而相应的线性方程组 ( E A)X 0 的非零解也就
称为A的属于这个特征值的特征向量.
2. 求特征值与特征向量的一般步骤 i) 在V中任取一组基 1 , 2 ,, n ,写出 在这组基下
的矩阵A .
ii) 求A的特征多项式 E A 在P上的全部根它们 就是 的全部特征值.
就是 的属于 0的一个
特征向量.
1. 特征多项式的定义
设 A P nn , 是一个文字，矩阵 E A 称为
A的特征矩阵，它的行列式
a a ... a
E A
a
11


12
a
...

21
22
... ...
1n
a 2n
fA( )
a a ... a
iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组
( E A)X 0
并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值
的全部线性无关的特征向量在基 1 , 2 ,,下n 的坐标.)
如果特征值 0 对应方程组的基础解系为：
(c11,c12 ,,c1n ),(c21,c22 ,,c2n ),,(cr1,cr 2 ,,crn )
从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当 的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵?
一、特征值与特征向量
定义：设 是数域P上线性空间V的一个线性变换，
若对于P中的一个数 0 , 存在一个V的非零向量 ,
使得
( ) 0 ,
则称 0为 的一个特征值，称 为 的属于特征值
A


2 2
1 2
2 1

,
求 特征值与特征向量.
解：A的特征多项式
1 2 2 E A 2 1 2 ( 1)2( 5)
2 2 1
故 的特征值为： 1 1（二重）, 2 5
把 1 代入齐次方程组 ( E A)X 0, 得

2 2
x 1
x 1

2x 2
2x 2

2x 3
2x 3

0 0

2
x 1

2x 2

2x 3

0
即 x x x 0
1
2
3
它的一个基础解系为：(1,0,1), (0,1,1)
因此，属于1 的两个线性无关的特征向量为
1 1 3, 2 2 3
§1 线性变换的定义 §6 线性变换的值域与核
§2 线性变换的运算 §7 不变子空间
§3 线性变换的矩阵 §8 若当标准形简介
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式
§5 对角矩阵
小结与习题
一、 特征值与特征向量 二、 特征值与特征向量的求法 三、 特征子空间 四、 特征多项式的有关性质
引入
有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性 变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质， 希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.
于是
A
x0n


0

x0n

,
x01
从而
( E 0

A)
x0n


0.
即

x01 x0n

是线性方程组
(0 E

A) X

0 的解，
x01
又
0,


x0n


0,
从而 (0E A)X 0 有非零解. 所以它的系数行列式 0E A 0.
0 的特征向量.
注：① 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持
相同 (0 0)或相反 (0 0). 0 0 时 , ( ) 0.
② 若 是 的属于特征值 0的特征向量，则 k (k P,k 0) 也是 的属于0 的特征向量.
(k ) k ( ) k(0 ) 0(k )
1, 2 ,, n 下的坐标记为

x01 x0n

,
则 ( )在基
1, 2 ,, n下的坐标为
x01
A

x0n

,
x01
而0
的坐标是
0
x0n
,
又 ( ) 0
x01 x01
以上分析说明：
若0是 的特征值，则 0E A 0. 反之，若 0 P 满足 0E A 0,
则齐次线性方程组 (0E A)X 0 有非零解.
若
( x01, x02 ,, x0n )是
( E 0

A) X

0
一个非零解，
则向量

x 01 1

x 0n n
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
二、特征值与特征向量的求法
分析： 设 dimV n, 1, 2 ,, n 是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0是 的特征值，它的一个特征向量 在基
n1
n2
nn
称为A的特征多项式.
（ fA( )是数域P上的一个n次多项式）
注：
① 若矩阵A是线性变换 关于V的一组基的矩阵， 而0是 的一个特征值，则 0是特征多项式 fA( ) 的根，即 f A(0 ) 0.
反之，若0 是A的特征多项式的根，则0就是
的一个特征值. （所以，特征值也称特征根.） ② 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,
的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是
E kE ( k)n .
故数乘法变换K的特征值只有数k，且
对 V ( 0), 皆有 K ( ) k .
所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.
例2.设线性变换 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵是
1 2 2
n
则 i cij j , i 1, 2,, r j 1
就是属于这个特征值 0 的全部线性无关的特征向量.
而 k11 k22 krr ,
（其中， k1, k2 ,, kr P 不全为零）
就是 的属于 0 的全部特征向量.
例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下