海淀区高二年级第二学期期中练习
数学（文科）
参考答案及评分标准 2014．04
一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.
二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
（9）(1,1) （10）ππ
cos
isin
33
n n + （11）1212120x x y y z z ++= （12）53i -+ （13）66 （14）1
(,1)2
，2014
注：（12）若填i a b -给1分；（14）题每空2分.
三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分10分）
证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于点O ，连接OE . 在矩形ABCD 中，AO OC =. 因为 AE EP =，
所以 OE ∥PC . ………………………2分 因为 PC Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ， 所以 PC ∥平面BDE . ………………………5分 （Ⅱ）在矩形ABCD 中，BC CD ^. 因为 PD BC ^，CD
PD D =，PD Ì平面
PDC ，DC Ì平面PDC ，
所以 BC ^平面PDC . ………………………8分 因为 PC Ì平面PDC ，
所以 BC PC ^. ………………………10分
O
A
E
B
C
D
P
（16）（本小题满分10分）
证明：充分性：假设方程()0f x =至少有一个整数根0x .
则 2000x bx c ++=. ………………………2分 若0x 是奇数，因为,b c 均为奇数，所以200x bx c ++为奇数，不可能为0，矛盾；
………………………4分
若0x 是偶数，因为,b c 均为奇数，所以200x bx c ++为奇数，不可能为0，矛盾.
所以 方程()0f x =无整数根.
所以 “,b c 均为奇数”是“方程()0f x =无整数根”的充分条件. ……………………6分
不必要性：令1,2b c ==，方程()0f x =即2
20x x ++=显然无整数根，但此时c 为偶
数.
所以 “,b c 均为奇数”是“方程()0f x =无整数根”的不必要条件.
综上所述，“,b c 均为奇数”是“方程()0f x =无整数根”的充分而不必要条件.
………………………10分
（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）如图所示. ………………………2分
（Ⅱ）因为散点图中的最左侧点和最右侧点分别是（2，3），（6，6.2）， 所以 直线l 的方程是： 6.23
3(2)62
y x --=
--，即4570x y -+=. …………………5分 （Ⅲ）由题意可设直线l 的方程为(4)5y k x =-+. ………………………6分 则维修费用的每一个观察值与直线l 上对应点的纵坐标的差的绝对值之和
()3(25) 4.4(5) 5.6(5) 6.2(25)S k k k k k =--++--++-++-+
2140.6
k k =-+- 4.4
6, 020.4, 0.61, 64.4, 1.k k k k k k -≤⎧⎪
=-<≤⎨⎪->⎩
………………………9分
因为 函数()S k 的单调递增区间是(0.6,)+∞，单调递减区间是(,0.6)-∞，所以 当0.6k =时，()S k 取得最小值0.8，此时直线l 的方程是35130x y -+=.………………………12分
（18）（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：（1）不是，因为线段23B B 与线段23A A 不垂直；
（2）是，符合定义. ………………………2分 （Ⅱ）命题“对任意n ∈N 且2n >，总存在一条折线12n C A A A ---：有共轭折线”是真命题.理由如下：
当n 为奇数时，不妨令21,2,3,4,
n k k =-=，取折线1221k C A A A ---
-：.其中
(,)(1,2,,21)i i i A a b i k =-，满足
2121(1,2,
,21),0(1,2,
,),1(1,2,
,1)i i i a i i k b i k b i k -=-=-====-.则折线C 的共
轭折线为折线C 关于x 轴对称的折线.如图所示.
当n 为偶数时，不妨令2,2,3,4,n k k ==，取折
线122k C A A A --
-：.其中(,)(1,2,
,2)i i i A a b i k =，满足
22121(1,2,,21),2,0(1,2,
,),1(1,2,
,)i k i i a i i k a k b i k b i k -=-=-=====.折线C
的共轭折线为折线122'k C B B B ---：.其中(,)(1,2,
,2)i i i B x y i k =满足
22212211(1,2,
,23),21,21,2,0(1,2,
,1),i k k k i x i i k x k x k x k y i k ---=-=-=-=+===-2222121(1,2,
,2),3,1,1i k k k y i k y y y --=-=-=-=-=.如图所示. ………………………7分
注：本题答案不唯一.
（Ⅲ）证明：假设折线1234B B B B ---是题设中折线C 的一条共轭折线（其中11B A =，
44B A =）
，设1(,)t t t t B B x y += (1,2,3t =)，显然,t t x y 为整数. 则由11t t t t B B A A ++⊥，
得：11223312312330, 30, 30, 9, 1. x y x y x y x x x y y y +=⎧⎪
-=⎪⎪
+=⎨⎪++=⎪⎪++=⎩①
②③④⑤
由①②③式得11223,
,.
3
333y x y x y x =-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
这与⑤式矛盾，因此，折线C 无共轭折线. ………………………12分
注：对于其它正确解法，相应给分.。