应县第一中学2021届高三上学期第四次月考数学试题2020．12时间：120分钟 满分：150分一、选择题1．已知{}13A x x =-<<，{}2320B x x x =-+<，则A B ⋂=（ ） A ．(,)-∞+∞ B ．(1,2) C ．(1,3)- D ．(1,3) 2．已知A ，B ，C 为平面内不共线的三点，12BD BC =，13DE DA =，则BE =（ ）A ．2133BA BC +B ．1133BA BC + C ．3144BA BC +D ．1223BA BC +3．等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -的值是（ ） A ．20 B ．22 C ．24 D ．8- 4．在等比数列{}n a 中，2a ，16a 是方程2620xx -+=的根，则2169a a a =（ ） A．22-B． CD．或 5．若1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 2b =，12log 3c =则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a << 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8 B． C． D ．47．设m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若//m n ，//n α，则//m α B ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥ C ．若//m α，//n α，则//m n D ．若m α⊥，//n β，则αβ⊥8．在下面四个[],x ππ∈-的函数图象中，函数sin 2y x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．直线34x y b +=与圆222210xy x y +--+=相切，则b =（ ）A ．2-或12B ．2或12-C ．2-或12-D ．2或1210．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2cos 2sin 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）A ．18 B ．38 C ．12 D ．7811．函数()sin(2)2f x A x πϕϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭部分图像如图所示，对不同的1x ，[]2,x a b ∈，若()()12f x f x =，有()12f x x +=，则（ ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 C ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a bb a -=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若60MAN ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ） A．3 B．2C． D ．2 二、填空题13．已知a 与b 的夹角为120︒，3a =，13a b +=，则b的值为______．14．已知实数x ，y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为______．15．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，10a ≠，213a a =，则510SS =______．16．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，3BAC π∠=，其外接球表面积为16π，则三棱锥P ABC -的体积的最大值为______．三、解答题17．在ABC △中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，Csin cos c B C =，（1）求角B 的大小；（2）若4b=，且ABC △的面积等于a ，c 的值．18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：//PB 平面AEC ； （2）若四边形ABCD 是矩形且PA AD =，求证：AE ⊥平面PCD ．20．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，12AA =，BC =D ，E 分别是BC ，1CC 的中点．（1）证明：1B D ⊥平面ADE ；（2）若2AB =，求平面11AB C 与平面ADE 所成二面角的正弦值． 21．已知函数()x f x e ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x >-时，()2()f x a x x >+，求a 的取值范围．22．设1F ，2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，122F E =，直线l 过1F 且垂直于x 轴，交椭圆C 于A ，B 两点，连接A 、B 、2F ，所组成的三角形为等边三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点2F 的直线m 与椭圆C 相交于M 、N 两点，试问：椭圆C 上是否存在点P ，使OP OM ON =+成立？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，说明理由．高三月考四 理科数学答案2020．121．B 2．B 3．C 4．D 5．D 6．A 7．B 8．B 9．D 10．D 11．C 12．A 13、4 14、3 15、4 16、8317、（1sin sin cos A C B B C =⋅+⋅因为A B C π++=)sin sin cos B C C B B C +=⋅+⋅即3(sin cos cos sin )sin sin 3sin cos B C B C C B B C +=+sin B B =因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）由（1）知3B π=，因为4b =，所以由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即22242cos3a c ac π=+-化简，得2216a c ac +-=①因为该三角形面积为1sin 2ac B =，即16ac =②联立①②，解得4a c == 10分 18、解: (1)611a =，1511a d ∴+=，①2a ，5a ，14a 成等比数列，()()()2111413a d a d a d ∴+=++，化简得12da =，②由①②可得，11a =，2d =．∴数列的通项公式是21n a n =-；(2)由(1)得111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 1211111111112335212122121n n nS b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ 12分19、解：（1）连接BD 交AC 于O ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点， 因为E 为PD 的中点，所以//OE PB ，又因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以//PB 平面AEC ； （2）因为PA AD =且E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥， 又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为四边形ABCD 是矩形，所以CD AD ⊥， 因为PA 、AD ⊂平面PAD 且PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，又因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，PD 、CD ⊂平面PCD 且PD CD D ⋂=，所以AE ⊥平面PCD ． 12分20、解：（1）由已知得：1BB BDDC CE==1Rt Rt B BD DCE △∽△， 所以1BB D CDE ∠=∠，所以190CDE B DB ∠+∠=︒， 所以190B DE∠=︒，所以1B D DE ⊥，又因为AB AC =，D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥， 所以AD ⊥平面11BCC B ，所以1AD B D ⊥，而AD DE D ⋂=，所以1B D ⊥平面ADE ．（2）因为222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥，以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，所以1(2,0,2)B ，1(0,2,2)C ，(1,1,0)D ， 则1(2,0,2)AB =，1(0,2,2)AC =，设()111,,m x y z =为平面11AB C 的一个法向量，则1100m AB m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111220220x z y z +=⎧⎨+=⎩，取11x =，得11z =-，11y =，所以(1,1,1)m =-，平面ADE 的法向量为1(1,1,2)n B D ==--，所以cos 311m n m n θ⋅====⋅+，所以sin 3θ=，所以，平面11AB C 与平面ADE 所成二面角的正弦值为3． 12分21解析：（1）()x f x e a =-'，若0a ≤，则()0f x '>，此时()f x 单调递增；若0a >，由()0f x '<得ln x a <，由()0f x '>得ln x a >，此时()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增． 4分（2）由()2()f x a x x >+得()22x a x x e +<，当0x =时，显然成立；当(1,0)x ∈-时，220x x +<，22xea x x>+，令2()2x e g x x x =+，则()()()()2222222(22)2()022x x xe x x x e x e g x x x x x +-+-'==<++， ()g x 在(1,0)-上单调递减，1()(1)g x g e <-=-，此时1a e≥-； 当(0,)x ∈+∞时，220x x +>，22xea x x<+，由()()2222()02x xeg x xx -'==+知()g x 在x =()g x g ≥=，此时a <，综上可得a 的取值范围是1e ⎡⎫-⎢⎣．22．答案：（1）由122F F =可得1c =，等边三角形2ABF △中：1AF =2AF = 则122AF AF a +=，得a =又因为222b a c =-，所以b =则椭圆C ：22132x y +=； 5分 （2）设()11,Mx y 、()22,N x y ，则由题意知的m 斜率为一定不为0，故不妨设m ：(1)y k x =-，代入椭圆C ：22132x y +=的方程中，整理得()2222326360k x k x k +-+-=， 显然0∆>．由韦达定理有：2122632k x x k +=+，21223632k x x k -=+①且()()221212241132k y y k x x k -=--=+②假设存在点P ，使OP OM ON =+成立，则其充要条件为： 点()1212,Px x y y ++，点P 在椭圆上，即()()221212132x x y y +++=．整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=又A ，B 在椭圆上，即2211236x y +=，2222236x y +=，故由①②代入：12124660x x y y ++=，解得k =则3,22P ⎛± ⎝⎭． 12分。