第1节功和功率要点一功的正负判断与恒力、合力做功的计算1．功的正负的判断方法(1)恒力做功的判断：依据力与位移的夹角来判断。

(2)曲线运动中做功的判断：依据F与v的方向夹角α来判断，当0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。

(3)依据能量变化来判断：功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。

此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。

2．恒力做功的计算方法3．合力做功的计算方法方法一：先求合力F合，再用W合＝F合l cos α求功。

方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。

1．(多选)如图5­1­1所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面体以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体m与斜面体相对静止。

则关于斜面对m的支持力和摩擦力的下列说法中正确的是( ) A．支持力一定做正功B．摩擦力一定做正功C．摩擦力可能不做功D．摩擦力可能做负功2.如图5­1­2所示，木板可绕固定水平轴O转动。

木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止。

在这一过程中，物块的重力势能增加了2 J。

用F N表示物块受到的支持力，用F f表示物块受到的摩擦力。

在此过程中，以下判断正确的是( )A．F N和F f对物块都不做功 B．F N对物块做功为2 J，F f对物块不做功C．F N对物块不做功，F f对物块做功为2 J D．F N和F f对物块所做功的代数和为03．(全国卷Ⅱ)一物体静止在粗糙水平地面上。

现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v。

若将水平拉力的大小改为F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v。

对于上述两个过程，用W F1、W F2分别表示拉力F1、F2所做的功，W f1、W f2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则( ) A．W F2>4W F1，W f2>2W f1 B．W F2>4W F1，W f2＝2W f1 C．W F2<4W F1，W f2＝2W f1 D．W F2<4W F1，W f2<2W f1要点二变力做功的计算(一)利用动能定理求变力做功[典例1] (海南高考)如图5­1­3，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g 。

质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( )A.14mgRB.13mgRC.12mgRD.π4mgR (二)利用微元法求变力做功将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。

此法在中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。

[典例2] 如图5­1­4所示，在水平面上，有一弯曲的槽道AB ，槽道由半径分别为R2和R 的两个半圆构成。

现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )A ．0B ．FRC ．2πFR D.32πFR(三)化变力为恒力求变力做功变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W ＝Fl cos α求解。

此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。

[典例3] 如图5­1­5所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止开始上升。

若从A 点上升至B 点和从B 点上升至C 点的过程中拉力F 做的功分别为W 1和W 2，滑块经B 、C 两点的动能分别为E k B 和E k C ，图中AB ＝BC ，则( )A ．W 1＞W 2B ．W 1＜W 2C ．W 1＝W 2D ．无法确定W 1和W 2的大小关系 [ (四)利用平均力求变力做功在求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F —＝F 1＋F 22的恒力作用，F 1、F 2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W ＝F —l cos α求此力所做的功。

[典例4] 把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E 0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k 。

问此钉子全部进入木板需要打击几次？(五)利用F­x图像求变力做功在F­x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。

[典例5]某物体在变力F作用下沿水平方向做直线运动，物体的质量m＝10 kg，F随物体的坐标x的变化情况如图5­1­6所示。

若物体从坐标原点由静止出发，不计一切摩擦。

借鉴教科书中学习直线运动时由v­t图像求位移的方法，结合其他所学知识，根据图示的F­x图像可求出物体运动到x＝16 m处时的速度大小为( )A．3 m/s B．4 m/s C．2 2 m/s D.17 m/s要点三功率的分析与计算1．平均功率的计算 (1)利用P＝W t 。

(2)利用P＝F v cos α，其中v为物体运动的平均速度。

2．瞬时功率的计算(1)利用公式P＝Fv cos α，其中v为t时刻的瞬时速度。

(2)利用公式P＝Fv F，其中v F为物体的速度v在力F方向上的分速度。

(3)利用公式P＝F v v，其中F v为物体受的外力F在速度v方向上的分力。

1．(昆明模拟)将一个小球斜向上抛出，小球在空中依次飞过三个完全相同的窗户1、2、3。

图5­1­7中曲线为小球在空中运动的轨迹。

若不计空气阻力的影响，以下说法正确的是( )A．小球通过第1个窗户所用的时间最长B．小球通过第1个窗户重力做的功最大C．小球通过第3个窗户重力的平均功率最小D．小球通过第3个窗户的平均速度最大2．(福州二模)如图5­1­8所示，一个纵截面是等腰三角形的斜面体M置于水平地面上，它的底面粗糙，两斜面光滑。

将质量不相等的A、B两个小滑块(m A＞m B)同时从斜面上同一高度处静止释放，在两滑块滑至斜面底端的过程中，M始终保持静止，则( )A．B滑块先滑至斜面底端 B．地面对斜面体的摩擦力方向水平向左C．两滑块滑至斜面底端时重力的瞬时功率相同 D．地面对斜面体的支持力等于三个物体的总重力要点四机车启动问题1．两种启动方式的比较两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动P ­t 图和v ­t 图OA段过程 分析 v ↑⇒F ＝P 不变v↓⇒a ＝F －F 阻m↓a ＝F －F 阻m不变⇒F 不变⇒v ↑P ＝Fv ↑直到P 额＝Fv 1 运动 性质 加速度减小的加速直线运动匀加速直线运动，维持时间t 0＝v 1aAB段过程 分析 F ＝F 阻⇒a ＝0⇒v m ＝P F 阻v ↑⇒F ＝P 额v↓⇒a ＝F －F 阻m↓ 运动 性质以v m 匀速直线运动 加速度减小的加速运动BC 段无F ＝F 阻⇒a ＝0⇒以v m ＝P 额F 阻匀速运动 (1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v m ＝P F 阻。

(2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v ＝P F<v m ＝P F 阻。

(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W ＝Pt ，由动能定理得Pt －F 阻x ＝ΔE k ，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移或速度。

[典例] (呼伦贝尔一模)某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究。

他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为v ­t 图像，如图5­1­9所示(除2～10 s 时间段图像为曲线外，其余时间段图像均为直线)。

已知在小车运动的过程中，2 s 后小车的功率P ＝9 W 保持不变，小车的质量为1.0 kg ，可认为在整个运动过程中小车所受到的阻力大小不变。

求：(1)小车所受到的阻力大小；(2)小车在0～10 s 内位移的大小。

[答案] (1)1.5 N (2)42 m[针对训练]1．(海南高考)假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率。

如果摩托艇发动机的输出功率变为原来的2倍，则摩托艇的最大速率变为原来的( )A ．4倍B ．2倍 C. 3 倍 D. 2 倍2. (多选)(苏州高三调研)质量为2×103kg 的汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶过程中牵引力F 和车速倒数1v的关系图像如图5­1­10所示。

已知行驶过程中最大车速为30 m/s ，设阻力恒定，则( )A ．汽车所受阻力为6×103NB ．汽车在车速为5 m/s 时，加速度为3 m/s 2C ．汽车在车速为15 m/s 时，加速度为1 m/s 2D ．汽车在行驶过程中的最大功率为6×104W功和功率计算中的两类易错题(一)滑轮两侧细绳平行1．如图5­1­11所示，质量为M 、长度为L 的木板放在光滑的水平地面上，在木板的右端放置质量为m 的小木块，用一根不可伸长的轻绳通过光滑的定滑轮分别与木块、木板连接，木块与木板间的动摩擦因数为μ，开始时木块和木板静止，现用水平向右的拉力F 作用在木板上，将木块拉向木板左端的过程中，拉力至少做功为( )A ．2μmgL B.12μmgL C ．μ(M ＋m )gLD ．μmgL2．(南安高三期中)如图5­1­12甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg 的物体在F 作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( )A ．物体加速度大小为2 m/s2B ．F 的大小为21 NC ．4 s 末F 的功率大小为42 WD ．4 s 内F 做功的平均功率为42 W (二)滑轮两侧细绳不平行3．一木块前端有一滑轮，绳的一端系在右方固定处，水平穿过滑轮，另一端用恒力F 拉住，保持两股绳之间的夹角θ不变，如图5­1­13所示，当用力F 拉绳使木块前进s 时，力F 对木块做的功(不计绳重和滑轮摩擦)是( )A ．Fs cos θB ．Fs (1＋cos θ)C ．2Fs cos θD ．2Fs4.质量为m 的物体放在一固定的斜面上，一个人通过动滑轮用恒定的力F 拉动物体沿斜面前进l ，力F 与斜面夹角为α，如图5­1­14所示。