第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断p q p且q p或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，¬p(x)1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(×)(2)若命题p ，q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题．(√)(3)已知命题p ：∃n 0∈N,2n 0＞1 000，则¬p ：∃n 0∈N ，2n 0≤1 000.(×) (4)命题“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＜0”．(×) 2．(2014·重庆卷)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧¬q B ．¬p ∧q C ．¬p ∧¬qD ．p ∧q解析 由题意知，命题p 为真命题，命题q 为假命题，故¬q 为真命题，所以p ∧¬q 为真命题．答案 A3．(2014·湖南卷)设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则¬p 为( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋1＞0 B ．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．∃x 0∈R ，x 20＋1＜0D ．∀x ∈R ，x 2＋1≤0解析 “∀x ∈R ，x 2＋1＞0”的否定为“∃x 0∈ R ，x 20＋1≤0”，故选B. 答案 B4．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a ＜0.综上，－8≤a ≤0.答案 [－8,0]5．(人教A 选修1－1P26A3改编)给出下列命题： ①∀x ∈N ，x 3＞x 2；②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ③∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．则以上命题的否定中，真命题的序号为________．答案①②③考点一含有逻辑联结词的命题及其真假判断【例1】(1)(2014·辽宁卷)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b ＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )A．p∨q B．p∧qC．(¬p)∧(¬q) D．p∨(¬q)(2)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A．(¬p)∨(¬q) B．p∨(¬q)C．(¬p)∧(¬q) D．p∨q解析(1)由于a，b，c都是非零向量，∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴¬p是真命题．命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反．故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q 是真命题，则¬q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，(¬p)∧(¬q)，p∨(¬q)都是假命题．(2)命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p ∧q ”的否定．选A.答案 (1)A (2)A规律方法 若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可．【训练1】 (1)若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．¬p 是真命题D ．¬q 是真命题(2)“p ∨q ”为真命题是“p ∧q ”为真命题的________条件． 解析 (1)因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p 是真命题；因为函数y ＝x －1x的单调递增区间(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，¬p 为假命题，¬q 为真命题，故选D.(2)若命题“p ∨q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题．若命题“p ∧q ”为真命题，则p ，q 都为真命题，因此“p ∨q ”为真命题是“p ∧q ”为真命题的必要不充分条件．答案 (1)D (2)必要不充分考点二 全(特)称命题的否定及其真假判定【例2】 (1)(2014·安徽卷)命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2＜0 B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x20≥0(2)(2014·沈阳质量监测)下列命题中，真命题的是( )A．∀x∈R，x2＞0 B．∀x∈R，－1＜sin x＜1C．∃x0∈R,2x0＜0 D．∃x0∈R，tan x0＝2解析(1)全称命题的否定是特称命题，即命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x20＜0”．故选C.(2)∀x∈R，x2≥0，故A错；∀x∈R，－1≤sin x≤1，故B错；∀x∈R,2x＞0，故C错，故选D.答案(1)C (2)D规律方法(1)对全(特)称命题进行否定的方法有：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定．(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立．【训练2】命题“存在实数x，使x＞1”的否定是( )A．对任意实数x，都有x＞1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1解析“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.答案C考点三与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题【例3】已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q 为假命题，则实数m的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]解析 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.答案 A规律方法 以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q ”“p ∧q ”“¬p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．【训练3】 已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，因此e≤a ≤4.答案 [e,4] 微型专题利用逻辑关系判断命题真假2014年高考试题新课标全国Ⅰ卷中考查了一道实际问题的逻辑推理题，这也是今后高考命题的新趋向，大家应加以重视，解决问题的关键是弄清实际问题的含义，结合数学的逻辑关系进行转化．【例4 (1)(2014·新课标全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．点拨找出符合命题的形式，根据逻辑分析去判断真假．解析(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.(2)由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．答案(1)A(2)一点评在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题.[思想方法]1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”、“非”字眼，要结合语句的含义理解．2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与¬p→真假相反．3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．[易错防范]1．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．2．命题的否定包括：(1)对“若p，则q”形式命题的否定；(2)对含有逻辑联结词命题的否定；(3)对全称命题和特称命题的否定，要特别注意下表中常见词语的否定.词语词语的否定等于不等于大于不大于(或小于等于)小于不小于(或大于等于)是不是一定是不一定是都是不都是(至少有一个不是)必有一个一个也没有任意的某一个且或或且至多有一个至少有两个基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2014·湖北卷)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( )A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x 解析原命题的否定为“∃x∈R，x2＝x”．答案D2．(2014·天津卷)已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则¬p为( )A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x＞0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1解析命题p为全称命题，所以¬p：∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1.答案B3．(2015·海淀区模拟)已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1＜0，则¬p为( ) A．∃x∈R，x2＋x－1＞0 B．∀x∈R，x2＋x －1≥0C．∃x∉R，x2＋x－1≥0D．∀x∉R，x2＋x －1＞0解析含有存在量词的命题的否定，需将存在量词改为全称量词，并将结论否定，即¬p：∀x∈R，x2＋x－1≥0.答案B4．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A．¬p∨q B．p∧qC．¬p∧¬q D．¬p∨¬q解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上面叙述中只有¬p∨¬q为真命题．答案D5．(2014·湖北七市(州)联考)已知命题p：∃x∈R，cos x＝54；命题q：∀x∈R，x2－x＋1＞0，则下列结论正确的是( ) A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题(¬p)∧(¬q)是真命题D ．命题(¬p )∨(¬q )是真命题解析 易判断p 为假命题，q 为真命题，从而只有选项D 正确． 答案 D6．下列命题中的假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝3C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R,2x ＞0 解析 当x ＝1时，lg x ＝0，故命题“∃x 0∈R ，lg x 0＝0”是真命题；当x ＝π3时，tan x ＝3，故命题“∃x 0∈R ，tan x 0＝3”是真命题；由于x ＝－1时，x 3＜0，故命题“∀x ∈R ，x 3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对∀x ∈R,2x ＞0，故命题“∀x ∈R,2x ＞0”是真命题．答案 C7．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．¬q 为假 C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确． 答案 C8．(2015·武汉调研测试)已知命题p ：∃φ∈R ，使f (x )＝sin(x ＋φ)为偶函数；命题q ：∀x ∈R ，cos 2x ＋4sin x －3＜0，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∨qC ．p ∨(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )解析 利用排除法求解．∃φ＝π2，使f (x )＝sin(x ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cosx 是偶函数，所以p 是真命题，¬p 是假命题；∃x ＝π2，使cos 2x ＋4sin x －3＝－1＋4－3＝0，所以q 是假命题，¬q 是真命题．所以p ∧q ，(¬p )∨q ，(¬p )∧(¬q )都是假命题，排除A ，B ，D ，p ∨(¬q )是真命题，故选C.答案 C 二、填空题9．(2014·合肥质量检测)命题p ：∀x ≥0，都有x 3－1≥0，则¬p 是________． 答案 ∃x 0≥0，有x 30－1＜0.10．命题“∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x 0＞sin x 0”的否定是________．答案 ∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ≤sin x11．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集是{x |x ＞－ba }，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )＜0的解集是{x |a ＜x ＜b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“¬p ”、“¬q ”中，是真命题的有________．解析 依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“¬p ”为真、“¬q ”为真．答案 ¬p 、¬q 12．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0.则命题“p ∧¬q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：若“x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题， 所以p ∧¬q 为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.答案①③能力提升题组(建议用时：15分钟)13．(2014·衡水中学调研)给定命题p：函数y＝ln[(1－x)(1＋x)]为偶函数；命题q：函数y＝e x－1e x＋1为偶函数．下列说法正确的是( )A．p∨q是假命题B．(¬p)∧q是假命题C．p∧q是真命题D．(¬p)∨q是真命题解析对于命题p：令y＝f(x)＝ln[(1－x)(1＋x)]，由(1－x)(1＋x)＞0，得－1＜x＜1，∴函数f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，又∵f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，∴命题p为真命题；对于命题q：令y＝f(x)＝e x－1e x＋1，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝e－x－1e－x＋1＝1e x－11 e x ＋1＝1－e x1＋e x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，∴命题q为假命题，∴(¬p)∧q是假命题，故选B.答案B14．(2014·湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是( )A．∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数C．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D．∀a＞0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点解析 对于A ，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B ，当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数；对于C ，当m ＝2时，f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3＝x －1＝1x，满足条件；对于D ，令ln x ＝t ，∀a ＞0，对于方程t 2＋t －a ＝0，Δ＝1－4(－a )＞0，方程恒有解，故满足条件．综上可知，选B.答案 B15．(2014·北京海淀区测试)若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析 由已知得“∀x ∈R ，x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，则Δ＝m 2－4×1×(2m －3)＝m 2－8m ＋12≤0，解得2≤m ≤6，即实数m 的取值范围是2≤m ≤6.答案 [2,6]16．已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题¬p 是假命题，则实数m 的取值范围是__________．解析 若¬p 是假命题，则p 是真命题， 即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解， 由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1， ∴m ≤1.答案 (－∞，1]17．已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c的取值范围是________．解析 由命题p 为真知，0＜c ＜1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c ＜2，即c ＞12，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题， 则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0＜c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)． 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)。