河南 洛阳（平顶山）李恒运 微观经济学计算题1.某君对消费品x 的需求函数为，分别计算价格P ＝60和P ＝40时的价格弹性系数。
解：由，得，这样，于是，即,当价格为60和40时的点价格弹性系数分别为—3和 -4/3.2。
假设某商品的50%为75个消费者购买，他们每个人的需求弹性为-2，另外50％为25个消费者购买，他们每个人的需求弹性为-3，试问这100个消费者合计的弹性为多少? 解：设被这100个消费者购得的该商品总量为Q ，其市场价格为P.据题设，其中75人购买了其总量的一半，且他们每人对该商品的需求弹性为-2,这样，他们每人的弹性且又，另外25人购买了其总量之另一半，且他们每人对该商品的需求弹性为—3，这样，他们每人的弹性且由此,这100个消费者合计的弹性为将式(1）、（3)代入，得将式(2)、（4)代入，得3。
若无差异曲线是一条斜率是—b 的直线，价格为Px 、Py ，收入为M 时，最优商品组合是什么？解:预算方程为:Px ·x+Py ·y ＝M ，其斜率为—Px/PyMRS XY =MU X /MU Y =-b由于无差异曲线是直线，这时有角解。
当b>Px/Py 时，角解是预算线与横轴的交点，如图3—19（a ）所示。
这时,y ＝0由预算方程得，x=M/Px最优商品组合为(M/Px ，0）当b 〈Px/Py 时,角解是预算线与纵轴的交点,如图3-19（b)所示.这时，x ＝0由预算方程得，y=M/P最优商品组合为（0，M/Py)当b=Px/Py时，预算线上各点都是最优商品组合点。
4。
若需求函数为q=a-bp,a、b>0,求：(1)当价格为P1时的消费者剩余是多少?(2）当价格由P1变到P2时消费者剩余变化了多少？解：(1)由g＝a-bP,得反需求函数为设价格为p1时，需求量为q1,q1=a—bP1消费者剩余=(2）设价格为p2时，需求量为q2,q2＝a—bp2消费者剩余变化量5. X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者。
这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：公司X：Px＝1 000-5Qx,公司Y：Py＝1 600—4Qy。
这两家公司现在的销售量分别为100单位X和250单位Y。
(1)求X和Y当前的价格弹性。
（2)假定Y降价后，使Qy增加到300单位，同时导致X的销售量Qx下降到75单位，试问X公司产品X的交叉价格弹性是多少？解:(a）由题设，Qx＝100，Qy=250，则Px＝1 000—5Qx＝1 000—5×100＝500Py＝1 600-4Qy＝1 600-4×250＝600于是x之价格弹性y之价格弹性（b）由题设，Q’y＝300，Q’x＝75这样， P’y＝1 600-4Q’y＝1 600-4×300=400△Qx＝Q’x-Qx＝75—100＝—25△Py=P'y—Py=400—600=—200于是,X公司产品x对Y公司产品y的交叉价格弹性=5/7即交叉价格弹性为5/7.6.令消费者的需求曲线为p＝a—bp，a、b>0，并假定征收 lOOt％的销售税,使得他支付的价格提高到P(1+t）.证明他损失的消费者剩余超过政府征税而提高的收益。
解：设价格为p时,消费者的需求量为q1，由p=a-bq1，得又设价格为P（1+t）时，消费者的需求量为q2，由P＝a—bq2得消费者剩余损失政府征税而提高的收益=(1+t)pq2—pq1消费者剩余亏损一政府征税而提高的收益因此，消费者剩余损失总是超过政府征税而提高的收益。
7。
假定效用函数为U＝q0。
5+2M，q为消费的商品量，M为收入。
求:(1）需求曲线；（2）反需求曲线;（3)p=0.05，q＝25时的消费者剩余。
解：(1)根据题意可得，商品的边际效用单位货币的效用为若单位商品售价为P，则单位货币的效用就是商品的边际效用除以价格，即=MU/P于是得，，即进而得，，这就是需求曲线.(2）由，得,这就是反需求曲线。
（3）当p=0。
05,q=25时，消费者剩余=8．若某消费者对X、Y的效用函数如下:U（x）=20X-X2，U（y）= 40Y—4Y2，且Px=2元，Py=4元，现有收入24元，该消费者要花完全部现有收入并获得最大效用，应购买X、Y各多少？解:解得:9.某消费者的效用函数为U＝XY，Px＝1元，Py＝2元,M =40元，现在Py突然下降到1元。
试问：(1）Y价格下降的替代效应使他买更多还是更少的Y？（2)Y价格下降对Y需求的收入效应相当于他增加或减少多少收入的效应?收入效应使他买更多还是更少的Y?(3）了价格下降的替代效应使他买更多还是更少的X？收入效应使他买更多还是更少的X?Y价格下降对X需求的总效应是多少？对Y需求的总效应又是多少?解：（1)先求价格没有变化时，他购买的X和Y的量。
这时已知，Px＝1，Py＝2,U＝XY ∵预算方程为： X+2Y＝40解 Y=X/2X+2Y=40得 X=20（即图中0X1）Y=10(即图中0Y1）再求购买20单位的X、10单位的Y在新价格下需要的收入。
M=Px·x+Py·y＝1×20+1×10＝30(元）最后，求在新价格和新收入（30元）下他购买的X和Y的量.∵ Px=1，Py＝1，MUx＝Y,MUy＝X∴ MUx/Px=MUy/Py 即为：Y/1=X/1预算约束为：X+Y＝30解 Y=XX+Y=30得 X=15Y=15因此，Y价格下降使他购买更多的y，多购买（15-10)=5单位，在图中从OY1增加到OY2.（2）先求y价格下降后，他实际购买的X和Y的量。
∵ Px=1，Py＝1，M＝40，MUx＝Y,MUy＝X即为：Y/1=X/1预算方程为：X+Y＝40解 Y=XX+Y=50得 X=20Y=20可见,Y价格下降的收入效应使他购买更多的Y即在图中从 OY2增加到OY3,购买(20-15）=5单位。
由于在新价格和收入为30元时，他购买15单位的X、15单位的Y。
在新价格下，要使他能购买20单位X、20单位Y，需增加 10元收入，即收入为40元.所以，要增购5单位Y 的话，必需增加 10元收入，即图中预算线上升到A’B.因此,Y价格下降对Y需求的收入效应相当于他增加10元收入的效应.（3）Y的价格下降的替代效应使他买更少的X,少买(20— 15）=5单位，即图中X的购买量从Ox1降为Ox2。
收入效应使他购买更多的X，多买（20-15)＝5单位，即图中X的购买量从Ox2恢复到OX1。
Y价格下降对X需求的总效应为零。
y价格下降的替代效应使他多购买5单位Y，收入效应使他也多购买5单位Y。
故Y价格下降对Y需求的总效应为10单位，即图中Y1Y3=Y1Y2+Y2Y3。
10。
已知生产函数为,请问：（a)该生产函数是否为齐次函数?次数为若干?(b）该生产函数的规模报酬情况。
（c）假如L与K均按其边际产量取得报酬，当L与K取得报偿后，尚有多少剩余产值? 解：（a)∴该生产函数为齐次函数，其次数为0.8。
(b)根据a）题可知该生产函数为规模报酬递减的生产函数。
(c)对于生产函数这里的剩余产值是指总产量减去劳动和资本分别按边际产量取得报酬以后的余额,故剩余产值＝Q-L·MPPL -K·MPPK11.已知生产函数为（a）求出劳动的边际产量及平均产量函数.（b)考虑该生产函数的边际技术替代率函数(MRTS）的增减性. (c）考虑该生产函数劳动的边际产量函数的增减性。
解:（a）劳动的边际产量函数MPPL＝dQ/dL劳动的平均产量函数APPL＝Q/L(b)生产函数边际技术替代率指产量不变条件下一种生产要素增加的投入量与另一种生产要素相应减少的投入量之比，即 -△K/△L或-dK/dL。
为此,需要从生产函数中先求得K和L之间的关系，然后从这一关系中求得dK/dL。
由生产函数 Q=得 QK+QL＝1OKLK（Q—10L）＝-QL则边际技术替代率MRTS=-dK/dL当dK/dL〉0时,dK/dL〈0所以该生产函数的边际技术替代率函数为减函数。
（c）所以该生产函数的边际产量函数为减函数。
12.某公司拟用甲、乙两厂生产同一种产品，如果用x代表甲厂的产量，用y代表乙厂的产量，其总成本函数为C＝x2+3y2—xy（a)求该公司在生产总量为30单位时使总成本最低的产量组合。
（b）如用拉格朗日函数求解（a)题,请解释λ的经济意义。
解：（a）这个约束最佳化问题的数学表达如下:minC ＝ x2 + 3y2 — xyS.t。
x + y = 30设拉格朗日函数为X ＝ x2 + 3y2 – xy +分别对x、y及λ求偏导，得由（1），（2）式得y-2x=x—6y3x＝7yx=7/3y代入（3)式中，7/3y+y=3.y=9x=7/3y＝21（b)一般说来，任何拉格朗日函数λ都表明约束条件增减一个单位时对原始目标函数的边际影响。
如在本题中，λ可视为总产量为30个单位时的边际生产成本，它表明如果该公司原先产量为 29单位，而现在增至30单位，则其总成本将增加33。
这种边际关系对企业估价放宽某个约束条件可能得到的效益是十分重要的。
13.已知生产函数为Q＝min(3K，4L）(a）作出Q=100时的等产量曲线。
（b）推导出边际技术替代率函数。
(c）讨论其规模报酬情况。
解：（a）生产函数Q＝min(3K，4L)表示定比生产函数，它反映了资本和劳动在技术上必须以固定比例投入的情况，本题Q＝ 100时等产量曲线为如图所示的直角形式，资本与劳动的必要比例为K/L=4/3。
且3K=4L=100。
即K=100/3，L=25(b）由3K=4L,推出（c）∴该生产函数为规模报酬不变。
14．若很多相同厂商的长期成本函数都是LTC＝Q3—4Q2+8Q,如果正常利润是正的，厂商将进入行业;如果正常利润是负的，厂商将退出行业。
(1)描述行业的长期供给函数。
(2）假设行业的需求函数为QD＝2000-100P，试求行业均衡价格，均衡产量和厂商的人数。
解：（1）已知LTC＝Q3—4Q2+80则LAC＝Q2-4Q+8，欲求LAC的最小值，只要令dLAC/dQ=0即20—4＝0 ∴ Q＝2这就是说,每个厂商的产量为Q＝2时，长期平均成本最低，其长期平均成本为：LAC=22-4×2+8=4.当价格P等于长期平均成本4时,厂商既不进入，也不退出，即整个行业处于均衡状态.故行业长期供给函数即供给曲线是水平的，行业的长期供给函数为P =4。
(2)已知行业的需求曲线为QD ＝2 000-100P，而行业的供给函数为P＝4，把P＝4代入QD＝2 000-100P中可得：行业需求量QD＝2 000—100×4＝1 600由于每个厂商长期均衡产量为2，若厂商有n个，则供给量Qs =2n。