银川一中2021届高三年级第四次月考理科数学命题教师：注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}23404135A x x x B =--<=-，，，，，则A B ⋂=A ．{}-41，B ．{}15，C ．{}35，D ．{}13，2．设312iz i-=+，则z =A ．2B 3C 2D ．13．若平面上单位向量,a b 满足3+=2a b b ⋅ （），则向量,a b 的夹角为A ．6πB ．3πC ．2πD ．π4．已知直线l 是平面α和平面β的交线，异面直线a ，b 分别在平面α和平面β内．命题p ：直线a ，b 中至多有一条与直线l 相交；命题q ：直线a ，b 中至少有一条与直线l 相交；命题s ：直线a ，b 都不与直线l 相交．则下列命题中是真命题的为A ．p q∨⌝B ．p s⌝∧C ．q s∧⌝D ．p q⌝∧⌝5．如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为),1,0(),1,(),1,(),1,0(D C B A ππ--正弦曲线()sin f x x =和余弦曲线()cos g x x =在矩形ABCD内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是A ．12+πB ．12+2πC ．1πD ．12π6．函数()2)(0,2f x x πωϕωϕ=+><，的部分图象如图所示，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．26-B ．32C ．22D ．2-27．设2222tan121cos 48cos 12-sin 121-tan 122a b c -===，，A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c<<8．已知函数()2121x x f x -+＝，若不等式()()22120f a a m f a --+-<对任意的[]-14a ∈，均成立，则m 的取值不可能是A ．9B ．8C ．7D ．69．已知函数()3sin ()f x x x x R +∈＝，函数()g x 满足()()20()g x g x x R +-=∈，若函数()()()1-h x f x g x -＝恰有2021个零点，则所有这些零点之和为A ．2018B ．2019C ．2020D ．202110．公元四世纪的古希腊数学家佩波斯提出：蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代表．他猜想人们所见到的截面呈六边形的蜂巢，是蜜蛑采用最少量的蝉蜡建造而成的．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的顶点称为“晶格点”，重复的算作一个“晶格点”，已知第一行有1个六边形，第二行有2个六边形，每行比上一行多一个六边形六边形均相同，设图中前n 行晶格点数n b 满足+1-=25,n n b b n n N *+∈，则10=b A ．101B ．123C ．141D ．15011．已知函数()32(4)4,0,0xx a x a x f x a x ⎧+-+->⎪⎨≤⎪⎩＝是单调递增函数，则实数a 的取值范围是A ．(12)，B ．(]13，C ．[]23，D ．[)3+∞，12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且22EF =，则下列结论中错误．．的个数是(1)AC BE ⊥．(2)若P 为1AA 上的一点，则P 到平面BEF 的距离为22．(3)三棱锥-A BEF 的体积为定值．(4)在空间与1DD ，AC ，11B C 都相交的直线有无数条．(5)过1CC 的中点与直线1AC 所成角为40 并且与平面BEF 所成角为50 的直线有2条．A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若1=1a ，且1233,2,S S S 成等差数列，则4=a ___．14．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(cos sin )3b a C C =+，3a =，1c =，则角C ______．15．已知矩形ABCD 中，2,B 3,AB C E ==是CD 边的中点．现以AE 为折痕将ADE ∆折起，当三棱锥D ABE -的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为______．16．函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当1x >时，()=ln xf x x，若()()2-240fx mf x m +=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分)17．(12分)如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，PA AD a==．(1)求证：//MN 平面PAD (2)求证：MN ⊥平面PCD ．18．(12分)已知正项等比数列{}n a 中，4=81a ，且23,a a 的等差中项为123(2)a a +．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若321=log n n b a -，数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n c 满足141n n c S =-，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T .19．(12分)如图，扇形ABC 是一块半径为2千米，圆心角为60 的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，线段RQ 表示第三条街道．（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ 、PR 、RQ 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？20．(12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1=22AA AB =，1=3BAA π∠，D 为1AA 的中点，点C 在平面11ABB A 内的射影在线段BD 上．（1）求证：1B D ⊥平面CBD ；（2）若CBD ∆是正三角形，求二面角1C BD C --的余弦值．21．(12分)已知函数()214ln --22f x x a x x =-，其中a 为正实数．（1）若函数()y f x =在1x =处的切线斜率为2，求a 的值；（2）若函数()y f x =有两个极值点12x x ，，求证：12((f x f x )+)<6-lna ．(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是2y =，曲线C 的参数方程是2cos ()2x y in ϕϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数,以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若()1,A ρα是曲线C 上一点，2,4B πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭是直线l 上一点，求2211OA OB+的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知()12f x x x =++-．（1）求不等式()4f x x ≤+的解集；（2）若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：111++2m a b b c c a ≥+++．银川一中2021届高三第四次月考数学(理科)参考答案一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案D C B C B C A D D C C A10.C【解析】，，则，所以数列是以7为首项，2为公差的等差数列，当时，，所以．故选：C．12.A【解析】解：对于，在正方体中平面，又平面，故正确．对于，，平面，平面，平面，即平面BEF，又正方体的棱长为1，到平面BEF的距离为到的距离，若P为上的一点，则P到平面BEF的距离为，故正确；对于，，设AC，BD交于点O，平面，，，故正确；对于取AC中点O，延长，交于一点，而在正方体中，与，AC，都相交的直线只有这一条．故错误；对于，因为平面，即平面BEF，要与平面BEF所成角为，即为过的中点的直线与AC成，由于过的中点与直线和直线AC所成角都为的直线有2条．故正确；故答案为：B．根据题意，依次分析：如图可知平面，，进而判断出正确；根据，判断出平面，即平面BEF，计算出到平面BEF的距离，即可判断出项错误；设AC，BD交于点O，平面，可分别求得和AO，则三棱锥的体积可得判断项正确；再利用正方体中线线，线面的位置关系，即可判定和项正确．本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直，考查线面角、线线角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.2714.15.16.三、解答题：17.【答案】证明：(1)如图，取CD的中点E，连接NE，ME．，M，N分别是CD，AB，PC的中点，，，平面平面PDA，平面PAD．平面ABCD，．底面ABCD是矩形，，又，平面PAD，．，，又，，平面ENM，．，N是PC的中点，又，平面PCD．18.【答案】解：设等比数列的公比为，由题意，得解得所以由得，，，，．19.【答案】解：由P位于弧BC的中点，在P位于的角平分线上，则丨PQ丨丨PR丨丨PA丨，丨AQ丨丨PA丨，由，且丨AQ丨丨AR丨，为等边三角形，则丨RQ丨丨AQ丨，三条街道的总长度丨PQ丨丨PR丨丨RQ丨；设，，则丨PQ丨丨AP丨，丨PR丨丨AP丨，丨AQ丨丨AP丨，丨AR丨丨AP丨由余弦定理可知：丨RQ丨丨AQ丨丨AR丨丨AQ丨丨AR丨，，，则丨RQ丨，三条街道每年能产生的经济总效益W，丨PQ丨丨PR丨丨RQ丨，，，，当时，W取最大值，最大值为20.【答案】证明：设点C在平面内的射影E，则，平面CBD，平面，因平面，所以D.在中，，，则，在中，，，则，故，故BD，因，故B平面CBD．以D为坐标原点，，所在的直线分别为x，y轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，1，，，由是正三角形可知，，，，平面CBD的一个法向量，面的法向量，，由图可知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为．21.【答案】解：因为，所以，则，所以a的值为，函数的定义域为，若，即，则，此时的单调减区间为；若，即，则的两根为，此时的单调增区间为，，单调减区间为所以当时，函数有两个极值点，，且，．因为，要证，只需证构造函数，则，在上单调递增，又，，且在定义域上不间断，由零点存在定理，可知在上唯一实根，且则在上递减，上递增，所以的最小值为，因为，当时，，则，所以恒成立．所以，所以，得证22.【答案】解：Ⅰ直线l的方程是，转换为极坐标方程为，曲线C的参数方程是为参数转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．Ⅱ点是曲线C上一点，所以：，所以，点是直线l上一点，所以，所以，，当时，最大值为．23.【答案】解：当时，由，得，此时无解；当时，由，得，此时的解为；当时，由，解得，此时的解为．综上，不等式的解集为；证明：，故的最小值为，．，等号当且仅当，即时成立．，，，即．。