一对一个性化讲义本次课课堂教学内容平方根【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的x a 2x a x a算术平方根还是0）；，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.要点诠释：有意义时，≥0，≥0. 2. 平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.. 【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根 B.l 是l 的一个平方根C.的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）没有平方根．（ ） （2．（ ）a a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aa =≥250=25= 2.5=0.25=()24-9-4=±（3）的平方根是．（ ） （4）是的算术平方根．（ ） 2、 填空：（1）是 的负平方根． （2表示的算术平方根， ． （3的算术平方根为 ．（4，则，若，则 ．【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 是64的负的平方根．A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【变式2】求下列各式的值：（1）（2 （3 （43的取值范围是______________． 【总结升华】有意义时，≥0，≥0. 【变式】（2016春•庐江县期末）已知()220x y ++=，求2x y -的平方根．类型二、利用平方根解方程 4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x 值 （1）169x 2=144 （2）（x ﹣2）2﹣36=0．21()10-110±25--4254-=3=x =3=x =8-x a a【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数. 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、（2015秋•张家港市校级期中）已知2a ﹣1的平方根是±3，3a+b ﹣9的立方根是2，c 是的整数部分，求a+b+c 的平方根．【总结升华】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，还要掌握实数的基本运算技能，灵活应用．【变式】已知2－1与－＋2是的两个不同的平方根，求的值.2、为何值时，下列各式有意义？；；． 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．【变式】已知，求的算术平方根．类型二、平方根的运算 3、求下列各式的值．；a a m m x 2b =11a b+2234+【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根来解．类型三、利用平方根解方程4、（2016春·沾益县校级期中）求下列方程中的值.（1）21202x -= （2）()213903x +-=【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）小题中运用了整体思想分散了难度. 【变式】求下列等式中的：（1）若，则＝______； （2），则＝______； （3）若则＝______；（4）若，则＝______．类型四、平方根的综合应用5、已知、，解关于的方程．【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出、的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可． ，求的值．6、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.(0)a a =>x x 21.21x =x 2169x =x 29,4x =x ()222x =-x a b |0b -=x 2(2)1a x b a ++=-a b 0=20112012x y +2cm 2cm 2:3【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.【变式】（2015春•台安县月考）某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000m2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420m2，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出1m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？立方根【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数aa是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质=a=3a=要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.0.060.6660.cm类型一、立方根的概念1、（2016春•吐鲁番市校级期中）下列语句正确的是（ ）A ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0B ．一个数的立方根不是正数就是负数C ．负数没有立方根D ．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0【变式】下列结论正确的是（ ）A ．64的立方根是±4B ．12-是16-的立方根C ．立方根等于本身的数只有0和1D =类型二、立方根的计算2、求下列各式的值：（1）327102-- （2）3235411+⨯（3）336418-⋅ （4（5）10033)1(412)2(-+÷-- 【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.【变式】计算：（1=______；（2）=364611______； （3）=--312719______．（4）=-33511)(______.类型三、利用立方根解方程 3、（2015春•北京校级期中）（x ﹣2）3=﹣125．【总结升华】此题考查立方根问题，关键是先将x ﹣2看成一个整体． 【变式】求出下列各式中的a ：（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3a －3＝213，则a ＝______；（3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()31a -＝8，则a ＝______．类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗)实数与近似数【学习目标】1.了解无理数及实数的意义；2.了解无理数的概念、实数的分类, 无理线段的作法；3.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度；4.体会近似数在生活中的实际应用. 【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111……..（3）注意是一个有理数，因为它是一个分数，所有的分数都是有理数.=3.1428571428571……，切不可因为它的值接近，就说它是无理数.要点二、实数有理数和无理数统称为实数.π227227π1.实数的分类 ①按定义分： 实数②按与0的大小关系分：实数 2.实数与数轴上的点一一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.无理线段的作法无理线段可以在数轴上表示出来，一般是把被开方数拆成m 2+n 2的形式，例如：①，特点是被开方数可化为一个完全平方数+1，特点是被开方数可以化成几个平方数的和的形式.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用.要点五、近似数及精确度1. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是大于5还是小于5,4舍5入.2. 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释：①精确度是指近似数与准确数的接近程度.②精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米.⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数==0.10.0510 【典型例题】 类型一、实数概念1、把下列各数分别填入相应的集合内：，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）【变式】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由. (1)无理数都是开方开不尽的数.( ) (2)无理数都是无限小数.( ) (3)无限小数都是无理数.( )(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( ) (5)不带根号的数都是有理数.( ) (6)带根号的数都是无理数.( ) (7)有理数都是有限小数.( )(8)实数包括有限小数和无限小数.( ) 类型二、实数大小的比较与运算2、比较与的大小．【变式】已知实数、、在数轴上的对应点如图所示，试化简：．3、（2016秋·富顺县校级期中）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，1x =，求1x a b cd cd ⎛⎫⨯+-- ⎪⎝⎭的值．【变式】若a 的两个平方根是方程的一组解． （1）求a 的值；（2）求的算术平方根．类型三、近似数及精确度4、1000米与1.0×103米有无区别？请说明理由．32147π52-22035-38-4920101-19491+x y z ||||||||x z x y y z x z x z---++++-322x y +=2a 有理数集合 无理数集合5、体育委员给王磊、赵立两位的身高都记为 1.7×102cm ，可有的同学说王磊比赵立高9cm ，这种情况可能吗？请说明你的理由．类型四、实数的综合运用6、已知的值．【变式】（2015春•定州市期末）（1）计算：﹣|﹣3|+（2）若+（3x+y ﹣1）2=0，求的值．7、如图所示：在平行四边形ABCO中，点A 、C的坐标分别是，．（1）写出点B 的坐标；（2）将平行四边形ABCO 个单位长度，求所得平行四边形四个顶点的坐标；（3）求平行四边形ABCO 的面积．本次课课后练习一.选择题1．下列说法中正确的有（ ）．①只有正数才有平方根． ②是4的平方根． 的平方根是． ④的算术平方根是． ⑤的平方根是．⑥．A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个 2．若－4，则估计的值所在的范围是（ ）A ．1＜＜2 B. 2＜＜3 C. 3＜＜4 D. 4＜＜52(21)0a b -+=4=A C A B C O ''''2-4±2a a 2(6)-6-3=±m m m m m m3.下列说法中正确的有（ ）个. ① 负数没有平方根，但负数有立方根．②的平方根是的立方根是③如果，那么＝－2． ④算术平方根等于立方根的数只有1． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4.是的平方根，是64的立方根，则＝（ ）A. 3B. 7C.3，7D. 1，7 5.（2016•2a =-，则a 的取值范围是（ ）A ．a =2B ．a ＞2C ．a ≥2D ．a ≤26. 若，为实数，且|＋1|＝0，则的值是（ ）A.0B.1C.－1D.－20117. 有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的是（ ）A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④二.填空题8. ＝__________.9. 如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3和5的正方形的面积的和，则这个正方形的边长为 ________. 10．（2015春•武汉校级期末）计算= ．11. 那么的值是______．12．（1）的平方根是________；（2）的平方根是________，算术平方根是________； （3）的平方根是________，算术平方根是________； （4）的平方根是________，算术平方根是________． 13．（2015•诏安县校级模拟）已知，求a ﹣b= ．三.解答题14．为何值时，下列各式有意义？4928,327±23±⋅()322x =-x x (2y x y +x y x 2013x y ⎛⎫⎪⎝⎭102=cm cm 4,=()367a -25()25-2x ()22x +x（2（3（415.（2016春•禹城市期中）若()2130x y-+++=，求423x y z -+的平方根． 16.如图，实数，对应数轴上的点A 和B17.互为相反数，求的值.18．已知5＋19的立方根是4，求2＋7的平方根．19.（2015春•罗平县校级期中）已知M=是m+3的算术平方根，N=是n ﹣2的立方根，试求M ﹣N 的值．a b abx x。