浙教版八下二次根式题型归纳汇总
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浙教版八下二次根式题型归纳总结
一、知识框架
1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：
（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
=·（a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
三、例题讲解
1、概念与性质
ab a b b b a a
=（＞=
=a a 2 （a ＜
例1下列各式1），其中是二次根式的是_________（填序号）．
例2、求下列二次根式中字母的取值范围
（1）
x x --
+315；（2）22)-(x
例3、 在根式1) ，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)
例4、已知：
的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y
例5、 已知数a ，b ，若=b －a ，则 ( )
A. a>b
B. a<b
C. a≥b
D. a≤b
2、二次根式的化简与计算 例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )
22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153
x a a a --+---+222;2);3);4)275
x a b x xy abc +-2()a b -
A. ；
B. －；
C. －；
D.
例2. 把（a －b ）
－1a －b 化成最简二次根式
例3、计算：
例4、先化简，再求值：
，其中a=，b=．
例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222
()a b a b ---
11()b a b b a a b ++++512+512-
3、在实数范围内分解因式
例. 在实数范围内分解因式。

（1）
； （2）
4、比较数值
（1）、根式变形法
当0,0a b >>时，①如果a b >，则a b >；②如果a b <，则a b <。

例1、比较35与53的大小。

（2）、平方法
当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22
a b <，则a b <。

例2、比较32与23的大小。

（3）、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

例3、比较231-与121
-的大小。

（4）、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例4、比较1514-与1413-的大小。

（5）、倒数法
例5、比较76-与65-的大小。

（6）、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例6、比较73+与873-的大小。

（7）、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔<
例7、比较2131++与23
的大小。

（8）、求商比较法
它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①1a
a b b >⇔>； ②1a
a b b <⇔<
例8、比较53-与23+的大小。

5、规律性问题
例1. 观察下列各式及其验证过程：
， 验证：；
验证:.
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程.
例2. 已知，则a _________
举一反三：已知
，则
a ______。

例3、化简下列各式：
（1）423+ （2）526-
44
15
例4、已知a>b>0，a+b=6，则的值为（ ） A ． B ． 2 C ． D ． 例5、甲、乙两个同学化简
时，分别作了如下变形： 甲
：
==； 乙：=。

其中，（ ）。

A. 甲、乙都正确
B. 甲、乙都不正确
C. 只有甲正确
D. 只有乙正确
三、课堂练习
1．对于以下四个命题：①若直角三角形的两条边长为3与4，则第三边的长是5；②（）2=a ；③若点P （a ，b ）在第三象限，则点Q （﹣a ，﹣b ）在第一象限；④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（ ）
A ．只有①错误，其他正确
B ．①②错误，③④正确
C ．①④错误，②③正确
D ．只有④错误，其他正确
ab a b a b
-+22212
2．使式子5
151--=--a a a a 成立的条件是（ ） A ．a≥5 B ．a ＞5 C ．1≤a≤5
D ．1≤a ＜5
3．若462m -与4
32-m 可以合并，则m 的值不可以是（ ） A ．
B ．
C ．
D ． 4．当x ＞3时，()23-x ﹣1化简的结果是（
） A ．2﹣x B ．x ﹣4 C ．x
D ．﹣x
5．当x ＜0时，二次根式化简的结果是（ ）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
6．在二次根式
，，，，，中，最简二次根式的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 7．若整数m 满足条件
=m+1且m ＜，则m 的值是（ ） A ．0或1
B ．﹣1、0或1
C ．0或﹣1
D ．﹣1
8．如果ab ＞0，a+b ＜0，那么下面各式：①
=，②•=1，③÷=﹣b ，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
四、课后练习
化简：+2x﹣x2
已知，则
已知ab=2，求的值
已知：a＜0，化简
已知1＜x＜2，，求的值若实数a满足|a﹣8|+=a，则a的值是多少.
若0＜a＜1，化简|1﹣a|+
有下列计算：
①（m2）3=m6，
②，
③m6÷m2=m3，
④，
⑤，其中正确的运算有．
化简
计算
对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=，如3※2=．那么15※6的值是多少？
实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简a+|a+b|﹣﹣|b﹣c|。