2016-2017学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．过A（0，1），B（3，5）两点的直线的斜率是（）A．B．C．D．2．若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c B．若a＞b，则C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b，则ac2＞bc23．直线在y轴上的截距是（）A．a B．b C．﹣a D．﹣b4．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为（）A．B．C．D．5．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①②③④其中，真命题是（）A．①④B．②③C．①③D．②④6．半径为R的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为（）A．B．C． D．7．若圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB被点P（2，1）平分，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=08．已知正实数a，b满足a+b=2，则的最小值为（）A．B．3 C．D．9．能推出{a n}是递增数列的是（）A．{a n}是等差数列且递增B．S n是等差数列{a n}的前n项和，且递增C．{a n}是等比数列，公比为q＞1D．等比数列{a n}，公比为0＜q＜110．如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为（）A． B．C． D．11．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则下列命题正确的是（）A．面ABD⊥面ABC B．面ADC⊥面BDC C．面ABC⊥面BDC D．面ADC⊥面ABC 12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等二、填空题（本大题共6小题，单空题每空4分，多空题每空3分，共30分）13．数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=，若，则a n=．14．已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2=9，若P（x，y）是圆C上一动点，则x的取值范围是；的最大值是．15．已知点P在x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，则线段PQ中点M的轨迹方程是；若点M的坐标（x，y）又满足不等式，则的最小值是．16．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中x的值是．17．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞），则关于x的不等式的解集为．18．已知动直线l的方程：cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1（α∈R），给出如下结论：①动直线l恒过某一定点；②存在不同的实数α1，α2，使相应的直线l1，l2平行；③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上；④动直线l可表示坐标平面上除x=2，y=﹣1之外的所有直线；⑤动直线l可表示坐标平面上的所有直线；其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共4小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）19．（12分）已知函数f（x）=x|x﹣2|（Ⅰ）写出不等式f（x）＞0的解集；（Ⅱ）解不等式f（x）＜x．20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧棱，∠SDC=120°．（Ⅰ）求证：AD⊥面SDC；（Ⅱ）求棱SB与面SDC所成角的大小．21．（15分）已知圆C的圆心在直线y=﹣4x上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P （3，﹣2）．（Ⅰ）求圆C方程；（Ⅱ）是否存在过点N（1，0）的直线l与圆C交于E、F两点，且△OEF的面积是2（O为坐标原点）．若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．22．（14分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且（Ⅰ）求证：是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3na n，求数列{b n}的前n项和T n．2016-2017学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．过A（0，1），B（3，5）两点的直线的斜率是（）A．B．C．D．【考点】直线的斜率．【分析】直接应用斜率公式求解．【解答】解：由斜率公式可得：k==故选A【点评】本题主要考查直线的斜率公式，比较基础．2．若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c B．若a＞b，则C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b，则ac2＞bc2【考点】不等式比较大小．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，正确；对于B，a=1，b=﹣1，不成立，故不正确；对于C，a=1，b=﹣1，不成立，故不正确；对于D，c=0，不成立，故不正确；故选A．【点评】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．3．直线在y轴上的截距是（）A．a B．b C．﹣a D．﹣b【考点】直线的截距式方程．【分析】令x=0，求出y的值即为直线在y轴上的截距．【解答】解：直线中，令x=0，解得y=﹣b，∴直线在y轴上的截距为﹣b．故选：D．【点评】本题考查直线方程的纵截距的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的性质的合理运用．4．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为（）A．B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得．【解答】解：等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，∴a2=a1q=2a1，S4==15a1，∴=，故选：B由S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1，当n=1时，a1=a1，当n=2时，3a1+2a2+a3=6a3+3b3，即3b3=2（a2﹣a1）+（a3﹣a1），（*），若a1＜a3＜a2，【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．5．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①②③④其中，真命题是（）A．①④B．②③C．①③D．②④【考点】命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．【分析】对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．【解答】解：对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确对于②面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，不正确对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行，而m⊥α，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确对应④m有可能在平面α内，故不正确，故选C【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．6．半径为R的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为（）A．B．C． D．【考点】棱锥的结构特征．【分析】半径为R的半圆弧长为πR，圆锥的底面圆的周长为πR，圆锥的底面半径为：，由此能求出圆锥的高．【解答】解：半径为R的半圆弧长为πR，圆锥的底面圆的周长为πR，圆锥的底面半径为：，所以圆锥的高：=．故选：B．【点评】本题考查圆锥的高的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆锥的性质的合理运用．7．若圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB被点P（2，1）平分，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程找出圆心C的坐标，连接CP，由P为弦AB的中点，根据垂径定理的逆定理得到CP垂直于AB，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，由P 与C的坐标求出直线PC的斜率，进而确定出弦AB所在直线的斜率，由P的坐标及求出的斜率，写出直线AB的方程即可．【解答】解：由圆（x﹣1）2+y2=25，得到圆心C坐标为（1，0），又P（2，1），∴k PC=1，∴弦AB所在的直线方程斜率为﹣1，又P为AB的中点，则直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0．故选B．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，根据题意得出直线PC与直线AB垂直是解本题的关键．8．已知正实数a，b满足a+b=2，则的最小值为（）A．B．3 C．D．【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正实数a，b满足a+b=2，则==≥=，当且仅当b=2a=4（﹣1）时取等号．因此最小值为．故选：A．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．能推出{a n}是递增数列的是（）A．{a n}是等差数列且递增B．S n是等差数列{a n}的前n项和，且递增C．{a n}是等比数列，公比为q＞1D．等比数列{a n}，公比为0＜q＜1【考点】数列的函数特性．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其单调性即可判断出结论．【解答】解：对于B：S n=，=a1+，∵递增，∴d＞0，因此{a n}是递增数列．故选：B．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为（）A． B．C． D．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】由y=ax2+bx+a的图象与x轴有两上交点，知△＞0；进一步整理为a、b 的二元一次不等式组，再画出其表示的平面区域即可．【解答】解：因为函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4a2＞0，即（b+2a）（b﹣2a）＞0，即或，则其表示的平面区域为选项C．故选C．【点评】本题主要考查由二元一次不等式组（数）画出其表示的平面区域（形）的能力．11．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则下列命题正确的是（）A．面ABD⊥面ABC B．面ADC⊥面BDC C．面ABC⊥面BDC D．面ADC⊥面ABC 【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】证明CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD．又因为AB⊥AD，AD∩DC=D，所以AB⊥平面ADC，即可得到平面ADC⊥平面ABC．【解答】解：由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD．在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD．又因为AB⊥AD，AD∩DC=D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC．故选D．【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等【考点】命题的真假判断与应用．【分析】连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此能求出结果．【解答】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A﹣BEF的体积为定值，从而A，B，C正确．∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，涉及到空间位置关系，属于基础题．．二、填空题（本大题共6小题，单空题每空4分，多空题每空3分，共30分）13．数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=2n﹣1，若，则a n=2n﹣1．【考点】数列递推式．【分析】由已知递推式a n﹣a n﹣1=2，可得数列是公差为2的等差数列，由，可知数列是公比为2的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案．【解答】解：在数列{a n}中，由，可知数列是公差为2的等差数列，又a1=1，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；由，可知数列是公比为2的等比数列，又a1=1，∴．故答案为：2n﹣1；2n﹣1．【点评】本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题．14．已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2=9，若P（x，y）是圆C上一动点，则x的取值范围是1≤x≤7；的最大值是．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由题意|x﹣4|≤3，可得x的取值范围；设=k，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离d=≤3，可得的最大值．【解答】解：由题意|x﹣4|≤3，∴1≤x≤7，设=k，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离d=≤3，∴0≤k≤，∴的最大值是．故答案为1≤x≤7；．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．15．已知点P在x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，则线段PQ中点M的轨迹方程是x+2y+1=0；若点M的坐标（x，y）又满足不等式，则的最小值是．【考点】轨迹方程；分段函数的应用．【分析】由题意，线段PQ中点M的轨迹与已知直线平行，且距离相等，可得方程；若点M的坐标（x，y）又满足不等式，则的最小值是（0，0）到直线x+2y+1=0的距离．【解答】解：由题意，线段PQ中点M的轨迹与已知直线平行，且距离相等，方程是x+2y+1=0；若点M的坐标（x，y）又满足不等式，则的最小值是（0，0）到直线x+2y+1=0的距离，即=，故答案为：x+2y+1=0；．【点评】本题考查直线方程，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．16．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中x的值是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面直角梯形的直角顶点．通过几何体的体积求出x的值．【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面直角梯形的直角顶点．则体积为וx=，解得x=．故答案为：．【点评】本题考查了三视图，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键；考查空间想象能力与计算能力．17．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞），则关于x的不等式的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【分析】依题意，可知a=b＞0，从而可解不等式的解集．【解答】解：∵不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞），∴a＞0且=1，∴a=b＞0；∴＞0⇔，∴或，解得x＞2或x＜﹣1；∴不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【点评】本题考查分式不等式的解法，求得a=b＞0是关键，考查分析、运算能力，属于中档题．18．已知动直线l的方程：cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1（α∈R），给出如下结论：①动直线l恒过某一定点；②存在不同的实数α1，α2，使相应的直线l1，l2平行；③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上；④动直线l可表示坐标平面上除x=2，y=﹣1之外的所有直线；⑤动直线l可表示坐标平面上的所有直线；其中正确结论的序号是②③．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，圆（x﹣2）2+（y+1）2=1上任一点P（2+cosα，﹣1+sinα），则点P 处的切线为cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1（α∈R）；②，当≠0时，直线的斜率k=﹣，存在不同的实数α1，α1，使cotα1=cotα1，相应的直线l1，l2平行；③，cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1⇒，所有使的点（x，y）都不在其上；对于④，⑤由③可判定．【解答】解：对于①，圆（x﹣2）2+（y+1）2=1上任一点P（2+cosα，﹣1+sinα），则点P处的切线为cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1（α∈R），直线不会过一定点，故错；对于②，当≠0时，直线的斜率k=﹣，存在不同的实数α1，α1，使cotα1=cotα1，相应的直线l1，l2平行，故正确；对于③，cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1⇒，所有使的点（x，y）都不在其上，故正确；对于④，⑤由③可得错．故答案为：②③【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到直线方程的知识，属于基础题．三、解答题（本大题共4小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）19．（12分）（2016秋•杭州期末）已知函数f（x）=x|x﹣2|（Ⅰ）写出不等式f（x）＞0的解集；（Ⅱ）解不等式f（x）＜x．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据|x﹣2|≥0，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣2|≥0，故f（x）＞0的解集是：{x|x＞0且x≠2}；（Ⅱ）由x|x﹣2|＜x，得：，或，解得：1＜x＜3，或x＜0，故不等式的解集是{x|1＜x＜3或x＜0}．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道基础题．20．（12分）（2016秋•杭州期末）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD 是棱长为2的正方形，侧棱，∠SDC=120°．（Ⅰ）求证：AD⊥面SDC；（Ⅱ）求棱SB与面SDC所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由SD=2，SA=2，得AD⊥SD，又AD⊥CD，由线面垂直的判定得AD⊥侧面SDC；（Ⅱ）证明∠BSC棱SB与面SDC所成角，即可求棱SB与面SDC所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵SD=2，SA=2，∴AD⊥SD，又AD⊥CD，CD⊂侧面SDC，SD⊂侧面SDC，且SD∩CD=D，∴AD⊥侧面SDC；（Ⅱ）解：∵BC∥AD，AD⊥侧面SDC，∴∠BSC是棱SB与面SDC所成角．△SDC中，SD=2，DC=2，∠SDC=120°，∴SC=2，△BSC中，tan∠BSC=，∴∠BSC=30°，∴棱SB与面SDC所成角为30°．【点评】本题主要考查线面垂直，考查线面角的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（15分）（2016秋•杭州期末）已知圆C的圆心在直线y=﹣4x上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）．（Ⅰ）求圆C方程；（Ⅱ）是否存在过点N（1，0）的直线l与圆C交于E、F两点，且△OEF的面积是2（O为坐标原点）．若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y﹣1=0垂直的直线为y=x﹣5，与直线y=﹣4x联立，解得圆心为（1，﹣4），由此能求出圆的方程．（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l方程为x=1，满足题意；当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），由点到直线距离公式结合已知条件推导出不存在这样的实数k．从而所求的直线方程为x=1．【解答】解：（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y﹣1=0垂直的直线为y+2=x﹣3，即y=x﹣5．（1分）与直线y=﹣4x联立，解得x=1，y=﹣4，∴圆心为（1，﹣4），…（2分）∴半径r==2，∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8．…（Ⅱ）①当斜率不存在时，此时直线l方程为x=1，原点到直线的距离为d=1，同时令x=1代入圆方程得y=﹣4，∴|EF|=4，=满足题意，∴S△OEF此时方程为x=1．…（8分）②当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），圆心C（1，﹣4）到直线l的距离d=，…（9分）设EF的中点为D，连接CD，则必有CD⊥EF，在Rt△CDE中，DE==，∴EF=，原点到直线l的距离=，…（10分）=•=2，…（12分）∴S△OEF整理，得3k2+1=0，不存在这样的实数k．综上所述，所求的直线方程为x=1．…（14分）【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线方程存在性的讨论及其求法，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．22．（14分）（2016秋•杭州期末）已知S n是数列{a n}的前n项和，且（Ⅰ）求证：是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3na n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由==﹣1．由，能证明{}是等比数列，由此能求出{a n}的通项公式．（Ⅱ）由b n=3na n=n•2n﹣1+（﹣1）n•n，利用分组求和法能求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】证明：（Ⅰ）∵S n是数列{a n}的前n项和，且，∴===﹣1．由，得{}是首项为﹣，公比为﹣1的等比数列，∴=﹣（﹣1）n，∴a n=．解：（Ⅱ）b n=3na n=n•2n﹣1+（﹣1）n•n，取{n•2n﹣1}前n项和A n，{（﹣1）n•n}前n项和B n，则，2A n=1•23+2•24+3•25+…+n•2n+2，则﹣A n=22+23+24+…+2n+1﹣n•2n+2=，∴，当n是奇数时，B n=（﹣1）+2+（﹣3）+4+（﹣5）+…+（﹣n）=﹣，当n是偶数时，B n=（﹣1）+2+（﹣3）+4+（﹣5）+，∴T n=．【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和错位相减法的合理运用．。