2
解
两曲线的交点
y 2x
2
y 2 2 x ( 2,2), ( 8,4). y x4
S
2 0
y x4
2 x ( 2 x )dx
8 2


2 x ( x 4 )dx
把y做自变量即积分变量为y，是否求此图形的面积更简单？
y S ( y 4 ) dy 18 2
A f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
c d c a c a
y
y f ( x)
a
A1 f ( x ) d x
a c
A1
c
A2 d
d c
A3
b
x
A3 f ( x ) d x
d b
A2 f ( x ) d x
y
y f ( x)
y g( x)
b
y
y f ( x)
a
b x
a
y g( x)
bx
由两条曲线 y f ( x ), y g( x )与直线 x b 围成的面积为 A f ( x ) g( x )dx
b a
xa
计算由两条抛物线
2 y 2 x 和 y x 所围成 的图形的面积
2015/10/30
A f ( x )dx
b a
f ( x )与直线 x a
A f x)
b
x
小曲边 梯形面积
i
S f ( )x
i
i
对于一般的 f ( x ) ，由曲线 y f ( x )与直线 x b 以及 y 0围成的面积为 xa，
y b
x ( y )
y
x ( y )
b
x
a
x x ( y )
a
b
y b x ( y )
a
x x ( y )
A ( y )dy A ( y )dy
A ( y ) ( y )dy
a
小结：求平面图形面积的方法与步骤
（1）画图,并将图形分割为若干个曲边梯形； （2）对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确 定积分的上、下限； （3）确定被积函数； （4）求出各曲边梯形的面积和
设函数 f ( x )在区间a , b上连续且 f ( x ) 0， 则 f ( x )在 a , b 上的定积分
f ( x )dx
a b
是曲线 y f ( x )下方和 x 轴上方以及直线 x a x b 所围成的曲边梯形的面积
y
y f ( x)
a
b
bx
如果 f ( x ) 0，由曲线 y x b以及 y 0 围成的面积为
解

y x x 0及x 1 2 y x
两曲线的交点为（0,0 ), (1,1)
x x y y
2
y
B
s
1
0
x x dx
2
1 3 2 3
C
y x2
1 2 x x 3 3
o O
D
x2 y x
0
1 3
A
计算由曲线 y 2 x 和 y x 4 所围成的图形面积
2 4 2
y
y f ( x)
y
b x
y
a
y f ( x)
b a
y
y f ( x)
a
b a
b x
y f ( x)
a
y g( x)
b
b x
a
a
y g( x)
b x
A f ( x )dx A f ( x )dx
y b
x x ( y )
a
b b a a
A f ( x ) g( x )dx