江西省上高二中高三上学期第四次月考数学理命题:晏海鹰一、选择题(12×5=60分)1.已知集合{}{}lg ,1,2,1,1,2A y y x x B ==>=--,全集U R =,则下列结论正确的是 ( ) A .{}2,1A B =-- B . )0,()(-∞=⋃B A C U C .()0,A B =+∞D .}1,2{)(--=⋂B A C U2、下列电路图中,闭合开关A 是灯泡B 亮的必要不充分条件的是( )3、若等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S a +=+,则常数a 的值等于( )A .13-B .-1C .13D .-34.△ABC 中,若sinA ·sinB=cos22C,则△ABC 是 ( ) A 等边三角形 B 等腰三角形 C 不等边三角形 D 直角三角形5.已知实数,a b 均不为零,sin cos tan ,,cos sin 6a b ba b a ααπββααα+=-=-且则等于( ) AB.3 C. D.3-6.函数21()()log 3x f x x =-, 正实数,,a b c 成公比大于1的等比数列,且满足()()()0f a f b f c ⋅⋅<,若0x 是方程()0f x =的解,那么下列不等式中不可能成立的是( )A .0x a <B .0x b >C .0x c <D .0x c >7.设M 是ABC ∆内一点,且23,30AB AC BAC ⋅=∠=,定义()(,,)f M m n p =,其中,,m n p 分别是,,MBC MCA MAB ∆∆∆的面积,若1()(,,)2f M x y =,则14x y+的最小值是 ( ) A .8B .9C .16D .188. 设函数若将的图像沿x 轴向右平移个单位长度,得到的图像经过坐标原点;若将的图像上所有的点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到的图像经过点(则 ( ) A .B .C .D .适合条件的不存在 ).20,0)(sin()(πφωφω<<>+=x x f )(x f 61)(x f 21)1,616,πφπω==3,2πφπω==8,43πφπω==φω,9. 已知函数满足,则的解是( ) A . B . C . D . 10、如图所示,在△OAB 中,OA >OB ,OC =OB , 设=→a ,=→b ,若=λ·,则实数λ的值为( )A .||)(→→→→→--⋅b a b a a B .2||)(→→→→→--⋅b a b a a C .||22→→→→--b a ba D .222||→→→→--b a ba11.若函数74sin(2)(0,)66y x xππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的图象与直线y m =有三个交点的横坐标分别为123123,,(),x x x x x x <<则1232x x x ++的值是 ( )A .34πB .43πC .53πD .32π12. O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP OA λ=+,[0,)sin ||sin ||AB ACB ABC AC λ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭则P 的轨迹一定通过ABC ∆的 ( )A .外心B .内心C .重心D .垂心二、填空题(4×4=16分)13.在ABC △中,若43tan =A ,︒=120C ,32=BC ,则AB = .14、如图,半圆的直径 , 为圆心, 为半圆上不同于 的任意一点,若为半径 上的动 点,则的最小值是__________.15.已知函数()sin())f x x x ωϕωϕ=++,()0>ω为偶函数,集合(){}0A x f x ==,若[]1,1- A 含有10个元素,则ω的取值范围是 .16、在ΔABC 中,∠B=300,∠C=450,若∠A 的平分线 AD 交BC 于D ,使,AD AB u AC λ=+则uλ=()log (01)a f x x a a =>≠且23()()f f a a >1(1)1f x->111x a <<-11x a <<10x a <<101x a<<-6AB =O C A B 、P OC ()PA PB PC +⋅ BP C BA座 位 号高三年级第四次数学月考试卷(理)答题卡一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12二、填空题13、 14、 15、 16、 三、解答题(74分)17.(12分) 已知:,().(Ⅰ) 求关于的表达式,并求的最小正周期;(Ⅱ) 若时,的最小值为5,求的值.18、(12分)在△ABC 中,3tan tan tan tan 3A B A B --=. (I )求∠C 的大小;(Ⅱ)设角A ,B ,C 的对边依次为,,a b c ,若2c =,且△ABC 是锐角三角形,求22a b + 的取值范围.19.( 12分)近段时间我国北方严重缺水, 某城市曾一度取消洗车行业. 时间久了,车容影响了市容市貌. 今年该市决定引进一种高科技产品污水净化器,允许洗车行开始营业,规定洗车行必须购买这种污水净化器,使用净化后的污水(达到生活用水标准)洗车. 污水净化器的(3sin ,cos ),(cos ,cos )a x x b x x ==122)(-+⋅=m b a x fR m x ∈,()f x x ()f x ]2,0[π∈x ()f x m价格是每台90万元,全市统一洗车价格为每辆每次8元. 该市今年的汽车总量是80000辆,预计今后每年汽车数量将增加辆.洗车行A 经过测算,如果全市的汽车总量是x ,那么一年内在该洗车行洗车的平均辆次是x 41,该洗车行每年的其他费用是0元. 问:洗车行A 从今年开始至少经过多少年才能收回购买净化器的成本?(注:洗车行A 买一台污水净化器就能满足洗车净水需求)20.(12分)设函数21()(0)ax bx f x a x c++=>+为奇函数,且min |()|f x ={}n a 与{}n b 满足如下关系:11()12,,.21n n n n nn f a a a a a b a +--===+ (1)求()f x 的解析式;(2)求数列{}n b 的通项公式n b ;(3)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,求证:对任意的*n N ∈有3.2n S n <+21.(12分)已知xe a x xf )()(2-=(I )若a =3,求)(x f 的单调区间和极值;(II )已知21,x x 是)(x f 的两个不同的极值点,且||||2121x x x x ≥+, 若b a a a a f +-+<323)(323恒成立,求实数b 的取值范围.22.( 14分)已知函数()ln pf x px x x =--,()222ln 1p e e g x x x p ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭,其中e 为无理数 2.71828e =.(1)若0p =,求证:()1f x x ≥-;(2)若()f x 在其定义域内是单调函数,求p 的取值范围;(3)对于区间(1,2)中的任意常数p ,是否存在00x >使()()00f x g x ≤成立?若存在,求出符合条件的一个0x ;否则,说明理由.高三年级第四次数学月考试卷(理)答案1—5:D B D B B 6—10:D D A A D 11—12:C C13. 5 14.92-15、)211,9[ππ17.解:(Ⅰ) ……2分……………………………………………………4分. …………………………………………………………6分的最小正周期是. …………………………………………………7分(Ⅱ) ∵, ∴. ………………………………………………………9分∴当即时,函数取得最小值是. ………11分∵,∴.……………………………………………12分18、解:(1)依题意:,∴,∴,(2)由三角形是锐角三角形可得,即。
由正弦定理得∴,∴,∵ ,∴,∴即。
19.本题主要考查数列与不等式等基本知识,考查运用数学知识分析问题与解决问题的能力,考查应用意识. 满分13分.解:设第一年(今年)的汽车总量为1a ,第n 年的汽车总量为n a ,则180000a = 282000a =,…80000(1)2000n a n=+-⋅.数列{}n a 构成的首项为80000,公差为的等差数列,12(1)8000020002n n n n S a a a n -=++⋅⋅⋅+=+⋅. ……………………(4分) 2()cos 2cos 21f x x x x m =++-2cos 22x x m =++2sin(2)26x m π=++()f x ∴π]2,0[π∈x ]67,6[62πππ∈+x 6762ππ=+x 2π=x ()f x 12-m 512=-m 3=m tan tan 1tan tan A BA B +=-tan()A B +=0A B π<+<23A B π+=3C A B ππ=--=22A B ππ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩62A ππ<<sin sin sin a b c A B C ==sin sin ca A A C =⨯2sin()3b B A π-2222162[sin sin ()]()33a b A A f A π+=+-=222216[sin sin ]3a b A C +=+168sin(2)336A π=+-62A ππ<<52666A πππ<-<1sin(2)126A π<-≤222083a b <+≤若洗车行A 从今年开始经过n 年可以收回购买净化设备的成本.((1)8000020002n n n -+⋅)184⋅⋅-0n ≥900000,………………(8分) 整理得,2694500,n n +-≥ (6)(75)0,n n -+≥ 因为0n >,所以 6n ≥.答:至少要经过6年才能收回成本. …………………(13分)20. 解:(1)由()f x 是奇函数,得0b c ==,由min |()|f x =,得2,a =故221().x f x x+=(2)∵21()122n n n n nf a a a a a +-+==∴22221122111122111121112n n n n n n n n n n n n n na a a a a ab b a a a a a a ++++-⎛⎫--+-===== ⎪+++++⎝⎭+∴1242121n n n n b b b b ---====…,而113b =,∴121()3n n b -=(3)证明:由(2) 11111122222211()113123()111331311()3n n n n n n n n n a a a ------+-+=⇒===++--- 要证明的问题即为1121122222232313131n ---+++<---… 当1n =时,12n n -=当2n ≥时,1101112(11)n n n n C C n ----=+≥+= ∴12n n -≥则1211113333233231n n n n n n -----≥=⨯=⨯+≥⨯+故11221()331n n --≤- 则11211212221[1()]22211131()()133331313113n n n -----+++≤++++=---- (3313)()2232n =-<得证21.解:(1)xe x xf a )3()(,32-=∴=130)32()(2或-=⇒=-+='x e x x x f x ……………1分 当),1()3,(+∞⋃--∞∈x 时()0,(3,1)f x x '>∈-时0)(<'x f)(x f ∴的增区间为]3,(--∞,;),1[+∞减区间为[-3,1], ………………3分)(x f 的极大值为36)3(-=-e f ;极小值为.2)1(e f -= …………………5分(2)0)2()(2=-+='x e a x x x f 即02=-+2a x x由题意两根为21,x x ,a x x x x -=-=+∴2121,2.故22≤≤-a 又044>+=∆a .21≤<-∴a ………………7分 记a a a e a a a a a a f a g a 323)(3323)(3)(23223+---=+--=333)1(3)(22+---+='a a e a a a g a02510)1)(1(32=±-=⇒=--+=a a e a a a 或(() ()0 ()0 ()0a g a g a g a g a -''''><> ()g a 递增 递减 递增 …………10分又2(0)0,(2)68g g e ==- 2max ()68g a e ∴=- ……………11分268b e ∴>- …………12分22.解:(Ⅰ)证明:当0p =时,()ln f x x =-.令()ln 1m x x x =-+,则()111xm x x x-'=-=. 若()01,0x m x '<<>,()m x 递增;若()1,0x m x '><,()m x 递减, 则1x =是()m x 的极(最)大值点.于是()()10m x m ≤=,即ln 10x x -+≤.故当0p =时,有()1f x x ≥-.(Ⅱ)解:对()ln p f x px x x=--求导,得()2221p px x pf x p x x x -+'=+-=.①若0p =,()10f x x'=-<,则()f x 在()0,+∞上单调递减,故0p =合题意.②若0p >,()22111244h x px x p p x p p p p p ⎛⎫=-+=-+-≥- ⎪⎝⎭. 则必须()10,04p f x p '-≥≥,故当12p ≥时,()f x 在()0,+∞上单调递增. ③若0p <,()h x 的对称轴102x p=<,则必须()()00,0h f x '≤≤, 故当0p <时,()f x 在()0,+∞上单调递减.综合上述,p 的取值范围是(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭. (Ⅲ)解:令()()()222ln e eF x f x g x px x px-=-=-+.则问题等价于找一个00x >使()0F x ≤成立,故只需满足函数的最小值()min 0F x ≤即可.因()()()22222222px e px e e e p e e F x p x x x px px x p p --+⎛⎫⎛⎫--'=--==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,而220,12,0,0e ex p p p p-><<>><, 故当0e x p <<时,()0F x '<,()F x 递减;当ex p>时,()0F x '>,()F x 递增.于是,()min 22ln 222ln 40e F x F e p e e p p ⎛⎫==-++-=+-> ⎪⎝⎭.与上述要求()min 0F x ≤相矛盾,故不存在符合条件的0x .。