计算由曲线 y 2 = 2 x 和直线 y = x − 4 所围
成的图形的面积. 成的图形的面积
解 两曲线的交点
y = x−4
y2 = 2x y = x−4
⇒ ( 2,−2), (8,4).
y2 = 2 x
选 y 为积分变量
y ∈ [−2, 4] −
A = ∫ dA = 18.
−2 4
y2 dA = y + 4 − dy 2
0 x
x
x
两边同时对 x 求导
3 f ( x ) = 2 y + 2 xy ′ ⇒ 2 x y ′ = y
积分得 y = cx ,
2
9 因为曲线 y = f ( x ) 过点 ( 2 , 3 ) ⇒ c = 2
9 ∴ y = x, 2
2
因为 f ( x ) 为单调函数
3 所以所求曲线为 y = 2x. 2
a
b
例：曲线 y = x ( x − 1)( 2 − x )与 x轴所围图形的面积可表 为： A) − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
0 2
B ) ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
0 1
1
2
C ) − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx + ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
6 曲线 y = x 2 与它两条相互垂直的切线所围成平面图 形的面积 S ，其中一条切线与曲线相切于点 A( a , a 2 ) ， a > 0 ，则当 a = __时，面积 S 最小 . __时
二、求由下列各曲线所围成的图形的面积： 求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1 1、 y = 与直线 y = x 及 x = 2 ； x 2、 y = x 2 与直线 y = x 及 y = 2 x ； 3、 r = 2a ( 2 + cosθ ) ； 4 、 摆线 x = a( t − sin t ) , y = a (1 − cos t ) (0 ≤ t ≤ 2π ) 及 x 轴； 的公共部分； 5、 r = 3 cosθ 及 r = 1 + cosθ 的公共部分； 6、笛卡尔叶形线 x 3 + y 3 + 3axy .
π 2
a
0
= 4ab ∫ sin 2 tdt = πab.
0
π 2
求星形线所围面积， 例3 求星形线所围面积， 它的参数方程为： 它的参数方程为： x = cos 3 t (0 ≤ t ≤ 2π ) 3 y = sin t 2 2
1
x = cos y = sin
3 3
1
t t
1
0
0
= 4∫π sin t ⋅ 3cos t (− sin t )d t = 12∫ sin t(1 − sin t ) d t
3 2
0
2
π
3⋅ 1 5⋅ 3⋅ 1 π 3 π = 12⋅ − ⋅ = 4⋅ 2 6⋅ 4⋅ 2 2 8
2
2 0
4
2
二、极坐标系情形
设由曲线r = ϕ (θ ) 及射线
三、小结
求在直角坐标系下、 求在直角坐标系下、参数方程形式 极坐标系下平面图形的面积. 下、极坐标系下平面图形的面积
（注意恰当的选择积分变量有助于简化 注意恰当的选择积分变量有助于简化 选择积分变量 积分运算） 积分运算）
思考题
设曲线 y = f ( x ) 过原点及点( 2,3) ，且 f ( x ) 为单调函数，并具有连续导数， 为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任 取一点作两坐标轴的平行线， 取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线 与 x 轴和曲线 y = f ( x ) 围成的面积是另一条平 行线 与 y 轴和 曲 线 y = f ( x ) 围 成 的 面积 的两 求曲线方程. 倍，求曲线方程
1
3
1
2
例 2
计算由曲线 y = x 3 − 6 x 和 y = x 2 所围成
的图形的面积. 的图形的面积 y = x3 − 6x 解 两曲线的交点 2
⇒ (0,0), ( −2,4), ( 3,9).
y = x
y = x2
y = x3 −6x
− 选 x 为积分变量 x ∈ [−2, 3] (1) x ∈ [−2, 0], dA1 = ( x 3 − 6 x − x 2 )dx ( 2) x ∈ [0,3], dA2 = ( x 2 − x 3 + 6 x )dx
05 .
y
-. 05 -. 05
dx 0.5
1
直角坐标方程 (x3 + y3 = 1)
1
解 由对称性只需求出 由对称性只需求出(1/4 )面积即可。 面积即可。 面积即可 3 3 dA = ydx = sin t d (cos t )
A = 4 ∫ ydx = 4∫π sin t d cos t
3 3
0 1
1
2
D ) ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx .
0
2
解：交点 x = 0 , x = 1, x = 2 .
A= ∫
1 x ( x − 1)( 2 − 0
x )dx + ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx
2 1
1 2 A = − ∫0 x( x − 1)(2 − x )dx + ∫1 x( x − 1)(2 − x )dx
练习题答案
32 一、1、1； 2、 ； 3、2； 3 1 1 y； e + − 2 ； 6、 . 4、 5、 2 e 3 7 2 二、1、 − ln 2 ； 2、 ； 3、 π a ； 2 6 5 3 2 2 4、 3 π a ； 5、 π ； 6、 a . 2 4 9 e 8 2 三、 . 四、 . 五、 a . 4 2 3
θ + dθ
θ = α 、θ = β 围成一曲边扇 求其面积．这里， 形，求其面积．这里，ϕ (θ ) 上连续， 在[α , β ]上连续，且ϕ (θ ) ≥ 0 ．
θ =β
r = ϕ (θ )
dθ
o 1 θ =α θ 面积元素 dA = [ϕ (θ )]2 dθ 2 β1 曲边扇形的面积 A = ∫ [ϕ (θ )]2 dθ .
0 ≤ θ ≤ 2π 1 2π A = ∫ [r (θ )]2 dθ . 2 0 0 ≤ r ≤ r (θ )
（3）极点在边界外： ）极点在边界外：
r = r1 (θ ) α ≤θ ≤ β θ =β r1 (θ ) ≤ r ≤ r2 (θ ) 1 β 2 2 A = ∫ [r2 (θ ) − r1 (θ )]dθ . o θ =α 2 α
一、直角坐标系情形
y
y = f ( x)
y
y = f2 ( x) y = f1 ( x )
o a x x + ∆x b x 曲边梯形的面积
x ∆x b x o a 曲边梯形的面积
A = ∫a f ( x )dx
b
A = ∫a [ f 2 ( x ) − f1 ( x )]dx
b
A = ∫ f 2 ( x ) − f1 ( x ) dx
1 2 解 dA = a (1 + cosθ )2 dθ 2
利用对称性知
dθ
1 2 π A = 2 ⋅ a ∫ (1 + cos θ ) 2 dθ 2 0 2 π = a ∫ (1 + 2 cos θ + cos 2 θ )dθ 0 π 1 = 3 πa 2 . 2 3 θ + 2 sinθ + sin 2θ =a 2 4 0 2
例 1 计算由两条抛物线 y 2 = x 和 y = x 2 所围成的 图形的面积. 图形的面积
解 两曲线的交点
x = y2
(0,0) (1,1)
选 为积分变量 x ∈ [0,1] 面积元素 dA = ( x − x 2 )dx
y = x2
2 3 x 1 A = ∫0 ( x − x )dx = x 2 − = . 3 0 3 3
于是所求面积
A = A1 + A2 253 0 3 3 2 2 3 . A = ∫− 2 ( x − 6 x − x )dx + ∫0 ( x − x + 6 x )dx =
12
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题： 问题： 积分变量只能选 x 吗？
例 3
x y 的面积. 例 4 求椭圆 2 + 2 = 1的面积 a b x = a cos t 解 椭圆的参数方程 y = b sin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． 由对称性知总面积等于 倍第一象限部分面积． 倍第一象限部分面积
2
2
A = 4 ∫0 ydx = 4 ∫ b sin td ( a cos t )
参数方程
x = ϕ (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y = ψ (t )
曲边梯形的面积
A = ∫ ψ ( t )ϕ ′( t )dt .
t1
t2
对应曲线起点与终点的参数值） （其中t1和t 2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[ t1 , t 2 ]（或[t 2 ,t1 ]）上 x = ϕ (t ) 具有连续导数， （ ） 具有连续导数， 连续. y = ψ (t )连续
练习题
一、填空题： 填空题： 1 、由曲线 y = e x , y = e 及 y 轴所围成平面区域的面积 是______________ . 2 、由曲线 y = 3 − x 2 及直线 y = 2 x 所围成平面区域的 面积是_____ 面积是_____ . 3 、由曲线 y = x 1 − x 2 , y = 1 , x = −1 , x = 1 所围成 平面区域的面积是_______ 平面区域的面积是_______ . 所围的区域面积时， 4、计算 y 2 = 2 x 与 y = x − 4 所围的区域面积时，选用 ____作变量较为简捷 ____作变量较为简捷 . 5、由曲线 y = e x , y = e − x 与直线 x = 1 所围成平面区 域的面积是_________ 域的面积是_________ .