1．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分4分）在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，2=BC ，Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在斜边AB 上的点D ，设点A 点E 重合，联结AE ，过点E 作直线EM 与射线CB 垂直，交点为M ． （1）若点M 与点B 重合如图10，求BAE ∠cot 的值；（2）若点M 在边BC 上如图11，设边长x AC =，y BM =，点M 与点B 不重合，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）若EBM BAE ∠=∠，求斜边AB 的长．2．（本题满分14分，其中第（1）小题各4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知在梯形ABCD 中，AD 38运动时间为t （单位:s ）.（1）求证: DE =CF ；CB (M )图10图11（2）设x = 3，当△PAQ与△QBR相似时，求出t的值；（3）设△PAQ关于直线PQ对称的图形是△PA'Q，当t和x分别为何值时，点A'与圆心O4．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90º，AB=4，AD=3，552sin=∠BCD，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，垂足为H．（1）求证：∠BCD=∠BDC；（2）如图1，若以P为圆心、PB为半径的圆和以H为圆心、HD 为半径的圆外切时，求DP的长；（3）如图2，点E在BC延长线上，且满足DP=CE，PE交DC于点F，若△ADH和△ECF相似，求DP的长．、5.6、（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）已知：⊙O 的半径为3，OC ⊥弦AB ，垂足为D ，点E 在⊙O 上，ECO BOC ∠=∠，射线CE CE 与射线OB 相交于点F ．设,AB x = CE y =（1）求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数定义域； （2）当OEF ∆为直角三角形时，求（3）如果1BF =，求EF 的长．7．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：如图七，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠A ＝90°，AD ＝6，AB ＝8，sinC ＝54，点P 在射线DC 上， 点Q 在射线AB 上，且PQ⊥CD，设DP ＝x ，BQ ＝y ．（1）求证：点D 在线段BC 的垂直平分线上； （2）如图八，当点P 在线段DC 上，且点Q 在线BCD A（图八）(图七)段AB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）若以点B 为圆心、BQ 为半径的⊙B 与以点C 为圆心、CP 为半径的⊙C 相切，求线段DP 的长．(备用)1.解：（1）当点M 与点B 重合，由旋转得：=BC ，EBD CBA ∠=∠，︒=∠=∠90C EDB ∵CB EM ⊥∴∠∴︒=∠=∠45EBD CBA …………1分 ∴︒=∠=∠45CBA CAB ∴2==CB AC∴22=AB …………………………………1分 ∴2==DB DE∴222-=AD ……………………………1分 ∴12cot -==∠DEADBAE ………………1分 （2）设EM 与边AB 交点为G由题意可知：︒=∠+∠9021，︒=∠+∠903CBA 又32∠=∠，∴CBA ∠=∠1∵CBA EBD ∠=∠，∴EBD ∠=∠1，∵BDE EDG ∠=∠，∴△EDG ∽△BDE ∴EDDGBD ED =…………………………………………1分 ∵2==BD BC ，x ED AC ==∴xDGx =2，∴22x DG =…………………………1分由题意可知：ABBCBG MB ABC ==∠cos 42+=x AB ，242x GB -= ∴422422+=-x x y (1)CB (M )∴444222++-=x x x y ……………………1分 定义域为20<<x …………………………1分（3）当点M 在边BC 上时，由旋转可知：EB AB =，∴BAE AEB ∠=∠ 设︒=∠x CBA ，则︒=∠x ABE ，∵EBM BAE ∠=∠，分别延长EA 、BC 交于点H∴︒=∠=∠=∠x EMB BAE AEB 2，∵︒=∠+∠+∠180AEB BAE ABE ∴36=x 易得：︒=∠=∠=∠36ABE ABH H ，︒=∠=∠=∠72AEB BAE HBE ∴BE AB AH ==，HE HB =，∵︒=∠90ACB ，∴2==BC HC ∴4==HE HB ，∴△BAE ∽△HBE ，∴BEAEHB AB =，又AB BE = AB HA HE AE -=-=4，∴ABABAB -=44，∴522±-=AB (负值舍去) ∴522+-=AB …………………………2分当点M 在边CB 的延长线上时，∵BAE AEB ∠=∠，EBM BAE ∠=∠ ∴EBM AEB ∠=∠∴AE ∥MC ∴CBA BAE ∠=∠ ∵EBA CBA ∠=∠∴EBA CBA EBM ∠=∠=∠ ∴︒=∠60CBA ，∵ABBCCBA =∠cos ，2=BC ∴4=AB …………………………2分 综上所述：522+-=AB 或4.2．解：（1）∵ AD122EF AM AD ===38ADNMENF S S ∆=四边形58AME DMF ADNS S S ∆∆∆+=58AME DMF ADN ADN S S S S ∆∆∆∆+=22AME ADN S AM S AD ∆∆=22DMF ADN S DM S AD ∆∆=4DM AD AM x =-=-22(4)516168x x -+=2430x x -+=11x =23x =AB BNNC CD =AN AD BN AN =5105xx =-210250x x -+=5x =5BN CN ==45AN AN=AN=1分）∴∠OHC=90°∵⊙O 与BC 边切于点G ∴OG =6，OG ⊥BC ∴∠OGC=90°∵矩形ABCD ∴∠C =90° ∴四边形OGCH 是矩形 ∴CH =OG∵OG =6 ∴CH =6 （1分） ∵矩形ABCD ∴AB =CD∵AB =12 ∴CD =12 ∴DH =CD ﹣CH =6 ∴DH = CH∴O 是圆心且OH ⊥DC ∴EH =FH （2分） ∴DE =CF . （1分）（2）据题意，设DP =t ，PA =10-t ，AQ =3t ，QB =12-3t ，BR =（0 < t <4）. （1分）∵矩形ABCD ∴∠A =∠B =90° 若△PAQ 与△QBR 相似，则有①BR AQ QB AP = t t t t 5.133-12-10= 514=t （2分） ②QB AQ BR AP = ttt t 31235.1-10-= 146921-=t 或14692-2-=t （舍）（2分） （3）设⊙O 与AD 、AB 都相切点M 、N ，联结OM 、ON 、OA . ∴OM ⊥AD ON ⊥AB 且OM =ON =6 又∵矩形ABCD ∴∠A =90° ∴四边形OMAN 是矩形又∵ OM =ON ∴四边形OMAN 是正方形 （1分） ∴MN 垂直平分OA∵△PAQ 与△PA'Q 关于直线PQ 对称 ∴PQ 垂直平分OA∴MN 与PQ 重合 （1分）∴ MA = PA = 10-t = 6 ∴ t = 4 （1分）(P )3（1分）∴AN = AQ = x t = 6 ∴x =23时点A'与圆心O恰好重合. ∴当t = 4 和x =2456．解：（1）过点O 作OH⊥CE，垂足为H∵在圆O 中，OC⊥弦AB ，OH⊥弦CE ，AB =x ，CE =y∴1122BD AB x ==，1122EH EC y == ………………………………1分 ∵在Rt△ODB 中，222OD BD BO +=，236x - ………1分∵OC=OE ∴∠ECO=∠CEO ∵∠ECO ＝∠BOC∴∠CEO=∠BOC 又∵∠ODB=∠OHE=90°，OE=OB ∴△ODB≌△EHO∴EH=OD …………………………1分∴23622x y -=∴236y x =-……………………………………………………………………1分函数定义域为（＜x＜6）………………………………………………………1分 （2）当△OEF 为直角三角形时，存在以下两种情况： ①若∠OFE ＝90º，则∠COF ＝∠OCF ＝45º ∵∠ODB=90°， ∴∠ABO=45°又∵OA=OB ∴∠OAB= ∠ABO=45°， ∴∠AOB=90° ∴△OAB 是等腰直角三角形∴232=⋅=OB AB …………………………………………………2分②若∠EOF ＝90º ， 则∠OEF ＝∠COF ＝∠OCF ＝30º……………………1分∵∠ODB=90°， ∴∠ABO=60° 又∵OA=OB∴△OAB 是等边三角形∴AB=OB=3…………………………………………………………………2分（3）①当CF ＝OF ＝OB –BF ＝2时，可得：△CFO ∽△COE ，CE ＝292=CF OC ，∴EF ＝CE –CF＝25229=-． ……………………………………………2分②当CF ＝OF ＝OB +BF ＝4时，可得：△CFO ∽△COE ，CE ＝492=CF OC ，∴EF ＝CF –CE ＝47494=-． ……………………………………………2分7、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）解：（1）作DH⊥BC 于H （见图①） …………（1分）在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠B ＝90°, ∠BHD=90°∴四边形ABHD 是矩形∴DH =AB ，BH=AD …………（1分） 又∵AD ＝6，AB ＝8 ∴DH =8，BH=6在Rt △DHC 中, sinC ＝54,可设DH=4k, DC=5k ∴DC=10, HC=681022=-，∴B H=HC=6 …………（1分） 又∵DH⊥BC∴点D 在线段BC 的垂直平分线上 …………（1分） （2）延长BA 、CD 相交于点S （见图②）， …………（1分）∵AD∥BC 且BC ＝12 ∴AD=21BC∴21===BC AD SC SD SB SA ∴SD=DC=10，SA=AB=8 ∵DP ＝x ，BQ ＝y, SP=x+10 由△SPQ～△SAD 得45==SA SD SP SQ ………（1分）∴)10(45+=x SQ …………（1分）2745)10(4516+-=+-=x x BQ∴所求解析式为2745+-=x y ， …………（1分）定义域是0≤x ≤514…………（1分） (说明：若用勾股定理列出：222222PC BC QB DP AQ AD -+=-+亦可，方法多样．)（3）由图形分析，有三种情况：（ⅰ）当点P 在线段DC 上，且点Q 在线段AB 上时，只有可能两圆外切，由BQ+CP=BC ，12102745=-++-x x ，解得32=x（ⅱ）当点P 在线段DC 上，且点Q 在线段AB 的延长线上时，两圆不可能相切，…………（2分）（ⅲ）当点P 在线段DC 的延长线上，且点Q 在线段AB 的延长线上时，此时2745-=x BQ , CP =x-10 …………（1分）若两圆外切，BQ+CP=BC ，即12102745=-+-x x ,解得334=x …………（1分） 若两圆内切，BC CP BQ =-，即12)10(2745=---x x12)10(2745=---x x 解得22=x 12)10(2745-=---x x 解得74-=x （不合题意舍去）…………（1分）综上所述，⊙B 与⊙C 相切时，线段DP 的长为32，334或22 ．。