单位长度，再向右平移n(n ＞0)个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M 在△ABC 内，求n 的取值范围； (3)设点P 在y 轴上，且满足∠OPA ＋∠OCA ＝∠CBA ，求CP 的长.参考答案：1—10 ABCBB CCACB 11. 2π 12. ＜ 13. 76°14. y ＝－10x2＋25000 0≤x ≤50且x 为整数 15. 5 616. x1＝－1，x2＝317. 解：(1)y ＝12(x ＋1)2－3，它的顶点坐标为(－1，－3)，对称轴为x ＝－1；(2)令y ＝0，∴12(x ＋1)2－3＝0，∴x1＝－1＋6，x2＝－1－6，∴AB ＝|－1＋6－(－1－6)|＝2 6.18. 解：(1)∵OD ∥BC ，∴∠DOA ＝∠B ＝70°，又∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO ＝55°，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝20°，∴∠CAD ＝35°；(2)在Rt △ACB 中，BC ＝7，O 是AB 中点，OD ∥BC ，∴OE ＝BC 2＝72，∴DE ＝2－72.19. 解：(1)依题意设y ＝a(x －2)2＋1，把(3,2)代入得a ＝1，∴y ＝(x －2)2＋1； (2)当x ＝2时，y 有最小值，最小值为1； (3)当m ≥2时，y2≥y1，当m ＜1时，y1＞y2. 20. 解：(1)连接OC ，∵∠D 和∠AOC 分别是所对的圆周角和圆心角，∠D ＝60°，∴∠AOC ＝2∠D ＝120°，∵OE ⊥AC ，∴∠AOE ＝∠COE ＝12∠AOC ＝60°，∠OAE ＝30°.∵AB 是⊙O 的直径，AB ＝6，∴OA ＝3，∴OE ＝12OA ＝32；(2)∵OE ＝12OA ，∴EF ＝OE.∵OE ⊥AC ，∴∠AEF ＝∠CEO ＝90°，AE ＝CE.∴△AEF ≌△CEO.∴S阴影＝S 扇形COF ＝60·π·32360＝32π.21. 解：(1)y ＝(x －50)·w＝(x －50)·(－2x ＋240)＝－2x2＋340x －12000，∴y 与x 的关系式为：y ＝－2x2＋340x －12000；(2)y ＝－2x2＋340x －12000＝－2(x －85)2＋2450，∴当x ＝85时，y 的值最大； (3)当y ＝2250时，可得方程－2(x －85)2＋2450＝2250.解这个方程，得x1＝75，x2＝95，根据题意，x2＝95不合题意，应舍去.∴当销售单价为75元/千克时，可获得销售利润2250元.22. 解：(1)如图，连接OB ，∵BD ＝BC ，∴∠CAB ＝∠BAD ，∵∠EBD ＝∠CAB ，∴∠BAD ＝∠EBD ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，OA ＝BO ，∴∠BAD ＝∠ABO ，∴∠EBD ＝∠ABO ，∴∠OBE ＝∠EBD ＋∠OBD ＝∠ABD ＋∠OBD ＝∠ABD ＝90°，∵点B 在⊙O 上，∴BE 是⊙O 的切线；(2)设圆的半径为R ，连接CD ，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°，∵BC ＝BD ，∴OB ⊥CD ，∴OB ∥AC ，∵OA ＝OD ，∴OF ＝12AC ＝52，∵四边形ACBD 是圆内接四边形，∴∠BDE ＝∠ACB ，∵∠DBE ＝∠CAB ，∴△DBE ∽△CAB ，∴35＝DE 3，∴DE ＝35，∵∠OBE ＝∠OFD ＝90°，∴DF ∥BE ，∴52R ＝RR ＋35，∵R ＞0，∴R ＝3，∵BE 是⊙O 的切线，∴BE ＝DE×AE＝35×2×3＋35＝3115.23. 解：(1)把A.B.C 三点的坐标代入函数解析式可得，抛物线解析式为y ＝－13x2＋23x ＋5；(2)∵抛物线顶点坐标为(1，163)，新抛物线的顶点M 坐标为(1＋n,1)，设直线BC 解析式为y ＝kx ＋m ，把B.C 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋m ＝0m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1m ＝5，∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋5，令y ＝1，代入可得1＝－x ＋5，解得x ＝4，∵新抛物线的顶点M 在△ABC 内，∴1＋n ＜4，且n ＞0，解得0＜n ＜3，即n 的取值范围为0＜n ＜3；(3)当点P 在y 轴负半轴上时，如图1，过P 作PD ⊥AC ，交AC 的延长线于点D ，由题意可知OB ＝OC ＝5，∴∠CBA ＝45°，∴∠PAD ＝∠OPA ＋∠OCA ＝∠CBA ＝45°，∴AD ＝PD ，在Rt △OAC 中，OA ＝3，OC ＝5，可求得AC ＝34，设PD ＝AD ＝m ，则CD ＝AC ＋AD ＝34＋m ，∵∠ACO ＝∠PCD ，∠COA ＝∠PDC ，∴△COA ∽△CDP ，∴CO CD ＝AO PD ＝AC PC ，即534＋m ＝3m ＝34PC ，由534＋m＝3m 可求得m ＝3342，∴33342＝34PC ，解得PC ＝17；可求得PO ＝PC －OC ＝17－5＝12，如图2，在y 轴正半轴上截取OP′＝OP ＝12，连接AP′，则∠OP′A＝∠OPA ，∴∠OP′A＋∠OCA ＝∠OPA ＋∠OCA ＝∠CBA ，∴P′也满足题目条件，此时P′C＝OP′－OC ＝12－5＝7，综上可知PC 的长为7或17.分式方程A 级 基础题1．解分式方程3x －1x －2＝0去分母，两边同乘的最简公分母是( )A ．x (x －2)B ．x －2C ．xD ．x 2(x －2)2．(2019年海南)分式方程x 2－1x ＋1＝0的解是( )A ．－1B ．1C ．±1 D．无解3．分式5x 与3x －2的值相等，则x 的值为( )4．(2019年湖南衡阳)衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为( )A.30x －361.5x ＝10B.30x －301.5x ＝10C.361.5x －30x ＝10D.30x ＋361.5x ＝10 5．(2019年四川南充)如果1m －1＝1，那么m ＝__________. 6．(2019年广东广州)方程1x ＝4x ＋6的解是________．7．(2019年山东潍坊)当m ＝________时，解分式方程x －5x －3＝m3－x会出现增根． 8．若分式方程x －ax ＋1＝a 无解，则a 的值为________． 9．某次列车平均提速20 km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶400 km ，提速后比提速前多行驶100 km ，设提速前列车的平均速度为x km/h ，则可列出方程________________． 10．解方程． (1)解分式方程：xx －1＋21－x＝4； (2)(2019年四川绵阳)解分式方程：x －1x －2＋2＝32－x.11.(2019年江苏泰州)为了改善生态环境，某乡村计划植树4000棵．由于志愿者的支援，实际工作效率提高了20%，结果比原计划提前3天完成，并且多植树80棵，原计划植树多少天？B 级 中等题12．(2019年黑龙江)若关于x 的分式方程2x －a x －2＝12的解为非负数，则a 的取值范围是( )A ．a ≥1 B．a ＞1 C ．a ≥1且a ≠4 D．a ＞1且a ≠4 13．分式方程1x －5－10x 2－10x ＋25＝0 的解是________． 14．解分式方程：x ＋14x 2－1＝32x ＋1.15．(2019年广东广州)甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60千米，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总千米数是甲队筑路总千米数的43倍，甲队比乙队多筑路20天．(1)求乙队筑路的总千米数；(2)若甲、乙两队平均每天筑路千米数之比为5∶8，求乙队平均每天筑路多少千米．C 级 拔尖题16．(2019年江苏泰安)文美书店决定用不多于20 000元购进甲、乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．(1)甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？(2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？(购进的两种图书全部销售完) 参考答案1．A 2.B 3.D 4.A5．2 6.x ＝2 7.2 8.±1 9.400x ＝400＋100x ＋2010．解：(1)方程两边同乘(x －1)，得x －2＝4(x －1)． 整理，得－3x ＝－2. 解得x ＝23.经检验，x ＝23是原分式方程的解．故原分式方程的解为x ＝23.(2)方程两边同乘(x －2)， 得x －1＋2(x －2)＝－3. 整理，得3x －5＝－3. 解得x ＝23.经检验，x ＝23是原分式方程的解．11．解：设原计划每天种x 棵树，则实际每天种(1＋20%)x 棵．根据题意，得4000x －4000＋801＋20%x＝3.解得x ＝200.经检验，x ＝200是原分式方程的解． 则4000200＝20. 答：原计划植树20天． 12．C 13.x ＝1514．解：由x ＋14x 2－1＝32x ＋1，得x ＋12x ＋12x －1＝32x ＋1.两边同乘(2x ＋1)(2x －1)， 得x ＋1＝3(2x －1)．去括号，得x ＋1＝6x －3.解得x ＝45.经检验，x ＝45是原分式方程的解．∴原分式方程的解是x ＝45.15．解：(1)乙队筑路的总千米数：60×43＝80(千米)．(2)设甲队平均每天筑路5x 千米，乙队平均每天筑路8x 千米． 根据题意，得605x －20＝808x .解得x ＝110.经检验x ＝110是原方程的解且符合题意． 乙队平均每天筑路110×8＝45(千米)． 答：乙队平均每天筑路45千米． 16．解：(1)设乙种图书售价每本x 元，则甲种图书售价为每本1.4x 元，根据题意，得1400x －16801.4x ＝10.解得x ＝20.经检验，x ＝20是原分式方程的解．∴甲种图书售价为每本1.4×20＝28(元)．答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元．(2)设甲种图书进货a 本，总利润W 元，根据题意，得W ＝(28－20－3)a ＋(20－14－2)(1200－a )＝a ＋4800.∵20a ＋14×(1200－a )≤20 000，解得a ≤16003.∵W 随a 的增大而增大，∴当a 最大时W 最大．∴当a ＝533时，W 最大．此时，乙种图书进货本数为1200－533＝667(本)．答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大．分式A 级 基础题1．(2019年重庆)若分式1x －3有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x≠3 D．x ＝32．(2019年浙江温州)若分式x －2x ＋5的值为0，则x 的值是( )A ．2B ．0C ．－2D ．－53．(2019年北京)如果a2＋2a －1＝0，那么代数式⎝ ⎛⎭⎪⎫a －4a ·a2a －2的值是() A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．34．(2019年湖北武汉)计算mm2－1－11－m2的结果是________．5．(2019年湖南怀化)计算：x2x －1－1x －1＝__________. 6．(2019年浙江宁波)要使分式1x －1有意义，x 的取值应满足________． 7．已知c 4＝b 5＝a 6≠0，则b ＋c a的值为________． 8．(2019年吉林)某学生化简分式1x ＋1＋2x2－1出现了错误，解答过程如下： 原式＝1x ＋1x －1＋2x ＋1x －1(第一步) ＝1＋2x ＋1x －1(第二步) ＝3x2－1.(第三步) (1)该学生解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是______________________．(2)请写出此题正确的解答过程．9．(2019年湖北天门)化简：4a ＋4b 5ab ·15a2b a2－b2.10．(2019年山西)化简：x －2x －1·x2－1x2－4x ＋4－1x －2.11．(2019年四川泸州)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a －1÷a2＋2a ＋1a －1.12．(2019年广西玉林)先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫a －2ab －b2a ÷a2－b2a ，其中a ＝1＋2，b ＝1－2.B 级 中等题13．在式子1－x x ＋2中，x 的取值范围是______________． 14．(2019年四川眉山)已知14m2＋14n2＝n －m －2，则1m －1n的值等于( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－1415．(2019年广西百色)已知a ＝b ＋2019，则代数式2a －b ·a2－b2a2＋2ab ＋b2÷1a2－b2的值为________． 16．(2019年山东烟台)先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫1＋x2＋2x －2÷x ＋1x2－4x ＋4，其中x 满足x2－2x －5＝0.C 级 拔尖题17．若12n －12n ＋1＝a 2n －1＋b 2n ＋1，对任意自然数n 都成立，则a ＝______，b ＝______；计算：m ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋119×21＝________.1．C 2.A 3.C 4.1m －15.x ＋16.x ≠17.32 解析：由题意，可设a ＝6k ，b ＝5k ，c ＝4k ，则b ＋c a ＝5k ＋4k 6k ＝32. 8．解：(1)一 分式的基本性质用错(2)原式＝x －1(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋1)(x －1)＝x ＋1(x ＋1)(x －1)＝1x －1. 9．解：原式＝4(a ＋b)5ab ·15a2b (a ＋b)(a －b)＝12a a －b. 10．解：原式＝x －2x －1·(x －1)(x ＋1)(x －2)2－1x －2＝x ＋1x －2－1x －2＝x x －2. 11．解：原式＝a －1＋2a －1·a －1(a ＋1)2＝1a ＋1. 12．解：原式＝a2－2ab ＋b2a ·a a2－b2＝(a －b)2a ·a (a ＋b)(a －b)＝a －b a ＋b. 当a ＝1＋2，b ＝1－2时， 原式＝(1＋2)－(1－2)(1＋2)＋(1－2)＝2 22＝ 2. 13．x ≤1，且x ≠－2 14.C 15.403616．解：原式＝x －2＋x2＋2x －2·(x －2)2x ＋1＝x(x ＋1)x －2·(x －2)2x ＋1＝x(x －2)＝x2－2x. ∵x2－2x －5＝0，∴x2－2x ＝5.∴原式＝5.17.12 －12 1021解析：∵1()2n －1()2n ＋1＝12()2n －1－12()2n ＋1 ＝a 2n －1＋b 2n ＋1， ∴a ＝12，b ＝－12. ∴m ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋119×21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16－110＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫138－142＝1021.命题与证明1.下列命题中，错误的是（）A. 矩形的对角线互相平分且相等B. 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等C. 等腰梯形的两条对角线相等D. 对角线互相垂直的四边形是菱形2.下列说法中，正确的是（）A. 一个角的补角一定比这个角大B. 一个角的余角一定比这个角小C. 一对对顶角的两条角平分线必在同一条直线上D. 有公共顶点并且相等的两个角是对顶角。