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空晶格模型 能带概念
4
1、空晶格模型
• 假定
V (r R ) V (r )
• 即仍然具有周期性势，但
V 0
• 思考：与自由电子气有无关系、异同？
2 n (k , r ) En k n (k , r ), 仍用原子单位
——方程的解是否相同？ ——边界条件是否相同？
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空晶格模型 能带概念
m k a
7
广延区图
E (k ) k
2
空晶格布里渊区？
4
3
2 1

a
2
3
4

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a
8
4
4
2 k m k a
2 En k E m k a
* 简并打开 * 打开的宽度，定量计算（微扰法）

a
13
4
3
2 1

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a
微扰法能隙
• 空晶格零级近似能带
* 微扰
芯区外电子受 Z d 到势 ~ r
• 回顾Sommerfeld模型
* 把价电子处理成自由电子气，如何 处理离子实？ 正电背景：均匀分布保持电中性
2 2
动能
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空晶格模型 能带概念
令 0
E Tn V ( n )
n k E Tn V ( n ) a n k' E Tn V ( n ) a
简并态出现 能量分裂！
能隙宽度
Eg 2 V (n)
能隙？没有解的能量区域，电子不可能具有这 个能量——禁止出现如果在整个布里渊区某 个能量区域都禁止出现——禁带 一维简并打开即能隙（禁带）的概念 25 10.107.0.68/~jgche/ 空晶格模型 能带概念 设问：二维、三维呢？
• 空晶格的解与微扰将H分成两部分
ˆ H ˆ H ˆ' H 0
空晶格
2 2 d ˆ H 0 2m dx 2
微扰
ˆ ' V ( x) H
V ( x) V ( x na )
空晶格模型 能带概念
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空晶格的零级解
• 能量
2 2 k 0 Ek 2m
2 2 2 2
n k a
1st Brillouin zone k -/a 0 /a
n 2 a
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2a sin n
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Bragg 反射加强条件！
如果
k n / a k ' n / a
用简并微扰
两态能量相同
简并
• 波函数
1 exp(ikx) L
0 k
L=Na
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空晶格模型 能带概念
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微扰部分
V ( x) V ( x na )
• 周期性势场，可作Fourier展开
2 V ( x ) V (0) V ( n) exp(i nx ) a n0
• 通过空晶格模型来理解什么是能带？
* 空晶格模型可以解析得到能带结构 能带？ 能隙（禁带）？ † 能隙的物理原因？
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空晶格模型 能带概念
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第16讲、空晶格模型能带概念
1. 空晶格模型 2. 能级简并（在布里渊区边界） 3. 确定能隙宽度 (微扰法)？ 4. 能隙的物理原因？
微扰的Fourier展开
2 ˆ H ' V (0) V (n) exp(i nx) a n0
V ( 0) 0 或常数，等于能量零点作平移 E E V (0)
2 2 零级解能量 E 0 k k 2m
1 零级波函数 L exp(ikx)
0 k
L=Na
18
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* 不同能带未截然分开
4
3
2 1
简 12 并？
• V=0(空晶格)简并，如V≠0
* 会发生什么变化？
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a

a
B区边界会发生什么变化？
• 可以想象，如果晶格势很小（弱周期性 势场），那么能带的大部分区域没有明 显的变化 • 但是，布里渊区边界处能级的简并会发 生变化 • 怎么变化？
2 ˆ H ' V (0) V (n) exp(i nx) 19 a n0 空晶格模型 能带概念
能量修正
| V ( n ) |2 2k 2 Ek 2 2 2 2m n 0 k 2 k 2n / a 2m 2m
' H 0 0 kk ' ( ) x 波函数修正 k k k' 0 0 k '( k ) E k E k ' 2n * V (n) exp(i x) a k0 1 2 2 2 n 0 k (k 2n ) 2 a 2m 2m
3 2

3
2

a
1

a
9
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空晶格模型 能带概念
周期区图
4 4
简约区图
n=4
n=3
3 2

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3
n=2
2

a
1
n=1

a


a

10
空晶格模型 能带概念
a
现可理解E是k的多值函数: En(k)，n=1, 2, …
2 E k m k • 所以，对于 n a

, ] a a
2 l N N , l [k ] 2 2 a N
E (k ) k
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2
空晶格模型 能带概念
2 E k m k En k a
6
2
• Bloch函数： e ikx 周期函数 • 代入
• 为何离子周期性势场能被忽略？
* 在芯区外，受核与屏蔽电子的联合作 用势——非常弱，因此可Байду номын сангаас似看成自 核电荷+Z 由电子 * 与真实的差别用微扰法来解决 * 空晶格模型+微扰
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芯电子-d
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3、确定能隙宽度——微扰法
2 2 d ˆ H ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
n k (1 ) a 为小量 n k' (1 ) a
零级波函数为两波函数的 线性组合
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A B
0 0 k
0 k'
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空晶格模型 能带概念

0 k
, dx
0 k'
0 ( E E k ) A V (n)B 0 * 0 V ( n ) A ( E E k ' ) B 0
上讲回顾
• Bloch定理（绝热、单电子、周期性势场）
* 周期性势场中运动的电子，平移一个格矢Rl，其 波函数增加一个eik.Rl的相因子 电子属于整个晶体共有共有电子； 电子受周期性势场相干散射，没有阻尼机制
•
两个重要推论
1. 坐标空间：周期性调幅的平面波 可在原胞内解Schroedinger方程 2. 动量空间： k与k+Kh等价（Kh=倒格矢） 可在第一布里渊区内解Schroedinger方程 共有N个不等价的状态，如果N是原胞总数
2 k m k a


• 得到 e i k x
i 2a e
mx
周期函数
• 方括号内的仍是周期函数：u(x)=u(x+na) • 在第一Brillouin区外的状态k，可以通过把k改 变2π/a的整数倍，移入第一Brillouin区内 • 这样，第一B区中的每个[k]，对应一系列不同 2 的能量 2
空晶格模型 能带概念
非简并情况远离布里渊区边界
Ek Ek0 Ek(1) Ek( 2 )
E
(1) k 0* H k ( x) H ' k0 dx 0 ' kk 0 L
E
L
( 2) k

0 0 E E k '( k ) k k'
2

H
' 2 kk '
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2、能级简并（在B区边界）
2 En k m k a
2
• 虽然空晶格模型V=0，但仍是周期性势， 满足Bloch定理，因此波函数是Bloch函数 • 因k与k+K等价，能量是周期函数，当k 限定在第一B区，必须区分n多值函数 • E是k的多值函数n=j和j+1的两条能带， 在Brillouin边界，即在k=nπ/a ，n=0， ±1， ± 2，…处是简并的!!!

0 d 2 2m 2 2 [ E V ( x)] 0 dx