一元二次方程公共根问题
若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，
两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：
（1） 设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；
（2） 用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；
（3） 把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之
间的关系式．
例1 （2006年广西桂林模拟探究）已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根，
（1） 求k 的取值范围．
（2） 如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相
同的根，求此时m 的值．
解析：（1）∵一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根
∴△=16-4k ＞0，∴k ＜4
（2）当k =3时，解x 2-4x +3=0得x 1=3，x 2=1
当x =3时，32+m ·3-1=0，m =-3
8 当x =1时，12+m ·1-1=0，m =0
例2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值 解：设两个方程的公共根为α，则有α2+α+a =0 ①
α2+a α-1=0 ②
①-②得（1-a ）α+a -1=0，即（1-a ）（α-1）=0
因为只有一个公共根，所以a ≠1，所以α=1
把α=1代入x 2+x +a =0得12+1+a =0，a =-2
例3 已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有没有公共根，请说明理由．
分析：判断两个方程是否有公共解，常假设有公共根，代入两个方程整理，求出这个解，再检验，如有矛盾方程的公共根不存在．
解：不妨设关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有公共根，设有x 0，则
有⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-0
)(0)(020020b a abx x ab x b a x 整理，可得（x 0+1）（a +b -ab ）=0 ∵a ＞2，b ＞2，∴a +b ≠ab ，∴x 0=-1
把x 0=-1代入①得，1+a +b +ab =0这是不可能的
所以，关于x 的两个方程没有公共根． ① ②。