变化过程中， 每两个零点曲线封闭一次.
18
故有 0 2 或 2 2 3 ，
进而得 0 或 3 ，
2
2
由于周期性的变化,你会发现封闭图形将重
复出现在第一、三象限,且图形关于原点对
称，又关于 y x (即 ) 对称，因为
12 3 1 5 3 1
3
0
42 642 2 8
例4 用微元法推导由极坐标给出的曲线C：
r r( ) ( ) 所围的面积,并求心脏
线r a(1 cos ), (a 0) 所围图形的面积.

用微元法先推导—
亦即
b
b
a f ( x)dx a dF ( x)
3
第二个问题：用定积分解决问题的关键 ——在找出整体量的微元：d F( x).
微元法解决问题的步骤
1. 写出实际问题整体改变量的微元表达式：
d F( x) f ( x)dx (通常f ( x) F( x))
2. 用定积分求出整体改变量：
10
例 2 再求由
y 1x和 2
y2 8 x
所围图形的 面积.(如图)
2 (8, 0) 4
11
解 dA f ( y) g( y)dx [(8 y2 ) 2 y]dy
A 2 [8 y2 2 y]dy 4
那 种
8 y 1 y3 y2 2
用定积分解决实际问题，应先明确 两个问题：
第一，定积分能解决哪类问题？(共性) 第二，用定积分解决这类问题方法的关
键是什么？
1
一、微元法
第一个问题：用定积分所解决问题的共性： 1. 都是求在[a,b]非均匀分布的一个整体量，
如：面积、体积、曲线弧长；作功、引 力、总成本、总利润等等；
2. 这个在[a,b]上分布的整体量等于其所有
d
极坐标系下求面积
d
的表达式
dA
r( )
r r( )
o
r
dA 1 (弧长) (半径) 1 [r( )d ] r( )
2
2
A dA 1 r 2( )d

2
解 心脏线的对称 性是明显的，因
此
2
1
y 2(1 cos )
例5 求双纽线： 2 4sin2 所围封闭
图形的面积。
17
解 (当你不会作封闭曲线的图形时，如何通过
分析求出面积？)
分析
使用公式：A

1
dA
r 2( )d

2
解这个问题的难点在确定积分限。注意到
4sin2 2 0, 又是周期函数,对于X 2 ,
4
19
s in 2(

)


sin(

2
)

cos 2
,
4
2
因此只要在0 至 上积分,就得到 1 面积，
4
4
全面积
A 4

4
1 2d
02


2 4 4sin2 d 0
4cos 2
4 0
4
见图
20
所围图形的
面积.(如图)
dA1
4
dA2
思考:求面积前需要做那些准备工作?
6
解 从图中可以明显看出所求面积分为两部
分: R1和R2 ,两块面积的微元分别为：
dA1


f
(
x)

g(
x)dx

[1 2
x

(
8 x )]dx
dA2 f ( x) g( x)dx [ 8 x ( 8 x )]dx
b
b
F (b) F (a) a dF( x) a f ( x)dx.
4
二、定积分的几何应用
1. 平面图形的面积（Area）
用微元法求面积
d A f (x) g( x)dx
b
A a d A

b
a

f
(
x)

g(
x)dx
5
例 1 求由 y 1x和
2 y2 8 x 8
方 法
3
4
好
16 8 4 32 64 16
3
3
36
？
12
1
例3

求星形线所围面积，

x y

cos3 sin3
t t
0.5
它的参数方程为：
y
x cos3 t

y

sin3
t
-1
(0 t 2 )
-0.5
dx 0.5
-0.5
1
7
A
41 [ x
8 x ]dx
8
2
8 xdx
8 2
4


1 4
x2

2 (8 3
3
x)2
4
8
2
2 (8 3
3
x)2
8 4
4 16 16 128 4 0 8 36
3
3 3
8
用微元法求面积
1
2
3
4
-1
-2
16
A 2 1 r 2( )d a2 (1 cos )2d
20
0
a2 (2cos2 )2d 令t / 2
0
2
4a2 2 / 2 cos 4td t 8a2 3 1 3 a2
0
42 2 2
2
子区间局部量的总和(可和)，具体地讲：

n
记作 n
[ xk1 , xk ]F ( x)
kF(x)
k 1
k 1
因 k F ( x) F ( x)xk o(xk )
f ( x)dx d F( x) 设F(x)可微
2
2
直角坐标方程 ( x 3 y 3 1)
-1
13
解 由对称性只需求出(1/4 )面积即可。
dA ydx sin3 t d(cos 3 t)
A 4
1 0
ydx
4
0

sin3
t
d
cos3
t
2

4
0
sin3
t
3cos2
t
( sint)d t
12

2
2 sin4 t(1 sin2 t)d t
d A f ( y) g( y)dy
d
dA
A c d A

d
c

f
(
y)

g(
y)dy
求面积前需要做的准备工作有:
9
(1) 最好能作出草图,弄清边界曲线的方程; (2) 根据所选方法确定积分变量及总量微元; (3) 确定积分区间,为此常需要求出边界曲线
交点的坐标. (如图)