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二、线性规划的标准形式
线性规划数学模型的一般形式：求 x [x1x2 xn ]T
使 且满足
说明： 1）m=n,唯一解 2）m>n,无解 3）m<n,无穷解
f (x) c1x1 c2 x2 cn xn min
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1 a22 x2 a2n xn b2 am1x1 am2 x2 amn xn bm
工序1 工序2 工序3 原材料1 原材料2 其他成本
产品A /件
2
3
2
3
4
10
产品B /件
1
1
3
2
3
10
产品C /件
2
1
2
4
2
10
总工时或原材料 4600 4000 6000 10000 8000
工时或原材料成本
（元）
15 10 10
20
40
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建模例3： 成批生产企业年度生产计划的按月分配 。 在成批生产的机械制造企业中，不同产品劳动量的结构上
可能有很大差别。如：某种产品要求较多的车床加工时间，另 一种产品的劳动量可能集中在铣床和其他机床上。因此，企业 在按月分配年度计划任务时，应考虑到各种设备的均衡且最大 负荷。
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Hale Waihona Puke 在年度计划按月分配时一般要考虑:1）从数量和品 种上保证年度计划的完成；2）成批的产品尽可能在各个 月内均衡生产或集中在几个月内生产；3）由于生产技术 准备等方面原因，某些产品要在某个月后才能投产；4） 根据合同要求，某些产品要求在年初交货；5）批量小的 产品尽可能集中在一个月或几个月内生产出来，以便减少 各个月的品种数量等等。如何在满足上述条件的基础上， 使设备均衡负荷且最大负荷。
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解: 设甲、乙两种产品的日产件数分别为 x1, x2.
max F ( X ) 40x1 80x2 X D R2 s.t. x1 9 x2 7 2x1 3x2 24 x1, x2 0
日利润最大
生产能力限制 劳动力限制 变量非负
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第五章 线性规划
5-1 线性规划的标准形式与基本性质 5-2 基本可行解的转换 5-3 单纯形方法及应用举例
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第五章 线性规划
目标函数和约束条件都是线性的，像这类约束 函数和目标函数都是为线性函数的优化问题，称作 线性规划问题。它的解法在理论和方法上都很成熟， 实际应用也很广泛。虽然大多数工程设计是非线性 的，但是也有采用线性逼近方法求解非线性问题的。 此外，线性规划方法还常被用作解决非线性问题的 子问题的工具，如在可行方向法中可行方向的寻求 就是采用线性规划方法。当然，对于真正的线性优 化问题，线性规划方法就更有用了。
max z 2x1 x2
值1万元；需占用一车间工作日5天， 二车间工作日2天。现一车间可用于
s.t. 3 x1 5x2 15
生产A、B产品的时间15天，二车间 可用于生产A、B产品的时间24天。 试求出生产组织者安排A、B两种产
6 x1 2x2 24 x1 0
品的合理投资产数，以获得最大的总 产值。
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将其化成线性规划标准形式：
求 x [x1x2 ]T 使 min f (x) 60x1 120x2 且满足 9x1 4x2 x3 360
3x1 10x2 x4 300
4x1 5x2 x5 200
xi 0(i 1, 2,3, 4,5)
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建模例1： 某公司有钢材、铝材、铜材1200t，800t和650t，拟调往 物资紧张的地区甲、乙、丙。已知甲、乙、丙对上述物资的总需求分 别为：900t，800t和1000t。各种物资在各地销售每吨的获利如下表 所示。试问公司应如何安排调运计划，才能获利最大？建立该问题的 数学模型。
获利 物资 地区
分析：每天生产的甲、乙两种产品分别为 x1, x2 件
f (x1, x2 ) 60x1 120x2 max (利润最大) g1( X ) 9x1 4x2 360 （材料约束）
g2 ( X ) 3x1 10x2 300
g3( X ) 4x1 5x2 200
（工时约束） （电力约束）
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例5-3：某厂生产甲、乙两种产品，已知：①两种产品分别由两 条生产线生产。第一条生产甲，每天最多生产9件，第二条生产 乙，每天最多生产7件；②该厂仅有工人24名，生产甲每件用2工 日，生产乙每件用3工日；③产品甲、乙的单件利润分别为40元 和80元。问工厂如何组织生产才能获得最大利润？
x2 0
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例5-2：生产甲种产品每件需使用材料9kg、3个工时、4kw电，获 利润60元。生产乙种产品每件需用材料4kg、10个工时、5kw电， 可获利120元。若每天能供应材料360kg，有300个工时，能供 200kw电。试确定两种产品每天的产量，使每天可能获得的利润 最大？
甲 乙 丙
钢材
260 210 180
铝材
300 250 400
铜材
400 550 350
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建模例2： 某工厂生产A、B、C三种产品，现根据订货合同以及生产 状况制定5月份的生产计划，已知合同甲为：A产品1000件，单件价 格为500元，违约金为100元/件；合同乙为：B产品500件，单件价格 为400元，违约金为120元/件；合同丙为：B产品600件，单件价格为 420元，违约金为130元/件；C产品600件，单件价格为400元，违约 金为90元/件；有关各产品生产过程所需工时以及原材料的情况见下 表。试以利润为目标，建立该工厂的生产计划线性规划模型 。
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§5-1 线性规划的标准形式与基本性质
一、线性规划实例
解：设生产A、B两产品分别
例每生5-1产：一某台工产厂品要A生可产获A产、值B2两万种元产；品，为数x学1,模x型2台为，：则该问题的优化
需占用一车间工作日3天，二车间工 作日6天；每生产一台产品B 可获产