高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知全集U=R，集合A={0,1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥3}，则A∩∁UB=( )A. {4,5}B. {3,4，5}C. {0,1，2}D. {0,1，2，3}2.下列命题中的假命题是( )A. ∀x∈R，2x−1>0B. ∀x∈N*，(x−1)2>0C. ∃x∈R，lgx<1D. ∃x∈R，tanx=23.若复数z满足1−z=1+i，则z的共轭复数的虚部是( )A. iB. 1C. −iD. −14.在△ABC中，内角C为钝角，sinC=35，AC=5，AB=35，则BC=( )A. 2B. 3C. 5D. 105.若不等式|x−t|<1成立的必要条件是1<x≤4，则实数t的取值范围是( )A. [2,3]B. (2,3]C. [2,3)D. (2,3)6.在等比数列{an}中，a1=2，前n项和为Sn，若数列{an+1}也是等比数列，则Sn等于()A. 2n+1−2B. 3nC. 2nD. 3n−17.在梯形ABCD中，AB//DC，AB=AD=5，DC=2，BC=4，M为AB边上一点，则MD⋅MC的最小值为( )A. 10B. 12C. 15D. 168.函数f(x)在[a,b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a,b]，有f(x1+x22) ≤12[f(x1) +f(x2) ]则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的；②f(x2)在[1,3]上具有性质P；③若f(x)在x=2处取得最大值1，则f(x)=1，x∈[1,3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有f(x1+x2+x3+x44) ≤14[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]其中真命题的序号是( )A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60°，|a−3b|=______ ．10.把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)=3+log2x的图象与g(x)的图象关于______ 对称，则函数g(x)=______ .(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)11.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2−y2b2=1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_______.12.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=______ ．13.已知抛物线y2=2px的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|MN|=2|NF|，则∠NMF=______．14.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y=f(x)的导数，f′′(x)是函数f′(x)的导数，若方程f′′(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f(x)=13x3−12x2+3x−512，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：①函数f(x)=13x3−12x2+3x−512的对称中心坐标为______；②计算f(12019)+f(22019)+f(32019)+…+f(20182019)=______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=92．(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn．16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)=f(x−π12)−f(x+π12)的单调递增区间．17.已知圆O：x2+y2=4．(1)直线l1：3x+y−23=0与圆O相交于A、B两点，求|AB|；(2)如图，设M(x1,y1)、P(x2,y2)是圆O上的两个动点，点M关于原点的对称点为M1，点M关于x轴的对称点为M2，如果直线PM1、PM2与y轴分别交于(0,m)和(0,n)，问m⋅n是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．18.已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y=4x+2．(Ⅰ)求a，b，c，d的值；(Ⅱ)若x≥−2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．19.设椭圆C：x22+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．20.设数列A：a1，a2，…，aN(N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak<an，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合．(Ⅰ)对数列A：−2，2，−1，1，3，写出G(A)的所有元素；(Ⅱ)证明：若数列A中存在an使得an>a1，则G(A)≠⌀；(Ⅲ)证明：若数列A满足an−an−1≤1(n=2,3，…，N)，则G(A)的元素个数不小于aN−a1．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵全集U=R，集合A={0,1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥3}，∴CUB={x|x<3}．∴A∩∁UB={0,1，2}．故选：C．先求出CUB={x|x<3}.由此能求出A∩∁UB的值．本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵指数函数y=2t的值域为(0,+∞)∴任意x∈R，均可得到2x−1>0成立，故A项正确；∵当x∈N*时，x−1∈N，可得(x−1)2≥0，当且仅当x=1时等号∴存在x∈N*，使(x−1)2>0不成立，故B项不正确；∵当x=1时，lgx=0<1∴存在x∈R，使得lgx<1成立，故C项正确；∵正切函数y=tanx的值域为R∴存在锐角x，使得tanx=2成立，故D项正确综上所述，只有B项是假命题故选：B．根据指数函数的值域，得到A项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B项不正确；根据对数的定义与运算，得到C项正确；根据正弦函数y=tanx的值域，得D 项正确．由此可得本题的答案．本题给出含有量词的几个命题，要求找出其中的假命题．着重考查了基本初等函数的值域、对数的运算和不等式的性质等知识，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵1−z=1+i，∴z=−i，则z−=i，∴z的共轭复数的虚部是1．故选：B．由已知求得z，进一步得到z−，则答案可求．本题考查复数的基本概念，是基础题．4.【答案】A【解析】解：角C为钝角，sinC=35，可得cosC=−1−925=−45，在△ABC中，AC=5，AB=35，由余弦定理可得，AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cosC，即45=25+BC2−10⋅BC⋅(−45)，即BC2+8BC−20=0，解得BC=2，(BC=−10舍去)，故选：A．本题主要考查余弦定理，属于基础题．由同角三角函数关系可得cos C，再由余弦定理求BC即可．5.【答案】A【解析】解：不等式|x−t|<1，则t−1<x<t+1，∵不等式|x−t|<1成立的必要条件是1<x≤4，∴t−1≥1t+1≤4，解得2≤t≤3，故选：A先求出不等式|x−t|<1的解集，再根据必要条件的定义，建立关于t的不等式组，解之从而确定t的取值范围．本题考查的知识点是必要条件的判断，难度不大，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等比数列的定义和求和公式，属于基础题．根据数列{an}为等比数列可设出an的通项公式，因数列{an+1}也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q，进而根据等比数列的求和公式求出Sn．【解答】解：因数列{an}为等比数列，则an=2qn−1，因数列{an+1}也是等比数列，则(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1)，∴an+12+2an+1=anan+2+an+an+2．∴an+an+2=2an+1．∴an(1+q2−2q)=0．∴q=1，即an=2，所以Sn=2n，故选C．7.【答案】C【解析】解：根据题意，在梯形ABCD中，过点D作DE//BC，且与AB交与点E，又由AB//DC，AB=5，DC=2，则AE=5−2=3，又由BC=4，AD=5，则△ADE为直角三角形，且∠AED=π2，以B为坐标原点，AB为x轴，BC为y轴建立如图的坐标系，则B(0,0)，A(5,0)，C(0,4)，D(2,4)，M为AB边上一点，设M(x,0)(0≤x≤5)，则MD=(2−x,4)，MC=(−x,4)，则MD⋅MC=x(x−2)+16=x2−2x+16=(x−1)2+15；又由0≤x≤5，则MD⋅MC=(x−1)2+15≥15，MD⋅MC取得最小值15；故选：C．根据题意，过点D作DE//BC，且与AB交与点E，分析可得△ADE为直角三角形，且∠AED=π2，据此建立坐标系，求出A、B、C、D的坐标，设出M的坐标，由向量数量积的坐标计算公式可得MD⋅MC=(x−1)2+15，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标表示方法，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：在①中，反例：f(x)=(12)x,1≤x<32,x=3在[1,3]上满足性质P，但f(x)在[1,3]上不是连续函数，故①不成立；在②中，反例：f(x)=−x在[1,3]上满足性质P，但f(x2)=−x2在[1,3]上不满足性质P，故②不成立；在③中：在[1,3]上，f(2)=f(x+(4−x)2)≤12[f(x)+f(4−x)]，∴f(x)+f(4−x)≥2f(x)≤f(x)max=f(2)=1f(4−x)≤f(x)max=f(2)=1，故f(x)=1，∴对任意的x1，x2∈[1,3]，f(x)=1，故③成立；在④中，对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有f(x1+x2+x3+x44)=f(12(x1+x2)+12(x3+x4)2)≤12[f(x1+x22)+f(x3+x42 )]≤12[12(f(x1 )+f(x2))+12(f(x3)+f(x4))]=14[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]，∴f(x1+x2+x3+x44) ≤14[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]，故④成立．故选：D．根据题设条件，分别举出反例，说明①和②都是错误的；同时证明③和④是正确的．本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误时，只需举出反例即可．说明一个结论正确时，要证明对所有的情况都成立．9.【答案】7【解析】解：∵(a−3b)2=a2+9b2−6a⋅b=|a|2+9|b|2−6|a||b|cos60°=10−3=7∴|a−3b|=7故答案为：7先由(a−3b)2=a2+9b2−6a⋅b=|a|2+9|b|2−6|a||b|cos60°，将数代入即可得到答案．本题主要考查向量的点乘运算和向量的求模运算．属基础题．10.【答案】直线y=x；2x−3【解析】解：分以下几种情况①当函数f(x)=3+log2x的图象与g(x)的图象关于x轴对称时，则g(x)=−f(x)=−3−log2x；②当函数f(x)=3+log2x的图象与g(x)的图象关于y轴对称时，则g(x)=f(−x)=3+log2(−x)；③当函数f(x)=3+log2x的图象与g(x)的图象关于原点对称时，则g(x)=−f(−x)=−3−log2(−x)；④当函数f(x)=3+log2x的图象与g(x)的图象关于直线y=x对称时，则g(x)与f(x)互为反函数，此时g(x)=f−1(x)=2x−3．故答案为：“x轴；−3−log2x”或“y轴；3+log2(−x)”或“原点；−3−log2(−x)”或“直线y=x；2x−3”(任选其一即可)根据函数图象对称的规律，可得当第一空填“x轴”时，第二空应该填“−f(x)”的表达式；第一空填“y轴”时，第二空应该填“f(−x)”的表达式；第一空填“原点”时，第二空应该填“−f(−x)”的表达式；第一空填“直线y=x”时，第二空应该填“f−1(x)”的表达式．由此可得正确答案．本题以探索性问题的形式给出题意让我们填空，着重考查函数图象对称的一般规律的知识，属于基础题．11.【答案】y=±2x【解析】【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．【解答】解：∵双曲线x2−y2b2=1(b>0)经过点(3,4)，∴32−16b2=1，解得b2=2，即b=2．又a=1，∴该双曲线的渐近线方程是y=±2x．故答案为：y=±2x．12.【答案】63【解析】解：由正弦定理可得1532=10sinB，∴sinB=33，再由b<a，可得B为锐角，∴cosB=1− sin2B=63，故答案为：63．由正弦定理可求得sinB=33，再由b<a，可得B为锐角，cosB=1− sin2B，运算求得结果．本题考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sinB=33，以及B为锐角，是解题的关键．13.【答案】π3【解析】解：过点N作NP⊥准线，交准线于P，由抛物线定义知|NP|=|NF|，∴在Rt△MPN中，∠MPN=90°，|MN|=2|PN|，∴∠PMN=30°，∴∠NMF=π3．故答案为：π3．过点N作NP⊥准线，交准线于P，由抛物线定义知|NP|=|NF|，在Rt△MPN中，∠MPN=90°，|MN|=2|PN|，由此能求出∠NMF的大小．本题考查抛物线的性质和应用，解题时要注意有一个角为30°的直角三角形的性质的应用．14.【答案】(12,1)2018【解析】解：①f(x)=13x3−12x2+3x−512，故f′(x)=x2−x+3，f″(x)=2x−1，令f″(x)=0，解得：x=12，而f(12)=1，故函数f(x)的对称中心坐标是(12,1)；②由于函数f(x)的对称中心为(12,1)．∴f(1−x)+f(x)=2．∴算f(12019)+f(22019)+f(32019)+…+f(20182019)=12[f(12019)+f(20182019)+f(22019)+f(20172019)+…+f(20182019)+f(12019)]=12(2×2018)=2018．故答案为：2018．①令f″(x)=0，解得x=12.计算f(12)即可得出．②由于函数f(x)的对称中心为(12,1).可得f(1−x)+f(x)=2.即可得出．本题考查了利用导数研究三次函数的中心对称性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，∵a3=2，前3项和S3=92．∴a1+2d=2，3a1+3d=92，解得a1=1，d=12．∴an=1+12(n−1)=n+12；(Ⅱ)b1=a1=1，b4=a15=8，可得等比数列{bn}的公比q满足q3=8，解得q=2．∴{bn}前n项和Tn=2n−12−1=2n−1．【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，由题意，可得a1+2d=2，3a1+3d=92，解得a1，d.即可得出;(Ⅱ)b1=a1=1，b4=a15=8，可得等比数列{bn}的公比q，利用求和公式即可得出．16.【答案】解：(1)由图可知T2=11π12−5π12，可得T=π，则2πω=π，则ω=2，又图象经过(5π12,0)，故有2×5π12+φ=π+2kπ，k∈Z，得φ=π6+2kπ，又0<φ<π2，取φ=π6．过(0,1)点，所以Asinφ=1，可得A=2．得f(x)=2sin(2x+π6).(2)g(x)=f(x−π12)−f(x+π12)=2sin[2(x−π12)+π6]−2sin[2(x+π12)+π6]=2sin2x−2sin(2x+π3)=2sin2x−2sin2xcosπ3−2cos2xsinπ3=sin2x−3cos2x=2sin(2x−π3)，由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，所以g(x)的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z．【解析】本题主要考查三角函数的解析式的求解以及三角函数单调区间的求解，根据图象确定函数的解析式是解决本题的关键．(1)根据三角函数图象确定A，ω和φ的值即可求函数f(x)的解析式；(2)化简g(x)，然后根据三角函数的单调性进行求解即可．17.【答案】解：(1)由于圆心(0,0)到直线3x+y−23=0的距离d=3．圆的半径r=2，∴|AB|=2r2−d2=2．(2)由于M(x1,y1)、p(x2,y2)是圆O上的两个动点，则可得M1−x1,−y1，M2x1,−y1，且x12+y12=4，x22+y22=4．根据PM1的方程为y+y1y2+y1=x+x1x2+x1，令x=0求得y=m=x1y2−x2y1x2+x1．根据PM2的方程为：y+y1y2+y1=x−x1x2−x1，令x=0求得y=n=−x1y2−x2y1x2−x1，∴m⋅n=x22y12−x12y22x22−x12=x22(4−x12)−x12(4−x22)x22−x12=4，显然为定值．【解析】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，用两点式求直线的方程、求直线在y轴上的截距，属于中档题．(1)先求出圆心(0,0)到直线3x+y−23=0的距离，再利用弦长公式求得弦长AB的值．(2)先求出M1和点M2的坐标，用两点式求直线PM1和PM2的方程，根据方程求得他们在y轴上的截距m、n的值，计算mn的值，可得结论．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意知f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4，而f′(x)=2x+a，g′(x)=ex(cx+d+c)，故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；(Ⅱ)由(I)知，f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1)设F(x)=kg(x)−f(x)=2kex(x+1)−x2−4x−2，则F′(x)=2kex(x+2)−2x−4=2(x+2)(kex−1)，由题设得F(0)≥0，即k≥1，令F′(x)=0，得x1=−lnk，x2=−2，①若1≤k<e2，则−2<x1≤0，从而当x∈(−2,x1)时，F′(x)<0，当x∈(x1,+∞)时，F′(x)>0，即F(x)在(−2,x1)上减，在(x1,+∞)上是增，故F(x)在[−2,+∞)上的最小值为F(x1)，而F(x1)=−x1(x1+2)≥0，x≥−2时F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex−e−2)，从而当x∈(−2,+∞)时，F′(x)>0，即F(x)在(−2,+∞)上是增，而F(−2)=0，故当x≥−2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k>e2时，F′(x)>2e2(x+2)(ex−e−2)，而F(−2)=−2ke−2+2<0，所以当x>−2时，f(x)≤kg(x)不恒成立，综上，k的取值范围是[1,e2].【解析】(Ⅰ)对f(x)，g(x)进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2)，从而解出a，b，c，d的值；(Ⅱ)由(I)得出f(x)，g(x)的解析式，再求出F(x)及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F(x)的最值，从而判断出f(x)≤kg(x)恒成立，从而求出k的范围．此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．19.【答案】解：(1)c=2−1=1，∴F(1,0)，∵l与x轴垂直，∴直线l的方程为x=1，由x=1x22+y2=1，解得x=1y=22或x=1y=−22,∴A的坐标为(1,22)或(1,−22)，∴直线AM的方程为y=−22x+2或y=22x−2；(2)当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x−1)，k≠0，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1<2，x2<2，则kMA+kMB=y1x1−2+y2x2−2，由y1=kx1−k，y2=kx2−k，得kMA+kMB=2kx1x2−3k(x1 +x2)+4k(x1−2)(x2−2)，将y=k(x−1)代入x22+y2=1，可得(2k2+1)x2−4k2x+2k2−2=0，则Δ>0，∴x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2−22k2+1，∴2kx1x2−3k(x1+x2)+4k=12k2+1(4k3−4k−12k3+8k3+4k)=0，从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，∴∠OMA=∠OMB，综上，∠OMA=∠OMB．【解析】本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．(1)先得到F的坐标，再求出点A的坐标，即可得解；(2)分三种情况讨论，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，即可证明．20.【答案】解：(Ⅰ)根据题干可得，a1=−2，a2=2，a3=−1，a4=1，a5=3，a1<a2满足条件，2满足条件，a2>a3不满足条件，3不满足条件，a2>a4不满足条件，4不满足条件，a1，a2，a3，a4，均小于a5，因此5满足条件，因此G(A)={2,5}．(Ⅱ)因为存在an>a1，设数列A中第一个大于a1的项为ak，则ak>a1≥ai，其中2≤i≤k−1，所以k∈G(A)，G(A)≠⌀；(Ⅲ)设A数列的所有“G时刻”为i1<i2<…<ik，对于第一个“G时刻”i1，有ai1>a1≥ai(i=2,3，…，i1−1)，则ai1−a1≤ai1−ai1−1≤1．对于第二个“G时刻”i2，有ai2>ai1≥ai(i=2,3，…，i2−1)，则ai2−ai1≤ai2−ai2−1≤1．类似的ai3−ai2≤1，…，aik−aik−1≤1．于是，k≥(aik−aik−1)+(aik−1−aik−2)+…+(ai2−ai1)+(ai1−a1)=aik−a1．若N∈G(A)，则aik=aN．若N∉G(A)，则aN≤aik，从而k≥aik−a1≥aN−a1．则G(A)的元素个数不小于aN−a1．【解析】本题属于新定义题型，重点在于对“G时刻”定义的把握，难度较大．(Ⅰ)结合“G时刻”的定义进行分析；(Ⅱ)可以采用假设法和递推法进行分析；(Ⅲ)可以采用累加法进行分析．。