江西省上高二中高三上学期第四次月考数学理命题：晏海鹰一、选择题（12×5=60分）1．已知集合{}{}lg ,1,2,1,1,2A y y x x B ==>=--，全集U R =，则下列结论正确的是 ( ) A ．{}2,1A B =-- B ． )0,()(-∞=⋃B A C U C ．()0,A B =+∞D ．}1,2{)(--=⋂B A C U2、下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的必要不充分条件的是（ ）3、若等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S a +=+，则常数a 的值等于（ ）A ．13-B ．－1C ．13D ．－34.△ABC 中，若sinA ·sinB=cos22C，则△ABC 是 ( ) A 等边三角形 B 等腰三角形 C 不等边三角形 D 直角三角形5．已知实数,a b 均不为零，sin cos tan ,,cos sin 6a b ba b a ααπββααα+=-=-且则等于（ ） AB．3 C． D．3-6．函数21()()log 3x f x x =-, 正实数,,a b c 成公比大于1的等比数列,且满足()()()0f a f b f c ⋅⋅<,若0x 是方程()0f x =的解,那么下列不等式中不可能成立的是（ ）A ．0x a <B ．0x b >C ．0x c <D ．0x c >7．设M 是ABC ∆内一点，且23,30AB AC BAC ⋅=∠=，定义()(,,)f M m n p =，其中,,m n p 分别是,,MBC MCA MAB ∆∆∆的面积，若1()(,,)2f M x y =，则14x y+的最小值是 （ ） A ．8B ．9C ．16D ．188. 设函数若将的图像沿x 轴向右平移个单位长度，得到的图像经过坐标原点；若将的图像上所有的点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像经过点（则 （ ） A ．B ．C ．D ．适合条件的不存在 ).20,0)(sin()(πφωφω<<>+=x x f )(x f 61)(x f 21)1,616,πφπω==3,2πφπω==8,43πφπω==φω,9. 已知函数满足，则的解是（ ） A ． B ． C ． D ． 10、如图所示，在△OAB 中，OA ＞OB ，OC ＝OB ， 设＝→a ，＝→b ，若＝λ·，则实数λ的值为( )A ．||)(→→→→→--⋅b a b a a B ．2||)(→→→→→--⋅b a b a a C ．||22→→→→--b a ba D ．222||→→→→--b a ba11．若函数74sin(2)(0,)66y x xππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的图象与直线y m =有三个交点的横坐标分别为123123,,(),x x x x x x <<则1232x x x ++的值是 （ ）A ．34πB ．43πC ．53πD ．32π12. O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP OA λ=+,[0,)sin ||sin ||AB ACB ABC AC λ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭则P 的轨迹一定通过ABC ∆的 ( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心二、填空题（4×4=16分）13．在ABC △中，若43tan =A ，︒=120C ，32=BC ，则AB = .14、如图，半圆的直径 ， 为圆心， 为半圆上不同于 的任意一点，若为半径 上的动 点，则的最小值是__________．15．已知函数()sin())f x x x ωϕωϕ=++,()0>ω为偶函数，集合(){}0A x f x ==，若[]1,1- A 含有10个元素，则ω的取值范围是 .16、在ΔABC 中，∠B=300,∠C=450,若∠A 的平分线 AD 交BC 于D ，使,AD AB u AC λ=+则uλ=()log (01)a f x x a a =>≠且23()()f f a a >1(1)1f x->111x a <<-11x a <<10x a <<101x a<<-6AB =O C A B 、P OC ()PA PB PC +⋅ BP C BA座 位 号高三年级第四次数学月考试卷(理)答题卡一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12二、填空题13、 14、 15、 16、 三、解答题（74分）17.（12分） 已知：，（）.(Ⅰ) 求关于的表达式，并求的最小正周期；(Ⅱ) 若时，的最小值为5，求的值.18、（12分）在△ABC 中，3tan tan tan tan 3A B A B --=． （I ）求∠C 的大小；（Ⅱ）设角A ，B ，C 的对边依次为,,a b c ，若2c =，且△ABC 是锐角三角形，求22a b + 的取值范围．19．（ 12分）近段时间我国北方严重缺水, 某城市曾一度取消洗车行业. 时间久了，车容影响了市容市貌. 今年该市决定引进一种高科技产品污水净化器，允许洗车行开始营业，规定洗车行必须购买这种污水净化器，使用净化后的污水(达到生活用水标准)洗车. 污水净化器的(3sin ,cos ),(cos ,cos )a x x b x x ==122)(-+⋅=m b a x fR m x ∈,()f x x ()f x ]2,0[π∈x ()f x m价格是每台90万元，全市统一洗车价格为每辆每次8元. 该市今年的汽车总量是80000辆，预计今后每年汽车数量将增加辆.洗车行A 经过测算，如果全市的汽车总量是x ，那么一年内在该洗车行洗车的平均辆次是x 41，该洗车行每年的其他费用是0元. 问：洗车行A 从今年开始至少经过多少年才能收回购买净化器的成本？（注：洗车行A 买一台污水净化器就能满足洗车净水需求）20．（12分）设函数21()(0)ax bx f x a x c++=>+为奇函数，且min |()|f x ={}n a 与{}n b 满足如下关系：11()12,,.21n n n n nn f a a a a a b a +--===+ (1)求()f x 的解析式；(2)求数列{}n b 的通项公式n b ；（3）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求证：对任意的*n N ∈有3.2n S n <+21.（12分）已知xe a x xf )()(2-=（I ）若a ＝3，求)(x f 的单调区间和极值；（II ）已知21,x x 是)(x f 的两个不同的极值点，且||||2121x x x x ≥+， 若b a a a a f +-+<323)(323恒成立，求实数b 的取值范围．22．（ 14分）已知函数()ln pf x px x x =--，()222ln 1p e e g x x x p ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，其中e 为无理数 2.71828e =．（1）若0p =，求证：()1f x x ≥-；（2）若()f x 在其定义域内是单调函数，求p 的取值范围；（3）对于区间（1，2）中的任意常数p ，是否存在00x >使()()00f x g x ≤成立？若存在，求出符合条件的一个0x ；否则，说明理由．高三年级第四次数学月考试卷(理)答案1—5：D B D B B 6—10:D D A A D 11—12:C C13. 5 14.92-15、)211,9[ππ17．解：(Ⅰ) ……2分……………………………………………………4分. …………………………………………………………6分的最小正周期是. …………………………………………………7分(Ⅱ) ∵， ∴. ………………………………………………………9分∴当即时，函数取得最小值是. ………11分∵，∴.……………………………………………12分18、解：（1）依题意：，∴，∴，（2）由三角形是锐角三角形可得，即。

由正弦定理得∴，∴，∵ ，∴，∴即。

19．本题主要考查数列与不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题与解决问题的能力，考查应用意识. 满分13分.解：设第一年（今年）的汽车总量为1a ，第n 年的汽车总量为n a ，则180000a = 282000a =，…80000(1)2000n a n=+-⋅.数列{}n a 构成的首项为80000，公差为的等差数列，12(1)8000020002n n n n S a a a n -=++⋅⋅⋅+=+⋅. ……………………（4分） 2()cos 2cos 21f x x x x m =++-2cos 22x x m =++2sin(2)26x m π=++()f x ∴π]2,0[π∈x ]67,6[62πππ∈+x 6762ππ=+x 2π=x ()f x 12-m 512=-m 3=m tan tan 1tan tan A BA B +=-tan()A B +=0A B π<+<23A B π+=3C A B ππ=--=22A B ππ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩62A ππ<<sin sin sin a b c A B C ==sin sin ca A A C =⨯2sin()3b B A π-2222162[sin sin ()]()33a b A A f A π+=+-=222216[sin sin ]3a b A C +=+168sin(2)336A π=+-62A ππ<<52666A πππ<-<1sin(2)126A π<-≤222083a b <+≤若洗车行A 从今年开始经过n 年可以收回购买净化设备的成本.（(1)8000020002n n n -+⋅）184⋅⋅-0n ≥900000，………………（8分） 整理得，2694500,n n +-≥ (6)(75)0,n n -+≥ 因为0n >，所以 6n ≥.答：至少要经过6年才能收回成本. …………………（13分）20. 解：(1)由()f x 是奇函数，得0b c ==，由min |()|f x =，得2,a =故221().x f x x+=(2)∵21()122n n n n nf a a a a a +-+==∴22221122111122111121112n n n n n n n n n n n n n na a a a a ab b a a a a a a ++++-⎛⎫--+-===== ⎪+++++⎝⎭+∴1242121n n n n b b b b ---====…，而113b =，∴121()3n n b -=(3)证明：由(2) 11111122222211()113123()111331311()3n n n n n n n n n a a a ------+-+=⇒===++--- 要证明的问题即为1121122222232313131n ---+++<---… 当1n =时，12n n -=当2n ≥时，1101112(11)n n n n C C n ----=+≥+= ∴12n n -≥则1211113333233231n n n n n n -----≥=⨯=⨯+≥⨯+故11221()331n n --≤- 则11211212221[1()]22211131()()133331313113n n n -----+++≤++++=---- (3313)()2232n =-<得证21．解：（1）xe x xf a )3()(,32-=∴=130)32()(2或-=⇒=-+='x e x x x f x ……………1分 当),1()3,(+∞⋃--∞∈x 时()0,(3,1)f x x '>∈-时0)(<'x f)(x f ∴的增区间为]3,(--∞，；),1[+∞减区间为[-3，1]， ………………3分)(x f 的极大值为36)3(-=-e f ；极小值为.2)1(e f -= …………………5分（2）0)2()(2=-+='x e a x x x f 即02=-+2a x x由题意两根为21,x x ，a x x x x -=-=+∴2121,2．故22≤≤-a 又044>+=∆a .21≤<-∴a ………………7分 记a a a e a a a a a a f a g a 323)(3323)(3)(23223+---=+--=333)1(3)(22+---+='a a e a a a g a02510)1)(1(32=±-=⇒=--+=a a e a a a 或(() ()0 ()0 ()0a g a g a g a g a -''''><> ()g a 递增 递减 递增 …………10分又2(0)0,(2)68g g e ==- 2max ()68g a e ∴=- ……………11分268b e ∴>- …………12分22．解：（Ⅰ）证明：当0p =时，()ln f x x =-．令()ln 1m x x x =-+，则()111xm x x x-'=-=． 若()01,0x m x '<<>，()m x 递增；若()1,0x m x '><，()m x 递减， 则1x =是()m x 的极（最）大值点．于是()()10m x m ≤=，即ln 10x x -+≤．故当0p =时，有()1f x x ≥-．（Ⅱ）解：对()ln p f x px x x=--求导，得()2221p px x pf x p x x x -+'=+-=．①若0p =，()10f x x'=-<，则()f x 在()0,+∞上单调递减，故0p =合题意．②若0p >，()22111244h x px x p p x p p p p p ⎛⎫=-+=-+-≥- ⎪⎝⎭． 则必须()10,04p f x p '-≥≥，故当12p ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增． ③若0p <，()h x 的对称轴102x p=<，则必须()()00,0h f x '≤≤， 故当0p <时，()f x 在()0,+∞上单调递减．综合上述，p 的取值范围是(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭． （Ⅲ）解：令()()()222ln e eF x f x g x px x px-=-=-+．则问题等价于找一个00x >使()0F x ≤成立，故只需满足函数的最小值()min 0F x ≤即可．因()()()22222222px e px e e e p e e F x p x x x px px x p p --+⎛⎫⎛⎫--'=--==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，而220,12,0,0e ex p p p p-><<>><， 故当0e x p <<时，()0F x '<，()F x 递减；当ex p>时，()0F x '>，()F x 递增．于是，()min 22ln 222ln 40e F x F e p e e p p ⎛⎫==-++-=+-> ⎪⎝⎭．与上述要求()min 0F x ≤相矛盾，故不存在符合条件的0x ．。