三、函数的奇偶性
x 4 −b 10.设f ( x) = lg(10 x + 1) + ax是偶函数，g ( x) = 是奇函数， x 2 那么a + b的值是 ( D ) 1 1 A. 1 B. -1 C. − D. 2 2 11 .函数 f ( x ) = log a ( x + 1 + x 2 ) 是 ( A )
∴ x1 + x12 + 2 < x2 + x12 + 2
Q y = lg x是增函数， ∴ f ( x1 ) < f ( x2 ) 故f ( x)在R上是增函数。
1 1− x + lg 9. 设 f ( x) = x+2 1+ x
(1)试判定函数f(x)的单调性，并给出证明；
1 1 (2)解关于x的不等式 f [ x( x − )] < 2 2
R
[3,+∞) (3) y = log 2 (3 − x 2 − 2x ) ( −∞,2]
1 1 (4)已知x ∈ [ −3， 2]，求函数f ( x ) = x − x + 1 4 2 的值域 x x (5)已知x ∈ [1,8]，求函数g( x ) = (log 2 )(log 2 ) 2 4 的值域
性 质
R
即当x ＝1时,y＝0 减函数
增函数 在(0,+∞)上是 在(0,+∞)上是：
一、函数的定义域，值域
1.求下列函数的定义域
1 (1)y = log 2 (5x − 3) (2) y = log 1 (5x − 3)
2
3 4 4 ( , ) U ( ,+∞) 5 5 5
3 4 ( , ] 5 5
A. (a-1)(c-1)>0 B. ac>1 C. ab=1 D.0<ac<1
x
在y轴右侧指数函数的底 在直线x=1右侧,在x轴上下 数越大，其图像越在上 两侧，指数函数的底数越 大，其图像越在下方 方
15.如果 log a 3 > log b 3 > 0, 那么a,b之间的关系是 __________ b>a>1 .
1 1 解法一：不等式即为 > > 0, log 3 a log 3 b ∴ 0 < log 3 a < log 3 b, ∴ 1 < a < b.
x y=a
当a>1时：若x>0，则y>1；若x<0，则0<y<1。
例：
5
0.1
>1
0<5
−0.1
<1
当0<a<1时：若x>0，则0<y<1；若x<0，则y>1。
例：
0 < 0.50.1 < 1
0.5−0.1 > 1
对数性质：
y = f ( x) = log a x
（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：
0 0
x x y = log 1 x
2
y = log a x
四、综合应用
17.已知f ( x) =| log a x | (0 < a < 1), 则下列各式中正确的是 ( B )
⎛1⎞ A. f ⎜ ⎟ > f (2) > ⎝ 3⎠ ⎛1⎞ C. f (2) > f ⎜ ⎟ > ⎝3⎠ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ f ⎜ ⎟, B. f ⎜ ⎟ > f ⎜ ⎟ > f (2) ⎝4⎠ ⎝4⎠ ⎝ 3⎠ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ f ⎜ ⎟, D. f ⎜ ⎟ > f (2) > f ⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎝4⎠ ⎝4⎠
n
a ,a ≥ 0 = | a | ={ −a , a < 0
指数运算：
(1)
a =n a
a
−n
m n
m
2 3 2 3 5 = 5
(2)
1 = n a
1 − 2 5 = 52
3 2
2 −2 1 3 2 ( ) = =( ) 2 2 3 2 ( ) 3
3+ 2
(3)
a r × a s = a r +s
(复习课)
概念
指数函数
y=a
对数函数 幂函数
x
y = log a x
y=x
α
a > 0 ,a ≠ 1
α ∈R
1.指数与指数幂的运算 一.根式：
n
n
a
如果 x = a n 1.当n为奇数，x= a 2.当n为偶数，x= ± 3.当a=0，即
n n
a
a≥0
a
0= 0
n
4. ①当n为奇数， a n = ②当n为偶数， a n
解法1
解法2
又 Q函数在[0,1]上有意义， 2 函数的定义域为(−∞, ),Q函数在[0,1]上有意义， a 2 2 ∴[0,1] ⊆ (−∞, ), ∴1 < , a < 2. a a 2 Q u = 2 − ax在[0， 1]上为减函数， ∴ umin = u (1) = 2 − a > 0 a ∴ a < 2. 0 1
分解
�y=f(u) 增 减 减 减 增 减
各自判断
减 减 增
复合
y=f[gx)在[0，1]上是x的减函数，则实数a 的取值范围是( B) A (0, 1) B (1,2) C (1,+∞) D (2, +∞)
令u = 2 − ax, 则y = log a u 由于a > 0,因此u = 2 − ax为定义域上的减函数， ∴ y = log a u在定义域上为增函数， ∴a > 1
设x1 , x2 ∈ R , 且x1 < x2 , 则 :
2 2 x1 + x12 + 2 − ( x2 + x2 + 2 ) = ( x1 − x2 ) + ( x12 + 2 − x2 + 2)
= ( x1 − x2 ) +
( x1 − x2 )( x1 + x2 )
x +2 + x +2
2 1
16.已知函数y = log a x在区间[2， + ∞)上恒有 | y |> 1成立, 求实数a的取值范围.
若a>1， 则在区间[2,+∞)上， logax>1恒成立。 y ∴1<a<2。 若0<a<1，
1 则在区间[2,+∞)上， 1 -1 1 2 2
y
y=logax y=log2x
logax<-1恒成立。 1 ∴ <a<1。 2
a ⎧ ≥ 1− 3 ⎪ ∴⎨ 2 2 ⎪ ( 1 − 3 ) − a(1 − 3 ) − a > 0 ⎩
解得2(1 − 3 ) ≤ a < 2, 故所求a的取值范围[2 - 2 3,2)。
8.证明：函数f ( x) = lg( x + 2 + x )在定义域
2
上为单调增函数。
证明 : Q x ∈ R时，x + 2 + x 2 > x + | x |≥ 0 ∴ f ( x)的定义域为R。
3 ×3 = 3
0.5 2
=3
5
(4)
(a ) = a
r
r s
rs
(3 ) = 3
r
2
0.5*2
=3
2
1
(5)
(ab) = a a
r
(2 × 3) = 2 × 3
2
指数函数 y = a
x
的图像及性质
a>1
y y=1
(0,1)
0<a<1
y=ax
(a>1)
y=ax
(0<a<1)
y
(0,1)
图 象 性 质
y = loga x y = logb x
3
解法二：如图所示 ,∴ 1 < a < b.
思考：如果 loga 3 > logb 3, 那么a, b之间的关系是__________.
如果loga 3 > logb 3 > 0, 那么 b>a>1 如果0 > loga 3 > logb 3, 那么 1>b>a>0 如果loga 3 > 0 > logb 3, 那么 a>1>b>0
二、函数的单调性
3.已知函数y=(1-a)x在R上是减函数，则实数a的取 值范围是( B ) A (1, +∞) B (0,1) C (-∞,1) D (-1,1) 4. 已知不等式a2x>ax-1的解集为{x|x>-1},则实数a的 取值范围是( C ) A (0, 1) B (0,1)∪ (1, +∞) C (1,) D (0, +∞)
y
x a
a＞1
y
x =1
0＜a＜1
x =1
(a > 1)
图 象
当
y = log
(1,0)
O
X
(1,0)
O
( 0,+∞)
y = log
X
a
x
(0 < a < 1)
定义域 : 当 0<x < 1 时, y < 0。 值 域 : 过定点: (1 ,0),
x > 1 时，y > 0；
当0< x < 1 时，y > 0； 当 x > 1时， y < 0。