初三数学
一元二次方程根与系数的关系精讲精练
【典型例题】
例1. 已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值。

分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。

解：（方法一）设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得：
解得：
（方法二）由题意：
解得：
根据韦达定理设另一根为x，则
点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。

例2. 已知方程的两根为，求下列代数式的值：
（1）；（2）；（3）
分析：若方程两根，则不解方程，可求出关于的对称式的值，只须将其配成含有、的形式。

解：由已知，根据韦达定理
（1）
（2）
（3）
点拨：体会配方思想，将代数式配成含有的形式，再代系数即可。

例3. 已知：是两个不相等的实数，且满足，
那么求的值。

分析：由两个条件可得出为方程的两不等实根，再对所求代数式配方变形。

解：由题意，为的两个不等实根
因而有
又
点拨：善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。

例4. 已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。

解：（解法一）设方程两根α、β，方程的两根，则有：
由
当时，代入
当时，由
代入
则
代入
把代入<2>中，
或
（解法二）将与相减得：
此时方程根为0或，即题中两方程相同根为0或
（1）若是0则；
（2）若是，则；
或
点拨：两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程与有公共根，则公共根必满足方程”的结论。

例5. 已知方程
（1）若方程两根之差为5，求k。

（2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。

分析：对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数字母的值。

解：（1）设方程两根与，由韦达定理知：
又
（2）设方程两根，由根系关系知：
点拨：已知两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题。

例6. 已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值。

分析：必用判别式，又韦达定理知，，显然可求a、b。

解：设已知方程的两根为m，3m
由韦达定理知：
即
把代入
得：
点拨：把判别式、韦达定理综合出题，更易贯通新旧知识。

例7. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。

（1）用含m的代数式表示；
（2）当时，求m的值。

分析：应注意，即可用根系关系。

解：（1）由题意：
（2）由（1）得：
解得：
检验：当时，原方程无实根。

∴舍去
当时，原方程有实根。

∴
点拨：易忽略检验，要学会灵活应用一元二次方程有关概念，及判别式，根系关系。

例8. 已知方程的两根为，求一个一元二次方程，使它两根为和。

分析：所求方程，只要求出的值即可，转化成例2类型了。

解：设所求一元二次方程为
为方程的两根
∴由韦达定理
又
∴所求一元二次方程为
即：
点拨：应用根系关系构造方程，如果方程有两实根，那么方程为
，当为分数时，往往化成整系数方程。

［总结扩展］
1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。

它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。

2. 以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力。

3. 本节课学习了根与系数的关系的应用，主要有如下几方面：（1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代数式的值；（4）求作一个新方程……
4. 通过根与系数的关系的应用，能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系，由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一. 选择题。

1. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k与另一根分别为（）
A. 2，-1
B. -1，2
C. -2，1
D. 1，-2
2. 已知方程的两根互为相反数，则m的值是（）
A. 4
B. -4
C. 1
D. -1
3. 若方程有两负根，则k的取值范围是（）
A. B. C. D.
4. 若方程的两根中，只有一个是0，那么（）
A. B.
C. D. 不能确定
5. 方程的大根与小根之差等于（）
A. B. C. 1 D.
6. 以为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是（）
A. B.
C. D.
二. 填空题。

7. 关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则m＝________。

8. 已知一元二次方程两根比2：3，则a，b，c之间的关系是______。

9. 已知方程的两根，且，则
________。

10. 已知是方程的两根，不解方程可得：________，
________，________。

11. 已知，则以为根的一元二次方程是______ ________________________。

三. 解答题。

12. 已知方程的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m的值。

13. 已知方程的两根不解方程，求和
的值。

14. 已知方程的两根，求作以为两根的方程。

15. 设是方程的两个实根，且两实根的倒数和等于3，试求m的值。

【试题答案】
一. 选择题。

1. A
2. B
3. D
4. B
5. C
6. B
二. 填空题。

7.
8. 设，则
9.
或
时，原方程△＜0，故舍去，
10.
11.
由此
或
或
所求方程或
三. 解答题。

12. 解：设方程的一个根为x，另一根2x
由根系关系知：
解得：
13. 解：由题设条件
14. 解：由题意
即
故所求方程是，即
15. 解：
由
由
不符合题意，舍去。