T (α1 + α ). 2 , α2 , α3 ), 则 ( Q AQ为 1 1 0 2 0 0 2 1 0 (C) 0 1 0 (B) 1 2 0 (A) 1 1 0 0 0 2 0 0 2 0 0 2 2 18.【10数一/二/三】设A为四阶对称矩阵, A + A = O,
−1 (B)P1 P2
(C)P2 P1
−1 (D)P2 P1
21.【11数三】设A为4 × 3矩阵, η1 , η2 , η3 是非齐次线性方程组Ax = β 的三个线性无关的解, k1 , k2 为任意实数, 则Ax = β 的通解为(
η3 (A) η2 + + k1 (η2 − η1 ) 2 η3 (C) η2 + + k1 (η3 − η1 ) + k2 (η2 − η1 ) 2
(B)仅含一个非零解向量 (D)含有三个线性无关的解向量
9.【05数一/二/三】设λ1 , λ2 是矩阵A的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为α1 , α2 , 则α1 , A(α1 + α2 )线性无关的充要条件是( (A)λ1 ̸= 0 (B)λ2 ̸= 0 (C)λ1 = 0 ). (D)λ2 = 0
12.【07数一/二/三/四】设向量组α1 , α2 , α3 线性无关, 则下列向量组中线性无关的是( (A)α1 − α2 , α2 − α3 , α3 − α1 (C)α1 − 2α2 , α2 − 2α3 , α3 − 2α1 (B)α1 + α2 , α2 + α3 , α3 + α1
(D)α1 + 2α2 , α2 + 2 α3 , α 3 + 2 α1 2 −1 −1 1 0 0 13.【07数一/二/三/四】设矩阵A = −1 2 −1 , B = 0 1 0 , 则A与B ( −1 −1 2 0 0 0 (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)既不合同也不相似 14.【08数一/二/三/四】设A为n阶非零矩阵, 且A3 = O, 则( (A)E − A不可逆, E + A不可逆 (C)E − A可逆, E + A可逆 ).
(D)a ̸=
b且a + 2b ̸= 0 6.【03数三】设α1 , α2 , ..., αs 为n维向量, 则下列结论中不正确的是( ). (A)若对于任意一组不全为0的数k1 , k2 , ..., ks , 都有k1 α1 +k2 α2 +...+ks αs ̸= 0, 则α1 , α2 , ..., αs 线 性无关 (B)若α1 , α2 , ..., αs 线性相关, 则若对于任意一组不全为0的数k1 , k2 , ..., ks , 都有k1 α1 + k2 α2 + ... + ks αs = 0 (C)α1 , α2 , ..., αs 线性无关的充要条件是其秩为s (D)α1 , α2 , ..., αs 线性无关的充要条件是其中任意两个向量都线性无关 7.【04数三/四】设n阶矩阵A与B 等价, 则( (A)当|A| = a ̸= 0时, |B | = a ). (B)当|A| = a ̸= 0时, |B | = −a
1 3.【03数三/四】设n维向量α = (a, 0, · · · , 0, a, )T , 矩阵A = E − ααT , B = E + a ααT , 其
中a < 0, B 为A的逆矩阵, 则a =
. .
4.【04数三】二次型f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 )2 + (x2 − x3 )2 + (x3 + x1 )2 的秩为
0 0 1 0 , 则A3 的秩为 7.【07数一/二/三/四】设矩阵A = . 0 0 0 1 0 0 0 0 8.【08数三/四】设三阶矩阵A的特征值互不相同, 且|A| = 0, 则A的秩为
0 1 0 0
.
9.【09数 三 】 设 向 量α = (1, 1, 1)T , β = (1, 0, k )T , 且 矩 阵αβ T 相 似 于diag (3, 0, 0), 则k = . 10.【10数二/三】设A, B 为三阶矩阵, 且|A| = 3, |B | = 2, |A−1 + B | = 2, 则|A + B −1 | = . 11.【11数三】设二次型f (x1 , x2 , x3 ) = xT Ax的秩为1, 且A的行元素之和为3, 则f 在正交变 换x = Qy 下的标准形为 二. 选择题 .
2
(C)当|A| ̸= 0时, |B | = 0
(D)当|A| = 0时, |B | = 0
8.【04数三】设n阶矩阵A的伴随矩阵A∗ ̸= O, ξ1 , ξ2 , ξ3 , ξ4 是非齐次线性方程组Ax = b的互不 相同的解, 则导出组Ax = 0的基础解系( (A)不存在 (C)含有两个线性无关的解向量 ).
一, 求(1)a的值; (2)正交矩阵Q, 使QT AQ为对角矩阵. 2.【01数 三 】 设A为n阶 实 对 称 矩 阵, 秩(A) = n, A中 元 素aij 的 代 数 余 子 式 为Aij (i, j = n ∑ n ∑ Aij T 1, 2, ..., n), 二次型f (x1 , x2 , ..., xn ) = |A| xi xj . (1)记x = (x1 , x2 , ..., xn ) , 将f (x1 , x2 , ..., xn )化 为矩阵形式f (x), 并证明f (x)的矩阵为A−1 ; (2)二次型g (x) = xT Ax与f (x)的规范型是否相同? 说 明理由. a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 , 其中n ≥ 2, a ̸= 3.【02数三】设齐次线性方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a x + a x + ··· + a x = 0 m1 1 m2 2 mn n 0, b ̸= 0. 试讨论a, b为何值时, 方程组仅有零解、有非零解? 在有非零解时, 求出通解. 4

1 0 0

(D) 0 2 0 0 0 2 且A的秩为3, 则A相似于(
).
(A)diag (1, 1, 1, 0)
(B)diag (1, 1, −1, 0)
(C)diag (1, −1, −1, 0)
(D)diag (−1, −1, −1, 0) ).
5.【05数三/四】设向量组(2, 1, 1, 1), (2, 1, a, a), (3, 2, 1, a), (4, 3, 2, 1)线性相关, 且a ̸= 1, 则a = . 2 1 −1 2 , 矩阵B 满足BA = B + 2E , 则|B | = .
6.【06数一/二/三/四】设矩阵A =
10.【05数三】设矩阵A = (aij )3×3 满足A∗ = AT , 且a11 , a12 , a13 为三个相等的正数, 则a11 为( ). (A)
√ 3 3
(B)3
(C) 1 3
√ (D) 3
11.【06数一/二/三/四】设A为三阶矩阵 B , 将B 的第一列 , 将A的第二行加到第一行得矩阵 1 1 0 的−1倍加到第二列得矩阵C , 令矩阵P = 0 1 0 , 则C =( 0 0 1 (A)P −1 AP (B)P T AP (C)P AP −1 (D)P AP T ). ).
).
η3 (B) η2 − + k2 (η2 − η1 ) 2 η3 (D) η2 − + k1 (η3 − η1 ) + k2 (η2 − η1 ) 2
三. 计算题
1 1 a

1

1.【01数三/四】设矩阵A = 1 a 1 a 1 1
, 向量β = 1 , 线性方程组Ax = β 有解但不唯 −2
(A) Ax = α有无穷多解 A α x A α x = 0 仅有零解 = 0 有非零解 (C) (D) αT 0 y αT 0 y 3.【02数三】设A是m × n矩阵, B 是n × m矩阵, 则线性方程组ABx = 0( ). (A)当m > n时, 仅有零解 (C)当n > m时, 仅有零解 (B)当m > n时, 有非零解 (D)当n > m时, 有非零解
20.【11数一/二/三】设A为三阶矩阵 ,将 A的第二列加到第一列得矩阵 B , 交换B 的第二行与 1 0 0 1 0 0 第三行得单位矩阵, 令矩阵P1 = 1 1 0 , P2 = 0 0 1 , , 则A =( ). 0 0 1 0 1 0 (A)P1 P2
).
(B)E − A不可逆, E + A可逆
− A可逆, E + A不可逆 (D)E 1 2 , 则在实数域上与A合同的矩阵是( 15.【08数二/三/四】设矩阵A = ). 2 1 −2 1 2 −1 2 1 1 −2 (A) (B) (C) (D) 1 −2 −1 2 1 2 −2 1 ∗ ∗ 16.【08数二 /三/四】设 A, B 均为二阶矩阵, A , B 分别为A, B 的伴随矩阵, 且|A| = 2, |B | = 3, 则分块矩阵 O A B O 的伴随矩阵为( ).