第8章V AR模型与协整1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。

这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。

8.1向量自回归（V AR）模型定义8.1.1 模型定义V AR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。

假设y1t，y2t之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型y1, t= f (y1, t-1, y1, t-2, …)y2, t= f (y2, t-1, y2, t-2, …)则无法捕捉两个变量之间的关系。

如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。

V AR模型的结构与两个参数有关。

一个是所含变量个数N，一个是最大滞后阶数k。

以两个变量y1t，y2t滞后1期的V AR模型为例，y 1, t = c 1 + π11.1 y 1, t -1 + π12.1 y 2, t -1 + u 1 t y 2, t = c 2 + π21.1 y 1, t -1 + π22.1 y 2, t -1 + u 2 t (8.1)其中u 1 t , u 2 t ~ IID (0, σ 2), Cov(u 1 t , u 2 t ) = 0。

写成矩阵形式是，⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t y y 21=12c c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎥⎦⎤⎢⎣⎡1.221.211.121.11ππππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,21,1t t y y +⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t u u 21 (8.2) 设， Y t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t y y 21, c =12c c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, ∏1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1.221.211.121.11ππππ, u t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t u u 21, 则， Y t = c + ∏1 Y t -1 + u t (8.3)那么，含有N 个变量滞后k 期的V AR 模型表示如下：Y t = c + ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + … + ∏k Y t -k + u t ,u t ~ IID (0, Ω) (8.4)其中，Y t = (y 1, t y 2, t … y N , t )'c = (c 1 c 2 … c N )'∏j =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡j NN j N j N j N j jj N j j ..2.1.2.22.21.1.12.11πππππππππΛM O M M ΛΛ, j = 1, 2, …, ku t = (u 1 t u 2,t … u N t )',Y t为N⨯1阶时间序列列向量。

C为N⨯1阶常数项列向量。

∏1, … , ∏k均为N⨯N阶参数矩阵，u t~ IID (0, Ω) 是N⨯1阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相关的，但这些元素，即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。

因V AR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与u t是渐近不相关的，所以可以用OLS法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。

估计V AR的EViews 4.1操作：打开工作文件，点击Quick键, 选Estimate V AR功能。

作相应选项后，即可得到V AR的表格式输出方式。

在VAR模型估计结果窗口点击View 选representation功能可得到V AR 的代数式输出结果。

8.1.2 V AR模型的特点是：（1）不以严格的经济理论为依据。

在建模过程中只需明确两件事：①共有哪些变量是相互有关系的，把有关系的变量包括在V AR模型中；②确定滞后期k。

使模型能反映出变量间相互影响的绝大部分。

（2）V AR模型对参数不施加零约束。

（对无显着性的参数估计值并不从模型中剔除，不分析回归参数的经济意义。

）（3）V AR模型的解释变量中不包括任何当期变量，所有与联立方程模型有关的问题在V AR模型中都不存在（主要是参数估计量的非一致性问题）。

（4）V AR模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。

比如一个V AR模型含有三个变量，最大滞后期k = 3，则有k N2 = 3 32 = 27个参数需要估计。

当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大。

（5）无约束V AR模型的应用之一是预测。

由于在V AR模型中每个方程的右侧都不含有当期变量，这种模型用于样本外一期预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何预测。

（6）用V AR模型做样本外近期预测非常准确。

做样本外长期预测时，则只能预测出变动的趋势，而对短期波动预测不理想。

西姆斯（Sims）认为V AR模型中的全部变量都是内生变量。

近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入V AR模型。

附录：（file:B8c1）VAR模型静态预测的EViews操作：点击Procs选Make Model功能。

点击Solve。

在出现的对话框的Solution option（求解选择）中选择Static solution（静态解）。

VAR模型动态预测的EViews操作：点击Procs选Make Model功能（工作文件中如果已经有Model，则直接双击Model）。

点击Solve。

在出现的对话框的Solution option（求解选择）中选择Dynamic solution（静态解）。

注意：Model窗口中的第一行，“ASSIGN @ALL F”表示模拟结果保存在原序列名后加F 的新序列中，以免原序列中的数据被覆盖掉。

静态预测的效果非常好。

动态预测的表现是前若干期预测值很接近真值，以后则只能准确预测变化的总趋势，而对动态的变化特征预测效果较差。

综上所述，用V AR做样本外动态预测1，2期则预测效果肯定是非常好的。

8.2V AR模型稳定的条件V AR模型稳定的充分与必要条件是∏1（见(8.3) 式）的所有特征值都要在单位圆以内（在以横轴为实数轴，纵轴为虚数轴的坐标体系中，以原点为圆心，半径为1的圆称为单位圆），或特征值的模都要小于1。

1．先回顾单方程情形。

以AR(2)过程y t = φ1 y t-1 + φ2 y t-2 +u t(8.11)为例。

改写为(1- φ1 L - φ2 L2) y t = Φ(L) y t =u t(8.12)y t稳定的条件是Φ(L) = 0 的根必须在单位圆以外。

2．对于V AR模型，也用特征方程判别稳定性。

以(8.3) 式，Y t = c + ∏1 Y t-1 + u t，为例，改写为(I - ∏1 L) Y t = c + u t(8.13)保持V AR模型稳定的条件是| I - ∏1L | = 0的根都在单位圆以外。

| I–∏1L| = 0在此称作相反的特征方程（reverse characteristic function）。

（第2章称特征方程）例8.1 以二变量（N = 2），k = 1的V AR 模型⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t y y 21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡8/54/12/18/5⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,21,1t t y y +⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t u u 21 (8.14)其中∏1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡8/54/12/18/5为例分析稳定性。

相反的特征方程是| I - ∏1L | = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡L L L L )8/5()4/1()2/1()8/5(1001== (1- (5/8) L )2 - 1/8 L 2= (1-0.978 L ) (1-0.27 L ) = 0 (8.15)求解得L 1 = 1/0.978 = 1.022, L 2 = 1/0.27 = 3.690 因为L 1，L 2都大于1，所以对应的V AR 模型是稳定的。

3．V AR 模型稳定的另一种判别条件是，特征方程 | ∏1 - λ I | = 0的根都在单位圆以内。

特征方程 | ∏1 - λ I | = 0的根就是∏1的特征值。

例8.2 仍以V AR 模型(8.14) 为例，特征方程表达如下：| ∏1 - λ I | =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡λλ008/54/12/18/5= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--λλ8/54/12/18/5= 0即(5/8 - λ)2– 1/8 = (5/8 - λ)2–2)8/1(= (0.978 - λ) (0.271 - λ) = 0 (8.16)得λ1 = 0.9786, λ2 = 0.2714。

λ1，λ2是特征方程| ∏1 - λI | = 0的根，是参数矩阵∏1的特征值。

因为λ1 = 0.978, λ2 = 0.271，都小于1，该V AR 模型是稳定的。

注意：（1）因为L1=1/0.978 =1/λ1, L2 =1/0.27=1/λ2，所以特征方程与相反的特征方程的根互为倒数，L = 1/λ。

（2）在单方程模型中，通常用相反的特征方程Φ(L) = 0的根描述模型的稳定性，即单变量过程稳定的条件是（相反的）特征方程Φ(L) = 0的根都要在单位圆以外；而在V AR模型中通常用特征方程| ∏1 - λI| = 0的根描述模型的稳定性。

V AR模型稳定的条件是，特征方程| ∏1 - λI | = 0的根都要在单位圆以内，或相反的特征方程| I–L ∏1| = 0的根都要在单位圆以外。

4．对于k>1的k阶V AR模型可以通过友矩阵变换（companion form），改写成1阶分块矩阵的V AR模型形式。

然后利用其特征方程的根判别稳定性。

具体变换过程如下。

给出k 阶V AR 模型，Y t = c + ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + … + ∏k Y t-k + u t(8.17)再配上如下等式，Y t -1 = Y t -1Y t -2 = Y t -2…Y t -k +1 = Y t - k +1把以上k 个等式写成分块矩阵形式，1121⨯+---⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡NK k t t t t Y Y Y Y M =1NK ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦c M 000+NK NK k k ⨯-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000000I I I ΠΠΠΠΛΛΛO ΛΛΛΛΛ1211321⨯----⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡NK k t t t t Y Y Y Y M +1⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡NK t 000M u (8.18)其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。

令Y t = (Y t -1 Y t -2 … Y t-k +1) 'NK ⨯1C = (c 0 0 … 0) 'NK ⨯1A =NK NK k k ⨯-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000000I I I ΠΠΠΠΛΛΛO ΛΛΛΛΛ121U t = (u t 0 0 … 0) ' NK ⨯1上式可写为Y t = C + A Y t -1 + U t (8.19)注意，用友矩阵变换的矩阵（向量）用正黑体字母表示。