概率统计第3章答案P {X=0, 丫=2 }= c ；c ；c 41 35P {X=1, Y=1 }=c 3c 2c fc 435第三章作业一1. 将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以丫表示三次中出现正面次数 与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和 丫的联合分布律.【解】X 和丫的联合分布律如表:2. 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球, 在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数， 以丫表示取到白球的只数，求 X 丫的联合分布 律。
X 丫）的可能取值为（i , j ），i =0，1, 2, 3, j =0, 12, i + j >2,联合分布律为123丫0 0 03 35 2 35 16 35 12 35 2 352 1 35_6_ 353 35班级 学号： 姓名：P {X=1, Y=2 }= C 3C 2C26 C4 _35P{ X=2, 2 2Y=)}= c,= 3 P {X=2, 2 1 1Y=| }= C 3C 2C212C ； _35P{ X=2, 2 2Y=2 }= C 3C2 -3 C； 35P {X=3, 3 1丫=)}= CCC 2= iP {X=3, 31Y=| }=C 3C22C ； 35P {X=3, Y=2 }=03. 设随机变量（X Y ）的分布密度求：(1) 常数A ;(2) 随机变量(X, Y )的分布函数; (3) P {0 < X <1, 0< Y <2}.【解】(1 )由—f(x, y)dxdy=：0：0「Ae-(3x"y)dxdy =£ = 1得 A =12(2)由定义，有y xF (x, y)f(u,v)dudv*rr(x, y )=屁少杓）0,x 0,y 0,其他.【解】（1）因X 在（0， 所以X 的密度函数为〔丄 f x （x ）二 0.2' 0,题6图0.2 ）上服从均匀分0 ： x ：0.2,f()』5e%y>0,Yy0, 其他.； y y0 012e® 4v)dudv(i_e&(1-e ，y) y 0,x ■ 0, =0,= 0， 其他(3) P{0 _X ：：：1,0 _Y ::: 2}二 P{0 :： X 叮,0 ：： Y < 2}1 2=J o [ 12e4F y)dxdy = (1—e 」)(1 — e»)壯 0.9499.X 在上服从均匀分布，丫的密度函数为 f Y （ y ）=4.设X 和丫是两个相互独立的随机变量，（0, 0.2）求：(1 )5e 亠，y 0, 0, 其他.X 与丫的联合分布密度；（2）所以f (x, y)X，丫独立f x (x)Llf Y (y)1一5e5y25e'y, Q ：. x 0.2且y 0,=《02 =20, 0,其他.(2) P(丫乞X)二f(x, y)dxdy如图25e“y dxdyy兰D0.2 x 5y0.2 5x=J0 dxj0 25e y dy =[0 (-5e +5)dx=e-10.3679.第三章作业二1. 袋中有五个号码1, 2, 3, 4, 5,从中任取 三个，记这三个号码中最小的号码为 X ,最 大的号码为Y（1） 求X 与丫的联合概率分布； （2） X 与丫是否相互独立？【解】（1） X 与丫的联合分布律如下表二345P{X =幼1 1 13' =C 5 10 2 2_ 3 =C 5 10 33 _ 3 =C 5106 10 2 0 1 1于五2 2 31031 12 —C 5 10110P {Y *}丄102 10_6_ 10(2)因 p{X =1}L p {^3^160 ★盘=”P{X=1,Y=3}, 故X 与丫不独立2. 设二维随机变量（X, 丫）的概率密度为(X, y )七,(1)试确定常数C ； 求边缘概率密度.【解】（1）f'bOf'bOf (x, y)dxdy 如图卩 f(x, y)dxdy!r jnJP% IfJH J"1!, - !r ITD1 124= f 1dxf x 2cx ydy祐 c =1.21(x, y)dy121 20,fY(八；",朋ff -oOf x (X)二21x 2(1 — x 4), ^<x<1, =80,其他.y21 2 =-V4xydx0，757y 2,0,Q< y <1,其他.3.设X 和丫是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，丫的概率密度为f v （y ）=汁 y>0，io, 其他.（1） 求x 和丫的联合概率密度； （2） 设含有a 的二次方程为a 2+2XaY =0, 试求a 有实根的概率.-y/2f(x, y)X,Y 独立 f x (x)Lf Y (y)二 2I0,题14图⑵ 方程a 22Xa Y =0有实根的条件是.==(2X)2-4Y _0X 2> Y ,从而方程有实根的概率为:P{ X 2_ Y} = f (x, y)dxdyx 2_y1x 21 =dx0 2e=1 -，書少⑴-："。
)]= 0.1445.4. 设随机变量（X Y ）的概率密度为【解】（1）因fx（x ）1, 0 ： x ：： 1, 0,其他；fY(y) == 2y丄"2, y 1,0, 其他.f (x , y )=1, |y c x,0v x v 1,其他.0 . x ：： 1, y0,其他x 2"2dy求条件概率密度(y I x),f x i (X I y)［解］f x(x) = y)dy所以Y| X题11图I i 1dy = 2x, 0 x 1, 0, 其他.■befY(y r .；f(x,y)dx 二"1f 1dx = 1 +y,-y1［1dx=1 _y,L y0,_1 ：：y ：： 0,o _y ：： 1,其他.r 1 f Y|X(y|x)卅？| y| ：：x ：1,其他.f xY (x| y)f(x, y)f y(y)11 - y11 y0,y ■x ：： 1,_ y ：：x ：： 1,其他.P{Y =3|X0}P{Y =3,X =0} P{X =0}第三章作业三1. 设随机变量（X, Y ）的分布律为1 2345(1)求 P { X =2 | Y =2}, P { Y =3 | X =0}；(2) 求V =max( X , Y )的分布律； (3) 求U =min (X , Y )的分布律； (4)求V=X +Y 的分布律.【解】(1 ) P{X =2|Y =2}=竺空级P{Y =2}P{X =2,Y =2}""57 P{X 二 i,Y =2}i =00.05 1 0.252P{X =0,Y =3} 二 ~3、P{X =0,丫二 j}j =0⑵ P{V =i} =P{max( X,Y) = i}P{X =i,Y<i} + P{X Mi,Y =i}i 1i7 P{X =i,Y =k} ' p{x =k,Y =i},k =0k=0i =0,123,4,5(3) P{U =i} =P{min( X,Y) =i}二 P{X 二i,Y _i} P{X i,Y =i}35八 P{X 二 i,丫二 k} ' P{X 二 k,丫二 i}k ±k 4 1i =0,123,于是 (4) 类似上述过程，有0.01 0.03V=X +Y012345678P 0 0.0 0.0 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.0263949252. 设人丫是相互独立的随机变量，它们都服从 参数为n, p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参 数为2n , p 的二项分布.【证明】方法一：X +Y 可能取值为0, 1, 2,…, 2n .kP{X 丫 =k}=為 P{X =i,Y =k —i}i=@Y = 1 1 + 1 2 +…+ 1 n ,X +Y = 1 1+ 1 2 +…+k工嘉 P(X =i)l_P{Y =k -i}i £ k=zi £ k=11n jk —i k _L n _k : ；i p qi ：£ Q八_ ‘2n 、 <k」k -ik 2n -kp qk 2n -kp q[1 1,卩2, •…卩n ; ,1 n ‘均服从两p ),X = 1 1+ 1 2 +…+所以，X+丫服从参数为（2n, p）的二项分3.雷达的圆形屏幕半径为R设目标出现点（X, 丫）在屏幕上服从均匀分布.(1)求P{Y> 0 | 丫> X};(2)设M=max{X, 丫}，求P{M> 0}.题20图【解】因（X 丫）的联合概率密度为..f(x,y)d二..f(x,y)d匚n R 1d 2rdr0 2TR3/8 31/2 4’f (x, y)二T R2'o, 其他.x2y^R2,(1) P{Y 0|Y X H P{Y 0，Y X}P{Y X}TT/40TT/407rdr(2) P{M . 0} =P{max( X,Y) . 0} * 一P{max( X,Y)乞0}1 3=1 —P{X 乞0,Y 乞0} =1 - f(x,y)d二=1 一-4.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（ 160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为X（i =1,2,3,4），则X 〜N （160, 202），从而P{min( X1,X2,X3,X4)_180}X i之间独立P{X^ 1801JP{X^ 180}P{X3_180}L P{X4 -180}二[1 _P{X j < 180}] l[1 -P{X2：：180}] _[1 -P{X3：：180}]」1 -P{X4 ::: 180}]180 -160 ] I.20=[1 -门⑴]4=(0.158)4=0.00063.班级________________________ 学号：________________________________ 姓名： _____________________。