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二次根式知识点归纳及题型总结-精华版

二次根式知识点归纳和题型归类
一、知识框图
二、知识要点梳理
知识点一、二次根式的主要性质:
1.;
2.;
3.;
4.积的算术平方根的性质:;
5.商的算术平方根的性质:.
6.若,则.
知识点二、二次根式的运算
1.二次根式的乘除运算
(1) 运算结果应满足以下两个要求:①应为最简二次根式或有理式;②分母中不含根号.
(2) 注意每一步运算的算理;
2.二次根式的加减运算先化简,再运算,
3.二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里;
(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.
一. 利用二次根式的双重非负性来解题

0a (a ≥0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。


1.下列各式中一定是二次根式的是()。

A 、
3;
B 、
x ;
C 、
12
x

D 、
1
x 2.等式
2
)1(x =1-x 成立的条件是_____________.
3.当x____________时,二次根式
32x
有意义.
4.x 取何值时,下列各式在实数范围内有意义。

(1)(2)
1
21x (3)
4
5x
x (4)若
1)1(x x x x ,则x 的取值范围是
(5)若
1
31
3x x
x x ,则x 的取值范围是。

6.若
13m 有意义,则m 能取的最小整数值是
;若
20m 是一个正整数,则正整数m 的最小值是________.
7.当x 为何整数时,1110x 有最小整数值,这个最小整数值为。

8.若
20042005
a a a ,则2
2004a
=_____________;若43
3
x
x
y ,则
y
x 9.设m 、n 满足3
2
99
2
2
m m m
n
,则
mn =。

10. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442
b
a a
=0,则第三边c 的取值范围是
11.若0|
84|m
y x x ,且0y
时,则(
) A

10m B 、2
m C 、
2m D 、2
m 二.利用二次根式的性质
2
a =|a|=
)
0()0(0)(a
a a
b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值
)来解题
1.已知
2
3
3x x
=-x 3x ,则(
) A.
x ≤0 B.x ≤-3 C.x ≥-3 D.-3≤x ≤0
2..已知a<b ,化简二次根式b a 3
的正确结果是(
)A .
ab a
B .ab a
C .ab a
D .ab
a
3.若化简|1-x |-1682
x x
的结果为2x-5则(
) A 、x 为任意实数 B 、1≤x ≤4 C
、x ≥1 D 、x ≤4
4.已知a ,b ,c 为三角形的三边,则
2
2
2
)()
()
(a c b a c b c b a =
5.当-3<x<5时,化简2510962
2
x x
x x
=。

6、化简
)0(||2
y
x
x y x 的结果是() A .x y 2 B .y C .y x 2 D

y
7、已知:2
21a a a =1,则a 的取值范围是(
)。

A 、0a ;B 、1a ;
C 、
0a 或1;
D 、
1
a 8、化简2
1)
2(x x 的结果为()A 、
x 2;B 、2x ;C 、2x
D 、
x
2
三.二次根式的化简与计算(主要依据是二次根式的性质:(a )2=a (a ≥0),即||2
a a 以及混合运算法则)
(一)化简与求值
1.把下列各式化成最简二次根式:
(1)8
33
(2)2
2
40
41
(3)
2
255
m
(4)
2
24
y
x x
2.下列哪些是同类二次根式:(1)75,271,12,2,501,3,10
1;(2),
53
3c b a 3
23c b a ,4
c ab ,a bc
a
3.计算下列各题:
(1)6)33(27(2)49123
a ab
;(3)a
c c
b b
a
53654(4)
24
182(5)-54
53
21
(6)
)
(
23
5
2
2c
ab c
b a 4.计算(1)250
5
112
2
18
3
13
3
5.已知10182
2
2x
x x
x
,则x 等于(
) A .4 B .±2 C .2 D .±4
(二)先化简,后求值:1.直接代入法:已知),57(2
1x
),
57(2
1y
求(1) 2
2
y
x
(2)
y
x x
y 2.变形代入法:
(1)变条件:①已知:1
3
2x
,求12
x x
的值。

②.已知:x=2
323,2
3
23
y
,求3x 2-5xy+3y 2的值
(2)变结论:
①设
3 =a ,30 =b ,则
0.9 =。

③.已知
12,12y x ,求
xy
y
x x
y y x 33。

⑤已知5y x
,3xy ,(1)求
x
y y x
的值(2)求
y
x
y x 的值
五.关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题
1.估算31-2的值在哪两个数之间(
)A .1~2 B.2~3 C. 3
~4 D.4
~5
2.若
3的整数部分是
a ,小数部分是
b ,则
b
a 33.已知9+13913与的小数部分分别是
a 和
b ,求ab -3a+4b+8的值
4.若a ,b 为有理数,且
8+18+
8
1=a+b 2,则b a
= .
六.二次根式的比较大小(1)
322005
1和(2)-5
5
66和(3)
13
151517和(4)设a=23, 32
b
,25
c , 则(
)A.
c
b a B.
b
c a C.
a
b c D.
a
c b 七.实数范围内因式分解:
1. 9x 2-5y 2
2. 4x 4-4x 2
+1 3. x 4+x 2
-6
19. 已知:11
10a
a
,求2
2
1a
a
的值。

20. 已知:,x y 为实数,且113y x x
p
,化简:2
3
816y y
y 。

21. 已知
1
1
03
9
32
2
y x x
x
y x ,求
的值。

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