云天中学高二数学期中测试题
考试时间：120分钟；总分150分
一、单选题（每题5分，共40分）
1．如果曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，那么点P 的坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(0,1)- C ．(0,1)
D ．(1,0)- 2．已知'()f x 的图象如图所示，其中'()f x 是()f x 的导函数，则下列关于函数()f x 说法正确的是（ ）
A ．仅有2个极值点，一个是极大值点，一个是极小值点
B ．因为'()0f x =有四个根，故函数()f x 有四个极值点
C ．有2个极大值点，3个极小值点
D ．没有极值
3．函数()3
sin 3x f x x π
=+的图象的大致形状是（ ） A ． B ．
C ．
D ． 4．设函数()2x
f x e x =-，则( ) A ．2x e =为()f x 的极小值点 B ．2x e
=为()f x 的极大值点 C ．ln 2x =为()f x 的极小值点 D ．ln 2x =为()f x 的极大值点
5．已知复数2()(1)z m m m i =-+-是纯虚数，m R ∈，则21(1)
z =+（ ） A ．2
i - B ．2i C ．i D ．i - 6．()25
2(2)x x -+的展开式中含4x 的项的系数为（ ）
A ．20-
B ．60
C ．70
D ．80 7．某电商为某次活动设计了“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同.员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖.则他获得奖次的不同情形种数为( )
A ．9
B ．12
C ．18
D ．24
8．一个盒子中装有8个小球，红球有3个，白球有5个，每次从袋子不放回地抽取1个小球，则在第一次抽取的球是红球的条件下，第二次抽取的球为白球的概率为( )
A ．27
B ．58
C ．57
D ．47
二、多选题（答对得5分，漏选得3分，错选得0分，共20分）
9．给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A ．若a R ∈，则()1a i +是纯虚数
B ．随机变量()2~3,2X N ，若23X η=+，则()1D η=
C ．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有510种
10．若随机变量X 服从两点分布，其中()103P
X ==
，E （X ）、D （X ）分别为随机变量X 均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A ．P （X ＝1）＝E （X ）
B ．E （3X +2）＝4
C ．
D （3X +2）＝4 D ．()49D X =
11．已知三个正态分布密度函数2
2()2()(,1,2,3)2i i x i x e x R i μσφπσ--=
∈=的图象如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
A ．12σσ=
B ．13μμ>
C ．12μμ=
D ．23σσ< 12．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算2K 的观测值4.762k ≈，则可以推断出（ ）
A ．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35
B ．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意
D ．回归方程为$0.8585.71y x =-中，变量y 与x 具有正的线性相关关系
C ．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D ．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
三、填空题（每题5分，共20分）
13．函数()y f x =在1x =处切线方程为10x y -+=，则()()1'1f f +=______. 14．已知复数2(2)(9)z m m i =-+-在复平面内对应的点位于第三象限，则实数m 的取值范围是________.
15．已知某人每次投篮投中的概率均为
13
，计划投中3次则结束投篮，则此人恰好在第5次结束投篮的概率是__________.
16．若()323ln 442
f x m x x x x =-+-+在()2,+∞上单调递减，则实数m 取值范围__________.
四、解答题（共70分）
17．（10分）4个男同学，3个女同学站成一排．
（1）总共有多少种排法？
（2）男生甲必须排在正中间，有多少种不同的排法？
（3）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
（4）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
（5）其中甲、乙两名同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？
（用数字作答）
18．（12分）已知2)n x
的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等， （1）求n ；
（2）求展开式中x 的一次项的系数；
（3）求展开式的所有项的系数和.
19．（12分）小建大学毕业后要出国攻读硕士学位，他分别向三所不同的大学提出了申请.根据统计历年数据，在与之同等水平和经历的学生中，申请A 大，B 大，C 大成功的频率分别为12，23，34
.若假设各大学申请成功与否相互独立，且以此频率为概率计算. （Ⅰ）求小建至少申请成功一所大学的概率；
（Ⅱ）设小建申请成功的学校的个数为X ，试求X 的分布列和期望.
20．（12分）2019年12月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现了多例有华南海鲜市场暴露史的不明原因肺炎病例，现已证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病. 2020年3月3日，某研究机构首次分析了女性在新型冠状病毒传播中可能存在的特殊性.现将密切接触者40名男士和40名女士进行筛查，得到的无症状者与轻症者情况如下列联表：
（Ⅰ）能否有90%的把握认为性别对症状差别有影响？
（Ⅱ）先从轻症状接触者中按分层抽样抽取了6个人进行传播差异性研究，求抽取两个人中恰有一男一女的概率.
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
．
21．（12分）为了解某地区某种产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：
（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数） 参考公式：1
2
1()()()ˆn i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑1221n
i i
i n i i x y nxy x nx ==-=-∑∑ ，^
^y x a b =- 22．（12分）已知函数()()2x f x e x ax b =++在点()()0,0f 处的切线方程为640x y ++=. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式及单调区间；
（Ⅱ）若方程()()f x kx k R =∈有三个实根，求实数k 的取值范围.。