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[解] (1)∵sinA＋cosA＝15① ∴两边平方得 1＋2sinA·cosA＝215， ∴sinA·cosA＝－1225. (2)由(1)sinA·cosA＝－1225<0，且 0<A<π， 可知 cosA<0，∴A 为钝角， ∴△ABC 是钝角三角形．
余切互变．
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如：sin( ＋θ)＝cosθ.若是偶数倍，则函数名称不变， 符号看象限，若把α看作锐角，则270°－α，180°＋α都看 成是第三象限的角．值得注意的是，其中α为任意角，并不 一定要为锐角，只不过是在运用的过程中把它“看作”是 锐角而已．
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第二节 同角三角函数的基本关系 式与诱导公式
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一、同角三角函数的三个基本关系式
sin2α＋cos2α＝1
(1)
(2)
tanα·cotα＝1
(3)
其中(1) 是平方关系 ，(2) 是商数关系 ，(3) 是倒数关
世间有一种相互的情愿、一种情感的眷恋、一种情怀的着落，一种甜情密意的爱。 爱情在彼此之间、难得珍贵。需要包容和蔼，需要俩情相续。人生没有任何情感能抵得上爱情来的强烈。真爱从心底滋生，滋润着的爱；能让岁月变得丰满幸福。 爱情经历过静默欢喜的心跳，心潮澎湃的悸动，小心翼翼的呵护。挚爱灵魂的降临，柔情蜜意的体会，爱情的情愫引诱着彼此之间的情怀。爱情就像一团火焰，热情奔放在彼此之间燃烧；爱就像颜丽的山花，烂漫开放在彼此之间芬芳的岁月里。 爱情在彼此之间是愉悦、是幸福的向往，有一种渴念，一种欲望。一个人如果没有了爱情的支撑，剩下的只有精神空虚，孤独寂寞。无论多么痛苦，爱情只是人生的一个部分。在现实面前，只有理顺思路，忘掉不愉，打点精神生活，才能继续愉悦自己的人生。 当然爱情很美好，但有时也会不如意。人生本来就在旅途中，有阳光与暗淡的一面，难免会经历过低谷，不必过于焦虑不安。如果一方有离去的企图，千万不得挽留，留下的人也留不住心。人走了茶也就凉了，再温了也没了芳香。在拥有时好好地珍惜，爱情本来就需要真情来相待。 做人要懂得思考，一个愚痴的人，一旦跳进了失恋的漩涡、难以挣脱。忧忧寂寞、郁郁寡欢、心劳意攘不可自拔。一个明智的人，通情达理，一切顺其自然，不会执着于曾经的美好。既然她执意要走，爱情就已经失去了光泽。那么，何必再度留念她的光彩。 情感确实曼妙。有时机遇恰巧会眷顾了爱情。在擦肩而过的人群中谁能与你并肩同行；谁能理会同你一道上船、驶往爱的彼岸。在滚滚红尘中，只有俩厢情愿，情投意合，才能算是一见钟情，顺理成章。 在这世界上有一种爱情叫着缘分。在谈笑中相遇、在不经意中发生。爱情在几度转角处相识，最终还是选择初恋的那个好。这不要说偶尔、也不能说凑巧，他们在冥冥之间自然的形成。那是一种力量的无形缠绕，在偶遇中滋生存在着相遇的机会与可能。 树靠营养吸收生长，开花结果。人也需要吸收养分，也需要茁壮成长。特别在爱恋之间那微妙的时刻，得像春花一样灿烂，滋润着培育成绚丽多姿让人羡慕，让人欣赏。人靠衣装马靠鞍，一个人的内涵显示在品位上，整洁大方是对对方的尊重。
∵sin2α＋cos2α＝1， ∴4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝ 4sin2α－3sinαcosα－5cos2α
sin2α＋cos2α ＝4tan2tαa－n2α3＋tan1α－5＝4×4－4＋3×1 2－5＝1.
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诱导公式的运用
[分析] 要求θ的值，只需求出θ的某一个三角函数值 即可．
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二、诱导公式
诱导公式是指角α的三角函数与诸如－α，180°±α，
90°±α，270°±α，360°－α，360°·k＋α等三角函数之
间的关系，其内容相似，极易混淆，其记忆规律
是：
奇变偶不变、符号看．象其限中奇变偶不变中的奇、
偶分别是指 的奇数倍和偶数倍
变与不变指的是函数名称的变化，若
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1．本节内容公式较多，要正确理解和记忆．诱导公 式可用“奇变偶不变，符号看象限”这十字口决进行记 忆．
2．同角关系的主要应用． (1)求三角函数式的值： ①已知一个角的某个三角函数值，求出这个角的其他 5种三角函数值．要注意公式的合理选择，利用平方关系时， 要特别注意符号的选取．这也是分类讨论的标准．
2 .
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[拓展提升] 解决本题的关键在于如何处理已知条 件，这需要一定的技巧．若由已知能得出 tanα＝ 2，则 问题就转化为已知正切值求三角函数值的题型，所求的 式子特征为分子与分母是关于 sinα、cosα 的齐次式，即 sinα、cosα 的次数相同，如(1)式中次数均为一次，(2)式 则可以看作2sin2α－sins2iαn＋αccoossα2＋α cos2α，那么 sinα、cosα 的 次数均为二次．这类齐次式的求法，通常是将分子分母 同除以 cosα 的最高次，将原式转化为 tanα 的表达式进行 求解．
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5．已知tan(3π＋α)＝2，则
＝____________.
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答案：2
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已知角α的一个三角函数值，求α的其他三 角函数值
[例1] 求sinα、tanα的值：(1)cosα＝ (2)cosα＝m(|m|≤1)．
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已知α是第三象限角，且f(α)＝
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解：(1)f(α)＝sin－αc·cootαsαsi·ncoαtα＝－cosα. (2)∵cos(α－32π)＝cos(－3·π2＋α)＝－sinα， ∴sinα＝－15，∵α 为第三象限角， ∴cosα＝－ 525－1＝－25 6， ∴f(α)＝25 6.
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已知tanα＝2，则
解析：(1)注意分式的分子、分母均为关于sinα、cosα 的一次齐次式，将分子分母同除以cosα(cosα≠0)，然后代入 tanα＝2即可．
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(3)与(1)(2)不同，但注意到式子有二次齐次式， 不妨把其看成分式，分母为 1，将 1 变为 sin2α＋cos2α， 便顺利求解．
[拓展提升] 对于这类利用已知α的一个三角函数值或 者几种三角函数值之间的关系及α所在的象限，求其他三角 函数值的问题，我们可以利用平方关系和商数关系求 解 ． 其 关 键 在 于 运 用 方 程 的 思 想 及 (sinα±cosα)2 ＝ 1±2sinαcosα的等价转化，分析出解决问题的突破口．
4．在三角变换中要注意公式的变形使用，如“1”的妙 用(1＝sin2α＋cos2α＝tan45°＝…)，弦切互化(化弦法、化 切法等)、消去法及方程思想的运用．
5．在进行三角变形时，要细心观察题目的特征，灵 活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、是三角变形的 指导思想，利用同角三角函数的基本关系式主要是统一函 数，要掌握切、弦互化的方法．
系．
利用上述基本关系式，可以根据一个角的正弦、余弦、
正切中的一个值求其余两个值，还可以进行化简与证明．
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说明：教材对于同角三角函数只有这三个基本关系式， 而除此之外，还有如下五个关系式：
1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α cotα＝ cosα·secα＝1 sinα·cscα＝1 若能掌握补充的这五个关系式，对做题肯定是有帮助 的．这五个关系式用定义容易给予证明，在此略．
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sinα、cosα的齐次式问题
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(1)原式＝11＋ －ccssiioonnssαααα＝11＋ － 22＝－3－2 2.
(2)2sin2α－sinαcosα＋cos2α＝
2sin2α－sinαcosα＋cos2α sin2α＋cos2α
＝2tan12α＋－tatann2αα＋1＝5－3
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(2)当|m|＝1 时，α＝kπ(k∈Z)，此时 sinα＝0，tanα
＝0；
当 m＝0 时，α＝kπ＋π2(k∈Z)，sinα＝±1，tanα 不存在；
当 0<|m|<1 时，若 α 是第一、二象限的角，
sinα＝ 1－m2，tanα＝ 1－m m2； 若 α 是第三、四象限的角，
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②对于 sinαcosα，sinα＋cosα，sinα－cosα，借助方程 思想可知一求二．如 sinα±cosα＝± 1±sin2α，若令 sinα＋ cosα＝t(|t|≤ 2)，则 sinαcosα＝t2－2 1，(sinα－cosα)2＝2－ t2 等．
③关于 sinα，cosα 的同次式可化为正切处理．
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(2009·内蒙古赤峰模拟)已知 f(sinx＋cosx)＝tanx(x∈[0，π])，则f( )等于( )
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解析：本题可转化为已知 sinx＋cosx＝173，x∈[0，π]， 求 tanx.
由 sinx＋cosx＝173.① 两边平方，得 1＋2sinxcosx＝14699， ∴2sinxcosx＝－112609<0. 又∵x∈[0，π]，∴sinx>0，cosx<0. ∴(sinx－cosx)2＝218699.∴sinx－cosx＝1173.② 由①②，可得 sinx＝1123，cosx＝－153，∴tanx＝－152. 答案：A
则 sinα＝－
1－m2，tanα＝－
1－m2 m.
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