XY0XY0反比例函数一、经典内容解析 1.反比例函数的概念(1) (k ≠0)可以写成(k ≠0)的形式，注意自变量x 的指数为-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k ≠0这一限制条件；(2) (k ≠0)也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式；(3) 反比例函数的自变量x ≠0，故函数图象与x 轴、y 轴无交点.解析式xky =（k 为常数，且0k ≠） 自变量取值范围 0≠x 的实数图 象图象的性质双曲线0k >0k <示意图位置两个分支分别位于 一、三象限两个分支分别位于 二、四象限 变化趋势在每个象限内，y 随x的增大而减小在每个象限内，y 随x的增大而增大对称性是轴对称图形，直线x y ±=是它的两条对称轴是中心对称图形，对称中心为坐标原点3.函数解析式正比例函数 y=kx (k≠0)反比例函数(k≠0)自变量的取值范围全体实数x≠0图象直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点图象位置 (性质)当k＞0时，图象经过一、三象限；当k＜0时，图象经过二、四象限.当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；当k＜0时，图象的两支分别位于二、四象限.性质(1) 当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小. (2)越大，图象越靠近y轴.(1) 当k＞0时，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大. (2) 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直.注：(1) 双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.(2) 正比例函数与反比例函数，当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.(3) 反比例函数与一次函数的联系.4.反比例函数中比例系数k的几何意义(1)过双曲线(k ≠0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为.(2)过双曲线(k ≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为二、典型例题分析1.反比例函数定义【例1】如果函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k 的值是多少1.反比例函数xy 2-=的图像位于（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限 2.若双曲线y ＝－6x经过点A （m ，－2m ），则m 的值为（ ）A. 3B. 3C. ± 3D. ±33.已知某反比例函数的图象经过点（m ，n ），则它一定也经过点（ ）A. （m ，－n ）B. （n ，m ）C. （－m ，n ）D. （︱m ︱，︱n ︱）4．（2007陕西）在ABC △的三个顶点(23)(45)(32)A B C ----，，，，，中，可能在反比例函数(0)ky k x=>的图象上的点是 ． 5.若点P （4，m ）关于y 轴对称的点在反比例函y= （x≠0）的图象上，则m 的值是2.反比例函数的表示【例2】已知21y y y +=，x y 与1成正比例，22x y 与成反比例，且间的函数解析式与，求的值都是时，时和x y y x x 1932==1.若y 与x 成反比例，x 与z 成正比例，则y 是z 的（ ）A 、正比例函数B 、反比例函数C 、一次函数D 、不能确定2．已知y 与)2(-x 成反比例关系，且当1=x 时，4=y ， 则y 关于x 的函数解析式为3．已知y 1与x 成正比例（比例系数为k 1），y 2与x 成反比例（比例系数为k 2），若函数12y y y =+ 的图象经过点（1，2），（2，21），则1285k k += ． 3.反比例函数的增减性问题.【例3】在反比例函数xy 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。

若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）A ．213y y y >>B ．123y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >>1．在反比例函数图象上有两点A(，)，B()，当时，有，则m 的取值范围是( ).A ．m ＜0B ．m ＞0C ．m ＜D ．m ＞ 2：已知反比例函数的图象上两点A(，)，B(，)，当时，有，则m 的取值范围是_________.3：若反比例函数上，有三点A(，)，B(，)，C(，)，且，则，，的大小关系是________.4.设有反比例函数y k x=+1，(,)x y 11、(,)x y 22为其图象上的两点，若x x 120<<时，y y 12>，则k 的取值范围是___________4.反比例函数与图象的面积问题. (1)求函数解析式1．如图，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形 PEOF 的面积为3.求这个反函数的解析式.2.（2007山东枣庄）反比例函数xky的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则k 的值为（ ） (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4(2)求图形面积的问题1.图中正比例函数和反比例函数的图象相交于A 、B 两点，分别以A 、B 两点为圆心，画与y 轴相切的两个圆，若点 A 的坐标为(1，2)，求图中两个阴影面积的和.(3)求特殊点组成图形的面积1．如图，反比例函数y=与一次函数y=-x+2的图象相交于A 、B 两点.(1)求A 、B 两点的坐标； (2)求△AOB 的面积.CBA (第2题图)yxO 5.k 的几何意义及应用1．点P 为反比例函数图象上一点，如图，若阴影部分的面积是12个 （平方单位），则解析式为 2．如图，反比例函数xy 5=的图象与直线)0(>=k kx y 相交于A 、B 两点，AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，则△ABC 的面积等于 个面积单位. 3．如图，已知双曲线xky =(x ＞0)经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k ＝______________。

6.反比例函数和一次函数的综合 例1．函数y=与 y=mx-m(m ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )1. 已知反比例函数y ＝kx（k ≠0），当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，那么一次函数y ＝kx －k 的图象经过（ ）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限2. 已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y ＝kb xAB CEOFxy (第3题图)的图象在（ ）A. 第一、二象限B. 第三、四象限C. 第一、三象限D. 第二、四象限3．在同一坐标系中，函数x ky =和3+=kx y 的图像大致是 （ ）A B C D4.（2007浙江宁波）如图，是一次函数y=kx+b 与反比例函数y=2x 的图像，则关于x 的方程kx+b=2x的解为( ) (A)x l =1，x 2=2 (B)x l =-2，x 2=-1 (C)x l =1，x 2=-2 (D)x l =2，x 2=-15. 已知反比例函数y ＝kx（k ≠0），当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，那么一次函数y ＝kx －k 的图象经过（ ）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限6.（2007湖北潜江）如图，反比例函数xy 5=的图象与直线)0(>=k kx y 相交于B 两点，AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，则△ABC 的面积等于 个面积单位.例2．如图，已知A(-4，2)、B(n ，-4)是一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数的图象的两个交点.(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围.解：(1) ∵点A(-4，2)和点B(n，-4)都在反比例函数y=的图象上，∴解得又由点A(-4，2)和点B(2，-4)都在一次函数y=kx+b的图象上，∴解得∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为y=-x-2.(2) x的取值范围是x＞2或-4＜x＜0 .例3．直线y=k1x+b与双曲线y=只有—个交点A(1，2)，且与x轴、y轴分别交于B，C 两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线、双曲线的解析式.解：∵点A(1，2)在上∴，∴∴双曲线的解析式为∵AD垂直平分OB，∴OD=1，OB=2∴B(2，0)∵A(1，2)，B(2，0)在直线上∴解得∴直线解析式为.例4．如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4.(1)求k的值；(2)若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；解：(1)∵点A横坐标为4，∴当= 4时，=2.∴点A的坐标为(4，2).∵点A是直线与双曲线的交点，∴ k=4×2=8.(2)解法一：如图，∵点C在双曲线上，当=8时，=1∴点C的坐标为(1，8).过点A、C分别做轴、轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON .S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4.S△AOC=S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15.解法二：如图，过点C、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，∵点C在双曲线上，当= 8时，=1.∴ 点C 的坐标为(1，8).∵ 点C 、A 都在双曲线上，∴ S △COE = S △AOF =4. ∴ S △COE +S 梯形CEFA =S △COA +S △AOF . ∴ S △COA =S 梯形CEFA .∵ S 梯形CEFA =×(2+8)×3=15，∴ S △COA =15.7.反比例函数图象上、下平移；关于坐标轴对称；关于坐标原点中心对称；绕原点顺（逆）时针旋转90︒后的解析式1．如图，一次函数y x b =+与反比例函数ky x=的图象相交于A 、B 两点，若已知一个交点为A （2，1），则另一个交点B 的坐标为（ ） A. （2，－1） B.（－2，－1） C. （－1，－2） D. （1，2）2．反比例函数的图象经过点)32,3(-M ，将其图象向上平移2个单位后，得到的图象所对应的函数解析式为 3．若将反比例函数xky =的图象绕原点O 逆时针旋转90︒后经过点A （-2，3），则反比例函数的解析式为：8.反比例函数与一次函数、方程、不等式的综合问题1．已知k 1＜0＜k 2，则函数y ＝k 1x 和2k y x=的图象大致是（ ）．2．如图，已知直线1y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，x yyy yxx xA B C DyDC B与双曲线2ky x=（x <0）分别交于点C 、D ，且点C 的坐标为（-1，2）． ⑴ 分别求出直线及双曲线的解析式； ⑵ 求出点D 的坐标；⑶ 利用图象直接写出当x 在什么范围内取值时，12y y >．9.求双曲线与直线交点问题；数形结合等思想方法的应用 1．反比例函数中y =5x-，当x <2时，y 的取值范围是 ；当y ≥-1时，x 的取值范围是 . 2．一次函数y =kx+b 与反比例函数y =2x的图象如图，则关于x 的 方程kx+b =2x的解为( ) (A) x l =1，x 2=2 (B) x l =-2，x 2=-1(C) x l =1，x 2=-2 (D) x l =2，x 2=-13．如图，利用函数图象解不等式xx 1<， 则不等式的解集为 4．不解方程，利用函数的图象判断方程02=-x x的 解的个数为 5．如图，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值； （2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8， 求AOC △的面积；OxAyB（第26题图）（第27题图）（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P Q 、 两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q 、、、为顶点组 成的四边形面积为24，求点P 的坐标．10．反比例函数中的综合问题及探究性问题 1．将x 132=代入反比例函数1y x =-中，所得函数值记为y 1，将1y 的值代入11x y =+中，得到x 2的值；并将x 2的值再次代入函数1y x=-中，所得函数值记为y 2，再将y 2的值代入21x y =+中得到x 3 ，并再次将x 3代入函数1y x=-中，所得函数值记为y 3，…，如此继续下去． ⑴完成下表.y 1 y 2y 3y 4y 523-⑵观察上表，你发现了什么规律猜想y 2007= ．2．如图，已知点A 在反比例函数的图象上，B x AB 轴于点⊥，点C （0，1），且ABC ∆的面积是3，求反比例函数的解析式.3．已知点A 0),,(>ab b a 且，AM ⊥y 轴于点M ，点N ),0(c 在x 轴上，AMN ∆的面积是3个平方单位，探究点A 在怎样的函数图象上运动，并求出这个函数的解析式.（通过举例实践、探究、认知）4．如图，正方形ABCD 的边长是2，E 、F 分别在BC 、CD 两边上，（第3题图）（第2题图）且E 、F 与BC 、CD 两边的端点不重合，AEF ∆的面积是1， 设BE=x ，DF=y ，求y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围.5．已知点),2(a 在反比例函数xy 6=)0(>x 的图象上．点B 是 点A ),2(a 关于直线x y =的对称点， （1）求点A 、B 的坐标；（2）光线由点A 发出，照射到x 轴上的点C , 若反射光线恰好经过点B ，求点C 的坐标.6．如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 在函数k y x =(k ＞0，x ＞0)的图象上，点P (m ，n )是函数ky x=(k ＞0，x ＞0)的图象上任意一点，过P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为E 、F ，设矩形OEPF 在正方形OABC 以外的部分的面积为S .⑴ 求B 点坐标和k 的值；⑵ 当92S =时，求点P 的坐标；⑶ 写出S 关于m 的函数关系式.7．已知正比例函数kx y =)0(>k 和反比例函数xny =的图象交于点),(b a A ，点B 在正比例函数kx y =的图象上，点C 在反比例函数xny =的图象上，且B 、C 两点的纵坐标都是k ，（本题中所有的k 都表示同一个量）设BC 的长记作S ， （1）当k =2，a =3时，求反比例函数的解析式；（2）求S 关于a 的函数解析式及a 的取值范围，并说明S 与k无关.第5题图xy OC BA第6题图三、解答1．已知一次函数y=kx+b 的图象与双曲线y=-2x交于点（1，m ），且过点（0，1），•求此一次函数的解析式．2．如图，一次函数b kx y +=的图像与反比例函数xmy =的图像相交于A 、B 两点， （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围。