洛一高高一月考数学试卷（2020年10月 ）
一．选择题（共12小题）
1．若集合A ＝{x ∈N |（x ﹣3）（x ﹣2）＜6}，则A 中的元素个数为
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．函数f （x ）＝+的定义域为 A ．[﹣1，1]
B ．[﹣1，）∪（，1]
C ．[﹣，）
D ．（，1] 3．若函数f （x ）＝|2x +a |的单调递减区间是（﹣∞，3]，则a 的值为
A ．﹣3
B ．3
C ．﹣6
D ．6 4．函数()322--=
x x x f 的单调递增区间是 A ．（﹣∞，1] B ．[3，+∞） C ．（﹣∞，﹣1] D ．[1，+∞）
5．若对任意实数x 不等式|x +1|+|x +3|＞m 2+m 恒成立，则实数m 的取值范围是
A ．（﹣2，1）
B ．[﹣2，1]
C ．（﹣1，2）
D ．[﹣1，2]
6．已知f （x ）+2f （﹣x ）＝3x +1，则f （x ）＝
A ．
B ．﹣3x
C ．﹣3x +1
D ．
7．已知函数()x f 的定义域为[]2,0，则函数()12+x f 的定义域为
A ．[]2,0
B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21
C ．[]5,1
D ．[]3,1
8．已知f （x ）＝是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围是
A.(1，8）
B.[4，8）
C.(4，8）
D.(1，4]
9．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣4x ，则不等式f （x +2）＜5的解集为
A ．（﹣3，7）
B ．（﹣4，5）
C ．（﹣7，3）
D ．（﹣2，6）
10．已知函数f （x ）＝（a +1）x 3﹣（a +2）x ﹣bx 2是定义在[a ﹣3，a +1]上的奇函数，则f （a +b ）＝
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．2
D ．5
11．化简（2a﹣3）•（﹣3a﹣1b）÷（4a﹣4）（a，b＞0）得
A．﹣b2B．b2C．﹣D．
12．函数的值域为
A．B．C．（0，]D．（0，2]
二．填空题（共4小题）
13．已知f（x）＝x2﹣（m+2）x+2在[1，3]上是单调函数，则实数m的取值范围为．14．已知f（x）＝，则不等式（x+1）f（x+1）+x≤3的解集是．
15．函数f（x）为定义在R上的奇函数，且满足f（x）＝f（2﹣x），若f（1）＝3，则f（1）+f（2）+…+f（50）＝．
16．已知定义域为R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（）＝0，则不等式f（x﹣2）＞0的解集是．
三．解答题（共7小题，第17题满分10分，第18—22题每题满分12分）
17．设非空集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a，a∈R}，不等式x2﹣2x﹣8＜0的解集为B．（1）当a＝0时，求集合A，B；
（2）当A⊆B时，求实数a的取值范围．
18．已知函数．
（1）若f（x）的定义域为，求实数a的值；
（2）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．
19．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0都有f（xy）＝f（x）+f（y），当x ＞1时，f（x）＞0．
（1）判断f（x）的单调性并加以证明；
（2）若f（4）＝2，解不等式f（x）＞f（2x﹣1）+1．
20．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+2a2+2．
（1）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间的最小值；
（3）关于x的方程f（x）＝2a2有解，求实数a的取值范围．
21．设函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b∈R）．
（1）若f（﹣1）＝0，且y＝﹣2为奇函数，求f（x）的解析式；
（2）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围．
22．若二次函数满足f（x+1）﹣f（x）＝2x且f（0）＝1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数λ，使函数g（x）＝f（x）﹣（2λ﹣1）x+2，x∈[﹣1，2]的最小值为2？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
洛一高高一月考数学试卷（2020年10月）
参考答案
一．选择题BBCBA ABBCB AA
二．填空题13．{m|m≤0或m≥4} 14．（﹣∞，1] 15．3 16．{x|x＞或x＜}三．解答题（共7小题）
17．解：（1）当a＝0时，A＝{x|﹣1＜x＜0}，
解不等式x2﹣2x﹣8＜0得：﹣2＜x＜4，即B＝{x|﹣2＜x＜4}，
（2）若A⊆B，则有：由于A≠∅，有，解得：﹣1＜a≤2，
a的取值范围为：（﹣1，2]．
18．解：（1）f（x）的定义域为，即（1﹣a2）x2﹣（1﹣a）x+2≥0的解集为，故，解得a＝2；
（2）f（x）的定义域为R，即（1﹣a2）x2﹣（1﹣a）x+2≥0恒成立，
当1﹣a2＝0时，a＝±1，经检验a＝1满足条件；
当1﹣a2≠0时，解得，
综上，．
19．解：（1）f（x）在（0，+∞）上为增函数，
证明如下：任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
则．
又因为当x＞1时，f（x）＞0，而，
所以，所以f（x2）＞f（x1），
所以f（x）在（0，+∞）上为增函数．
（2）由定义域可得，解得，
由已知可得f（4）＝f（2）+f（2）＝2，
所以f（2）＝1，f（2x﹣1）+1＝f（2x﹣1）+f（2）＝f（4x﹣2），
所求不等式可转化为f（x）＞f（4x﹣2）．
由单调性可得x＞4x﹣2，解得，
综上，不等式解集为．
20．解：（1）f（x）＝（x﹣a）2+a2+2，∴f（x）关于直线x＝a对称，
当a＝1时，f（x）在区间（﹣∞，1]单调递减，在区间[1，+∞）单调递增．（2）当时，f（x）在区间递增，
；
当时，f（x）在区间[﹣）递减，在（a，]递增，
；
当时，f（x）在区间递减，
．
（3）方程f（x）＝2a2有解，
即方程x2﹣2ax+2＝0有解．
∴△＝4a2﹣8≥0，
∴a的取值范围是．
21．解：（1）∵f（﹣1）＝0，∴a﹣b+1＝0，得b＝a+1，
y＝﹣2＝ax+b+﹣2＝ax+a﹣1+，
若y＝﹣2为奇函数，则a﹣1＝0，得a＝1．
（2）在（Ⅰ）的条件下，a＝1，b＝2，则f（x）＝x2+2x+1，
则g（x）＝f（x）﹣kx＝x2+（2﹣k）x+1，
当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，
则对称轴≤﹣2或≥2，
得k≥6或k≤﹣2．
即实数k的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．
22．解：（1）根据题意，设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），由f（0）＝1，
∴c＝1，∴f（x）＝ax2+bx+1
∵f（x+1）﹣f（x）＝2ax+a+b＝2x，必有，解可得；
∴f（x）＝x2﹣x+1
（2）由（1）可得g（x）＝x2﹣x+1﹣（2λ﹣1）x+2＝x2﹣2λx+3，x∈[﹣1，2]
①当λ≤﹣1时，g（x）在[﹣1，2]上单增，g（x）min＝g（﹣1）＝4+2λ＝2⇒λ＝﹣1；
②当﹣1＜λ＜2时，g（x）在[﹣1，λ]上单减，在[λ，2]上单增，，解得λ±1，
又﹣1＜λ＜2，故λ＝1
③当λ≥2时，g（x）在[﹣1，2]上单减，g（x）min＝g（2）＝4﹣4λ+3＝2，
解得，不合题意．
综上，存在实数λ＝±1符合题意．。