寻求可逆矩阵C使得： CT AC
为对角阵。这个问题称为把对 称阵A合同对角化
由上节定理5。8知，任给对
称阵A总有正交阵P，使 f
n
aij xi x j ( aij
i , j 1
a ji )
P-1AP=PTAP=
。把此结论应用于二次型，即有
定理5.9 任给二次型 f (x) xT Ax(AT A)
（2）.寻找正交矩阵P，
1
P1
AP
P'
AP
n
；
（3）.则正交变换 x Py
。
使 f 1 y12 2 y22 n yn2
例5.5.1 求一个正交变换x Py
把二次型 f 2x1x2 2x1x3 2x2 x3
化为标准形。 解： 二次型的矩阵为
0 1 1 A 1 0 1
1 1 0
这与例5.4.1所给矩阵相同。按例 5.4.1的结果，有正交阵
1 3
1 2
1
6
P
1 3
1 2
1
6
使
1 3
0
2 6
2 0 0
PT
AP
0
1 0
0 0 1
，
于是有正交变换
x1 x2 x3
1 3 1 3 1
3
1 2
1 2
0
1 6 1 6 2
y1 y2 y3
6
，
把二次型f化成标准形
f 2 y12 y22 y32
如果要把二次型化成规范形只需令：
y1
y2
1 2 z2
z1
y3
z3
则得f的规范形为：
f z12 z22 z32
例5.5.2 用正交变换将二次型
f ( x1, x2 , x3 ) 2x1x2 2x2 x3 2x1x3 化为标准形．若设 f (x1, x2 , x3 ) 1 ，问该曲面为何种类型的曲面.
解： 二次型的矩阵为
0 1 1
A
1
0

1
1 1 0
1 1 A I 1 1 ( 1)2( 2)
1 1
得A的特征值为： 1,2 1, 3 2 当 1 2 1 求解 ( A I )x 0 ，得两个线性无关的特征向量为
x1 (1, 0,1)T , x2 (1, 2,1)T
用正交变换化二次型为标准型
2.把二次型化标准型的根据与步骤：
要使二次型经可逆线性变换变成 标准形，这就是要使
yT CT ACy k1 y12 k2 y32 kn yn2
k1
( y1, y2 ,
,
yn
)
k2
y1
y2
kn
yn
也就是要使 CT AC 成为对角阵。
因此，上述等价的问题就是：对于对称阵A
x Cy 正交变换为
x1
1 2
y1
1 6
y2
1 3
y3 ,
C
(1,2 ,3 )
x2
2 6
y2
1 3
y3 ,
1
1
1
x3
2 y1
6 y2
3 y3.
化f为标准形 f y12 y22 2 y32
显然，由解析几何知道，这是 一个单叶双曲面方程。
注:如果要画出上述曲面的几何 图形，则要求出相应的坐标旋 转变换，请参考有关空间解析 几何关于坐标轴旋转的有关结 论。
总有正交变换x Py 使之化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2
其中 1, 2, , n 是f的矩阵A的特征值
推论 任给n元二次型 f (x) xT Ax( AT A)
总有正交变换 x Cz 使 f (Cz为) 规范形。
用正交变换化二次型为标准形的步骤为：
（1）.写出f对应的实对称矩阵A
因为它们已正交，故只需单位化为
1
1 2
(1, 0,1)T
,2
1 (1, 2,1)T 6
。
当 3 2 求解 (A 2I )x 0
得一个解 x3 (1, 1,1)T 单位化得
3
1 (1, 1,1)T 3
所求正交矩阵
1
2
C
(1 , 2
,3)
0
1
2
1 1
6
3
2 1
6
3
1 1
6 3