二次根式知识点归纳和题型归类
二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：
鳥<0)；
［爲工Og叭2“)= 9-0)；3^ ★4 L
4. 积的算术平方根的性质：、’、：、「••「〔；
E=^a>Of Z>>0)
5. 商的算术平方根的性质：* .
6. 若7 '.
知识点二、二次根式的运算
1. 二次根式的乘除运算
(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号
(2) 注意每一步运算的算理；
2. 二次根式的加减运算先化简，再运算，
3. 二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；
(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用
.利用二次根式的双重非负性来解题
（岛 0 （a > 0）,即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
）
1.下列各式中一定是二次根式的是（
）。
A 、弋3 ；
i"
2
2 •等式 J （X 1） = 1 — x 成立的条件是 _____________ . 3•当x _____________ 时，二次根式 J2x 3有意义. 4. x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(2)
（4）若 x （x 1） . X I X 1，则x 的取值范围是 _______ （ 5）若X 3 . X 3 ,则x 的取值范围是 ______________________
\ X 1 J x 1
6若J3m 1有意义，则m 能取的最小整数值是 _____________ ;若J 20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是 ___________ 7. 当X 为何整数时， ______________________________________ 10X 1 1有最小整数值，这个最小整数值为。
8. 若 2004 a V a 2005 a ，则 a 20042= _____________________ ;若 y
4，则 x y _________
m 2 9
. 9 m 2 2
—
9. 设 m 、n 满足 n
，贝V . mn = ________ 。
m 3
10. 若三角形的三边 a b 、c 满足a 2 4a 4 - b 3=0,则第三边c 的取值范围是 ____________________________ 11. 若 |4x 8| x y m 0，且 y0 时，则（
） A 、0 m 1 B 、m 2
C 、m 2
D m 2
二.利用二次根式的性质 a 2=|a|= a
（a b ）
（即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 ）来解题
u （a 0）
a （a 0）
3.若化简| 1-x | - x 2 8x 16的结果为2x-5则（ ）
4.已知a , b , c 为三角形的三边，则
(a b c)2 , (b c a)2 . (b c a)2 =
5.当-3<x<5 时，化简 x 2 6x 9 、x 2 10x 25 =
B 、 •：； X ；
C 、弩 x 1 ;
D x 1
1.已知 x 3 3x 2 =— x 厂3，则( )A. x w 0
B.x w — 3 C .x >— 3 D. — 3< x w 0
2..已知a<b ,化简二次根式• a 3b 的正确结果是（
)A . a ab a 、ab C . a ab D . a ab
A 、x 为任意实数
6、化简|x y | x 2 （x y 0）的结果是（）A
.y 2x B . y C . 2x
7、已知：a
2a a 2 =1,则a 的取值范围是（
）。
A 、a 0 ；
B 、
C 、 a 0 或 1；
&化简（x 2）八-1的结果为（）
' x 2
二.二次根式的化简与计算 （主要依据是二次根式的性质：（j a ） 2=a （a > 0）,即J O 2 | a |以及混合运算法则）
（一）化简与求值
1•把下列各式化成最简二次根式： （1） 33
（ 2）
412 402 （ 3） 25m 5
（ 4） x 4 x 2y 2
Y 8
v
3•计算下列各题:
（二）先化简，后求值:
2•变形代入法:
（1）变条件:
①已知:
，求x 2
x 1的值。
②•已知：X=-73—2 3
2，y
一3
2
，求 3x 2— 5xy+3y 2 的值 3
2
（2）变结
论：
①设：3
=a , “30 =b , 则.0.9
③•已知x
2 1,y
2•下列哪些是同类二次根式：（1）
75, l 1，予,,2 ,
1
, 3 ,
1
; (2) 5 a 3b 3e, a 3b 2e 3 , V 7 \ 50
\10
be
(1) 6 ,27 ( 3、3) ( 2)
2 18
4a
6b
C
(4) 5b 3e 5a . 24
(5)- 1 2
5
(6)
4
•计算
(
1)
2 3 3
J
8
1
12
1
50
2
10，则x 等于（
）
1.直接代入法：已知x
5), y 1 0 7
5),
2
求(1) x 2
，0 be
5.已知x
2 、18 x
五.关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题
1•估算.31 — 2的值在哪两个数之间（
4•若a ，b 为有理数，且
8+ 18 + 1 =a+b 2，则
丫8
19.
已知：a 1 1 10，求a 2 $的值
a
a
20.
已知：x, y 为实数，且 y p J x 1 &~x 3，化简：y 3 Vy 8y 16
Vx 3y x 2 9 r x 1
21.
已知 x 3 2
求厂的值
⑤已知x y 5， xy 3，（ 1）求
-J-的值 (2) y : x
2•若.3的整数部分是a ，小数部分是b ，
则 3a b
3•已知9+ 13与 9 13的小数部分分别是 a 和 b ,求 ab — 3a+4b+8 的值
)A . 1 〜2 B.2 3 C. 3 〜4 D.4 〜5
六.二次根式的比较大小
(1) 1 200和 2&
5
(2)— 5飞和
6. 5
(3).. 17 、T5 和 115 .73
(4)设 a= .3 2, b 2 3,c ^5
2,则(
A. abc
B. acb
C. cba
D. b c a 七•实数范围内因式分解:
1.9x 2— 5y 2
2. 4x 4— 4x 2+ 1
3. x 4+x 2— 6。