8.波长增量A X=X z -X随散射角增大而增大.这一现象称为康普第一章知识点:1. 黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体.2. 处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等 时，辐射达到热平衡状态。

3. 实验发现： 热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。

4. 光电效应…光照射到金属上,有电子从金属上逸出的现5. 光电效应特点：1.临界频率vO 只有当光的频率大于某一定值vO 时，才有光电子发射 出来.若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生.光的 这一•频率V0称为临界频率。

2.光电子的能量只是与照射光的频率有关,与光强无关, 光强只决定电子数目的多少（爱因斯坦对光电效应的解释）3.当入射光的频率大于v 0时，不管光有多么的微弱，只要光一照上，立即观察到光电子（10-9s ）6. 光的波粒二象性：普朗克假定a.原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡；b.黑体只能以E = hv 为能量单位不连续的发射和 吸收能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的 发射和吸收能量.7. 总结光子能量、动量关系式如下：［E=hv=ha ） 把光子的波动性和粒子性联系了起来\Eh v h _p=—h ———n=—n=—n = tikICC2XIngA2 = 220 sin 2 — 其中 20 = ------- = 2.4 x I 。

-" cm称为电子的 Compton 波长。

m 0C散射波的波长入'总是比入射波波长长（V >入）且随散射角0增大而增大。

9. 波尔假定：1.原子具有能量不连续的定态的概念.2.量子跃迁的概念. 10. 德布罗意：假定：与一定能量E 和动量p 的实物粒子相联系的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：E = hvn v = E/hP = h/X=>X = h/p该关系称为de. Broglie 关系.德布罗意波：T = A exp —(p»r — Et)\ I de Broglie 关系：v = E/h n(0 = 2K v = 2丸E/h = E/力2 = h/p =>k = 1/ X = 2冗 / 4 =p 〃第二章知识点：.1.描写自由粒子的平面波波函数: T = Aexp -(p»r-Et) h2. 在电子衍射实验中，照相底片上r 点附近衍射花样的强度~正比于该点附近感光点的数 目，~正比于该点附近出现的电子数目，~正比于电子出现在r 点附近的几率.3. |W (r)|2的意义是代表电子出现在r 点附近单位体积内的几率。

|中(r, t)|2的意义是：t 时刻，在r 点附近单位体积内找到粒子的概率。

4.由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函 数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常 数有，所描写的粒子状态不变，即 w (r, t)和 CW (r, t) 描述同一状态。

这与■经典 波不•同.经典波波幅增大一倍(原来的2 倍)，则相应的波动能"*将为原来的4倍，因而代表完全不同的波动状态.经典波无归一化问题.5.Joo| (A)-1/2T (r , t ) |2 dr = 1 (A)-1/2 称为归一化因子.注意：对归一化波函数仍有一个棋为1的因子不定性.若W (r , t )是归一化波函数，那天，ei a W (r , t )也怨归一化波函数(其•中a怨实数)，与前者描述同一几率波--Et /! -------- .6.平面波归一化x i/l)(r,t) = Ae t,=①万(/)e fi \ ---------------------------------- t=0时的平面波考虑一维积分若取A12 2凹 =1,则Al= [2凹]-1/2,于楚1①P(x)= ^^e”孔 J2湖1 —I p*r］三维情况：o（r） =——-——e h 有［2湖］3” °注意：这样归一化后的平面波其棋的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。

7.态莹加原理：一耕情■况下，如果W1和W2是体系的可能状态，那末它们的线性叠加中=C1 W1 + C2W2 也是该体系的一个可能状态.其■中C1和C2怨复常数，这就恳量于力学的态莹加原理.若W1中测量A为al, W2中测量A为a2,那么在中态中测量A值既可能是al也可能是a2,具有不确定性，但■有确定的权重.8.W (r, t)是以坐标r 为自变量的波函数，坐标空间波函数，坐标表象波函数；C(p, t) 是以动量p为自变量的波函数，动量空间波函数，动量表象波函数；• 二者描写同―■•子状态.9.薛定诺方程(波动方程) d力2ih-^(r,t) = —V2 +V(F)]Y(r,/) dt 2/j.=HT(r,0式中斤是体系的Hamilton算符，亦常称为Hamilton量.10.波函数的标准条件：有限性，连续性，单值性11.量子力学基本假定：波函数完全描述粒子的状态波函数随时间的演化遵从Schrodinger方程12. 定态波函数：中(户/) = “(7)g飞力2 _ _空间波函数。

(r)可由方【-瑟V2+V］心)=E*)和具体问题。

(r)应满足的边界条件得该方程称为定态Schrodinger方程，9 (r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻w(r,0) 的定态波函数.定态的性质：1.定态一--E具有确定值2.粒子在空间几率密度、几率流密度与时间无关3.任何不显含t的力学量平均值与t无关综上所述，当甲满足下列三个等价条件中的任一个时，甲就是定态波函数：•甲描述的状态其能量有确定的值；•甲满足定态Schrodinger方程；•|中|2与t无关.13.能量本征值方程：将［____ V 2 + V ］T = ET 改写成如=四2" '常量E称为算符H的本征值；W称为算符H的本征函数.当体系处于能量算符本征函数所描写态(简称能量本征态)时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值14.束缚态：对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，W =0.这样的状态，称为束缚态15.线性谐振子：v 1 22量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运……一y = _岬x动的粒子. 216.线性谐振子能级为于是最后得：n=0时称为零点能E = . +土)力切n= 0,1,2,…17-厄密多项式：〃,«) = (—1)" exp［幻*exp［-幻Hn(§)的最高次幕是n其系数是2nHn( & )的最高次项是(2 & )n.所以：当n=偶，则厄密多项式只含6的偶次项；当n=奇，则厄密多项式只含&的奇次项.18.透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数D = JD/JI其物理意义是：描述贯穿到x>a的III区中的粒子在单位时间内流过垂直x方向的单位面积的数目与入射粒子(在x < 0的I区)在单位时间内流过垂直于x方向单位面积的数目之比.反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数R = JR/JI19.隧道效应：粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象人 人/V AcP X Py~P V P X=^人 人 人 人 CPyP Z ~P z Py=^h.厄密算'dry/*6'=第三章知识点 1.算符：a 线性算符 O(cl\|/l+c2\|/2)= cldv|/l+c2Ok|/2动量算符，单位算符是线性算符，开方算符、取复共轴就不是线性算符. 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符b. 算符之和：注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替.很易证明线性算符之和仍为线性算符.c. 算符之积：一般来说算符之积不满足交换律，即OU^UOd. 对易关系：^OU^UO,则称。

与U 不对易 量子力学中最基本的 .°对易关系，XaP 。

— Pp X a = ih'agPaPp-PfiPa a,]3 = x,y,zzp y -p y z = 0人 A人 人 八 PzPx-PxPz=° 注意：当。

与0 对易，。

与仓对易，不能推知。

与E 对易与否 若算符满足OU = - UO,则称 O 和。

反对易.e.逆算符：设O\|/= <p,能够唯一的解出W,则可定义算符O 之逆0-1为：O-l (p =甲注：投影算符就不存在逆f.转置算符:算符日的转置算符日定义为：^dry/*U (/)=i// *式中 W和。

是两个任意函数.g.厄密共辗算符：\d 珅*6挪=^dr (d 聆*。

AA或 o +=o性质I ：两个厄密算符之和仍是厄密算符.即若d+ = d,u+ = u则(O+U)+ = 6+ + U+ = (O+U)性质II ：两个厄密算符之积一般不是厄密算符，除非二算符对易.因为 (O U)+ = U+ O+ = U O O U 仅当[0, U] =0成立时,(0 U)+ = O U 才成立.2. 只有分立谱才能归一化为一，连续谱归一化为8函数.周期性边界条件是动量算符厄米性的要求.3. 根据球函数定义式可知对应一个入值有(2人+1)个量子状态，这种现象称为简并，M 的 简并度是(2 X +1)合记之：4-角动量算符的对易关系[L x ,L y ] = ihL z [L a ,L p } = ihE aPr L rs a p Y 称为 Levi-Civita 符号,其意义如下:SaPy = 一= ~S ayP弓23 = 1 其中 a, ft, y = 1,2,3\xp y -p y x = ^rA.yp \xp z -p z x = 0 人[y pz-P Z J = °坐标算符与其非共辗动量 对易，各动量之间相互对易.或x,j,z. E -心•-旦一一耕行5.中心库伦场中电子运动能级〃=123…由此可见，在粒子能量小于零情况下(束缚天)'长言粒子能量取En给出的分立值时波函数才满足有限性条件的要求。

6.库伦场中运动的电子能量小于零时的定态波函数甲员(「,饥=Rni(r)Yim(。

,饥-/zZV _7.本征值和本征函数£*=_另希^ " = 1,2,3，…ly*a(r,e,p) = R,”(r)上(。

，9)I = 0,1,2, •••,« — 1 m= 0,±1,±2,…,+1能级简并性n = nr+ X + 1 X = 0,1,2,... nr = 0,1,2,...能量只与主量子数n有关，而本征函数与n,X,m 有关，故能级存在简并.对于En能级其简并度为：E 八 2£ (2l+l) = n2 z=o即对能量本征值En由n2个本征函数与之对应，也就是说有n2个量子态的能量是Eno n = l对应于能量最小态，称为基态能量，El=jiZ2e4/2T]2,相应基态波函数是wlOO = R10YOO,所以基态是非简并态. _ 时 _8.于是氢原子能级和相应的本征函数是：£"= 一弱铲”=1，2,3,・・‘9.电离能：Eoo与电子基态能量之差-----El = -me4/2t]2),当n 一 8时，Eoo = 0,则电离能为：£= Eoo- El = - El =”4/2苹=13.579 eV.10.当氢原子处于\|/nlm(r,0,(p)时，电子在(r,O,(p)点附近体积元dx = r2sin0 drd0d(p内的凡率史0，成饥血=1 y/nlm (r, 0,(p) I2 r2smOdrdOd(p11-角动量算符L^rxp T £ = rx^ L = jj|'P t(r)£'P(r)rfr三个分量：f a dL x= yp z-zp y=-ih(y-z—) oz oyL y = zp x - xp z = x^)L z=xp -yp x=-ih(x^-y^~) dy ox12.定理I：体系任何状态里下，其厄密算符的平均值必为实数.逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄密算符.注：厄密算符平方的平均值一定大于等于零定理2：厄密算符的本征值必为实定理III：厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交'动母算符:i>x,p y,p z两两对易；1 项｛共同完备本征函数系：y/-(f) = -------------------- e hP(2湖严同时有确定值：Px，Py，P,.' .£2.定轴转子：H = ^,L,相互对易；211■共同完备本征函数系：①=m2ti2同时有确定值：E m --------- ------- ,mh,(jn - 0,±1,--氢原子中：H,I3,L.两两对易；-共同完备本征函数系：化如行)= K“(r)L,(9,9)同时硝•确定值：E n,l(l + l)ft2,mh..£2 ..空间转子:白=一,i?,L两两对易；21 z[7 = 0,1,2,…共同完备本征函数系：F加(仇。