一兀一次方程的有理根总结求一兀二次方程的有理根、 判别式为完全平方数来整数根问题常与一兀二次方程根的判别式发生联系，也就是说，常常利用根的数k 的值。
元二次方程的公共根与整数根一、 公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程 (两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根. 二、 整数根问题对于一元二次方程 ax 2bx c 0 (a 0)的实根情况，可以用判别式b 24ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分 析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质.求有整数根的二次方程中，参数问题，要根据方程的结构特 点，设法将二次方程转化为两个一次式，再根据整数根确定其解。
其转化途径：或直接分解因式；或利用根 与系数的关系；或利用求根公式。
1、 如果X?m 1 x 1是完全平方式，求m的值2、若＜ a 2005是整数，求所有满足条件的正整数a的值3、 关于x , y 的方程 x 2 xy 2y 2 29有整数解, 求满足条件的x,y 的值4、 设k 为整数，且k 0，方程kx有有理根,求k 的值。
5、 当q是什么实数时, 对于任意有理数p，方程2x 2p 1 x 3p 2 4p q 0有有理根?6、已知关于x 的方程 a 1 x 2 2x的根都是整数，那么符合条件的整数个。
7、已知a 是正整数, 2且使得关于 X 方程ax2a 1 x 4 a3 0至少有一个整数根。
求 a的值。
试确定一切有理数 r ，使得关于 x的方程rxr 2 x 3r2 0有根且只有整数根。
9、 试确定一切有理数 r ，使得关于 x 的方程rx2+ (r+2 ) x+r-1=0 有根且只有整数根.10、 已知p为质数，使一元二次方程x 2 2pxp 2 5p 1的两根都是整数，求出 P 的所有可能值。
11、 2已知p q 198，求方程xpx 0的整数根。
12、 设关于x 的二次方程6k8x 22 22k 26k 4x k 2 4的两根都是整数。
求满足条件的所有实13、已知关于x的方程x?12 m x m1 0的两个根都是正整数，求m的值。
求二次方程的整数根常用的数学思想方法是分类讨论，但在运用时，要具体问题具体分析。
方程有整数根的条件：如果一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴ b2 4ac为完全平方数；⑵ b - b2—4ac 2ak 或 b - b2—4ac 2ak，其中 k 为整数.以上两个条件必须同时满足，缺一不可.另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围.例题一、一元二次方程的公共根例1求k的值，使得一兀二次方程x kx 1 0, 2 x x (k 2) 0有相冋的根，并求两个方程的根.例2设a, b, c为ABC的三边，且二二次三项式2x2ax b2与 x22cx b2有一次公因式，证明：ABC 一定是直角三角形.例3三个二次方程2ax bx c 02,bx cx a0 ,' 2cx ax b 0有公共根.⑴求证：a b c 0;3 3 3⑵求a__b__匚的值.abc例4试求满足方程x2 kx 7 0与x2 6x (k 1) 0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根.例5二次项系数不相等的两个二次方程(a 1)x2 (a2 2)x (a2 2a) 0和b a(b 1)x2 (b2 2)x (b2 2 b) 0(其中a , b为正整数)有一个公共根，求a b b a的值.a b二、一元二次方程的整数根例6: k为什么实数时，关于x的方程(6 k)(9 k)x2(117 15k)x 54 0的解都是整数？例7:若关于x的方程 6 k 9 k x2117 15k x 54 0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有_______ 个.例8:已知a是正整数，如果关于 x的方程x3 (a 17)x2 (38 a)x 56 0的根都是整数，求 a的值及方程的整数根.练习1、若k为正整数，且关于 k的方程(k21)x26(3k 1)x 72 0有两个相异正整数根，求 k的值.练/2、关于x的二次方程(k2 6k 8)x2(2k2 6k 4)x k24的两根都是整数.求满足条件的所有实数k 的值.练/3、当m为何整数时，方程2x2 5mx 2m2 5有整数解.2欢迎下载练习/4已知关于x的方程4x28nx 3n 2和x2(n 3)x 2n2 2 0，是否存在这样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由.练习/5求所有有理数r，使得方程rx2 (r 1)x (r 1) 0的所有根是整数._ 2练习6/已知关于x的方程x (a 6)x a 0的两根都是整数，求 a的值.练习7、已知k为常数，关于x的一元二次方程(k2 2k) x2 (4 6k)x 8 0的解都是整数，求 k的值.练/8、已知p为质数，二次方程x2 2px p2 5p 1 0的两根都是整数，请求出p的所有可能的值.练/9已知12 m 40，且关于x的二次方程x2 2(m 1)x m2 0有两个整数根，求整数m .练习10、若一直角三角形两直角边的长，a、b (a b)均为整数，且满足.试求这个直角三ab 4m角形的三边长.练习11、关于x的方程ax2 2(a 3)x (a 2) 0至少有一个整数解，且a是整数，求a的/1 .练习12、已知方程ax23a28a x 2a213a 15 0 ( a是非负整数)至少有一个整数根，那么a _________ .练/13、当m是什么整数时，关于x的兀二次方程 mx 4x 4 0与x2 24mx 4m 4m 5 0的根都是整数.练/14、设m为整数，且4 m 40,方程 x 2 2m 3 x 4m 14m 8 0有两个整数根, 求m的值及方程的根.练/15、当m为何整数时，方程2x2 5mx 2m2 5有整数解.练/16、已知方程ax23a28a x 2a213a 15 0 ( a是非负整数)至少有一个整数根，那么a _________练/17、若关于x的方程6 k 9 k x2117 15k x 54 0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有_______ 个./18设方程mx2 (m 2)x (m 3) 0有整数解，试确定整数 m的值，并求出这时方程所有的整数解.19已知a是正整数，且使得关于 x的一元二次方程 ax2 2(2a 1)x 4(a 3) 0至少有一个整数根，求 a的值.20已知关于x的方程a2x2 (3a2 8a)x 2a2 13a 15 0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值.21已知b , c为整数，方程5x2 bx c 0的两根都大于1且小于0 ,求b和c的值.2 122已知a , b都是正整数，试问关于x的方程x abx -(a b) 0是否有两个整数解？如果有，请求出来;如果没有，请给出证明.23已知方程x bx c 0及x cx b 0分别各有两个整数根为，x?及捲，x?，且XM 0 , x^ 0 .⑴求证：x 0,冷 0 , x10 , x20 ；⑵求证：b 1 < c < b 1 ;⑶求b, c所有可能的值.24设p q是两个奇整数，试证方程x2 2 px 2q 0不可能有有理根.25试证不论n是什么整数，方程x2 16nx 7s 0没有整数解，方程中的 s是任何正的奇数.26求方程a3b ab3 2a2 2b2 4 0的所有整数解.27已知a为整数，关于x, y的方程组x‘丫2)x3的所有解均为整数解，求a的值.xy (a2 1)x 2a3 228求方程2x y2-的所有正整数解.x xy y 729求所有的整数对（x, y），使 x3 x2y xy2 y3 4x2 4xy 4y2 47 .30设m是不为零的整数，关于 x的二次方程mx2 (m 1)x 1 0有有理根，求 m的值.31当m是什么整数时，关于x的一兀二次方程mx2 4x 4 0与x2 4mx 4m2 4m 5 0的根都是整数.32 a 是正整数，关于 x 的方程x 3 (a 17)x 2(38 a)x 56 0的根都是整数，求 a 的值及方程的整数根.33已知a, b 是实数，关于x, y 的方程组bx有整数解(x, y)，求a, b 满足的关系式.39方程(x a)(x 8) 1 0有两个整数根，求 a 的值.40求所有的正整数a , b , c 使得关于x 的方程x 23ax 2b 0,x 23bx 2c 0, x 23cx 2a 0的所有的根都是正整数.41 n 为正整数，方程 x 2(73 1)x 爲n 6 0有一个整数根，则 n _____________________42求出所有正整数a ,使方程ax 22(2a 1)x 4(a 3) 0至少有一个整数根.x 的方程x 2(m 1)x m 10的两根都是整数?48设方程mx 2(m 2)x (m 3)0有整数解，试确定整数43已知方程(a 21)x 22(5a 1)x 24 0有两个不等的负整数根，则整数a 的值是44不解方程，证明方程2x 1997x 1997 0无整数根45已知方程x 21999x a0有两个质数根，则常数46已知方程x 2mx m 1 0有两个不相等的正整数根，求m 的值.32y x ax y ax b34已知p 为质数，使二次方程 x 2 2 px p 2 5p 1 0的两根都是整数，求出所有可能的p 的值.35设关于x 的二次方程 的值.2(k 26k 8)x2 (2 k6k36 b 为何值时，方程 x 2bx 2 0和x2x b(b24)x k 4的两根都是整数，求满足条件的所有实数 k1) 0有相同的整数根？并且求出它们的整数根？ 37已知关于x 的方程(a 1)x 2 2x a 10的根都是整数，那么符合条件的整数个.38求所有正实数a ,使得方程x 2ax 4a 0仅有整数根.47当m 是什么整数时，关于 m 的值，并求出这时方程所有的整数解.49已知a是正整数，如果关于 x的方程x3 整数根．2a 17 x238 a x 56 0 的根都是整数，求50若k为正整数，且关于k的方程k21 x2 6 3k 1 x 72 0 有两个相异正整数根，求51设a为质数，b , c为正整数，且满足29 2a 2b c 509 4a 1022b 511c 求 a b c 的值bc2a 的值及方程的k 的值．欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。