i (t ) 2 I cos( t i )
设一复指数函数为
2 Ie
j ( t i )
=
2 I cos( t i ) j 2 I sin( t i )
可见正弦电流与上述复指数函数的实部存在着对应关系。
根据其对应关系，有
i R e [ 2 Ie
. j t
，则
. .

Re [ 2 I e
] Re [
d dt
2 Ie
j t
] Re [ 2 ( j I ) e
j t
]
dt
（3）任一个正弦量的积分用相量来表示，等于这个正弦量的相量除以 j
设
i 2 I cos( t i )
.
，则
. .
id t

Re [ 2 I e
Z ab 100 j300 j100 100 ( 200 j200 )
. .
U Z ab I S ( 200 j 200 ) 2 0 ( 400 j 400 )V
. . *
复功率 S U I S ( 400 j400 ) 2 0 ( 800 j800 )VA 有功功率 P 800 W ；无功功率 Q 800 var
. S
在相位上相差
6

2
，则有
0 . 005 5 10
. .
r 0 ，故 r 1000
0 . 005 100 0 j0.004 125 e
j 90
U1
0 . 005 U j0.004
S

V

例5.5
在正弦稳态电路中，测量电源频率的电桥如图5．5所示，试 求电源 与电桥参数的关系。
第五章 正弦稳态电路分析
5.1 应用相量法分析正弦电流电路
对于正弦电流电路，由于全部稳态响应与激励都是同一频率 的正弦函数（简称正弦量），因此，要确定电路中的任一正 弦电压或电流，只要确定了其中的有效值和初相角，就确定 了正弦电压或电流。 相量法就是应用复数来表示正弦量的有效值和初相角，使描 述正弦电流电路的微积分方程转化为代数方程，从而使正弦 电流电路的分析与计算得以简化。 对于任一正弦电流，有
C
I （2）当 I S 2 单独作用时，S 1 断开，则有
.
( R2 j
"
1
U1
C
) IS 2 1 R1
( 2 0 j2 0 ) 2 0 40
2 0 ( 2 0 j2 0 )V
R1 j L R 2 j
故得
. . ' . " 2
i ) UI cos UI cos[ 2 ( t u ) ]
U I co s {1 co s[ 2 ( t u )]} U I sin sin [ 2 ( t u )]
V A
其中

u

i
，表示电压与电流之间的相位差
Q UI sin
它反映了一端口网络与外电路进行能量交换的最大速率。无 功功率的单位是 V A （乏，即无功伏安）。
（3） 视在功率S
S UI
视在功率通常表示电力设备的容量。视在功率的单位是 V A （伏安）。

（4）复功率 S 为了能够直接应用相量电压U 和相量电流 I 来计算平均功率P 、无功功率Q、视在功率 S
例5.7
正弦稳态电路如图5.8所示，已知
R 1 R 2 20 Z ，L j L j20
. 1
IS 1
4 2
4 5 A , IS 2 2 0 A
，
，Z C
j
1
C
j 20

，
试求电流源 IS 1 两端的电压 U
及 IS 1 发出的复功率 S 1 。
j t
] d t Re [
2 Ie
j t
d t ] Re[
2(
I j
)e
j t
]
应用相量法分析稳态正弦电流电路，是把正弦量变换为相量，从而 把求解线性电路的正弦稳态问题转化为求解以相量为变量的频域中 的代数方程问题。

.
I 0
正弦电流电路中的各支路电压和各支路电流都是同频率的正弦量， 用相量法将KCL和KVL转换为相量形式。
Z 0 R 0 jX
0
,
Z l R l jX
l
Z , 那么 Z l 为何值时， l 能获得最大功率?
i N
a
Z0

P 0,
Q
0
例 5.6
正弦稳态电路如图5.7所示，已知
R 1 R 2 R 3 100 , L 1 3 H , L 2 1 H , C 1 C 2 10

4
F , i S ( t ) 2 2 cos 100 tA
试求电流源发出的复功率 S 。
a
.
R1
a i u N
b
图5．6 设 u
2U cos( t u )
i
2 I cos( t i )
它吸收的瞬时功率表示为
p u i 2U cos( t u )
u
2 I cos( t i )
UI cos UI cos( 2 t
R1
c G
R2 R4 C4 b
C3 a
R3 d . + US
解
要使电桥平衡，即结点c、d等电位，检流计中无电流通过，这时有
R1 R2 1 R4 R3 j 1 j C 4 1
C3
，即
R1 R2
(R3 j
1
C3
)(
1 R4
j C 4 )
R3 R4

C4 C3
j( C 4 R 3
] Re[ 2 I 2 e
] R e [ 2 ( I 1 I 2 )e
j t
]
而 i R [ e
j t 2 Ie ]
，故用相量表示，有
I I 1 I 2
.
.
j
（2）任一个正弦量的导数用相量来表示，等于这个正弦量的相量乘以。
设
i
di dt d
2 I cos( t i )
ZL ZC
.
I S1
.
.
U1
R1
R2
IS2
解
I 应用叠加定理，（1）当 IS 1 单独作用时，S 2 断开，则有
R1 ( R 2 j L j
'
1
.
U1
C
1
) 1 0 4 4 5 ( 2 0 j 2 0 )V I S1 2
R1 R 2 j L j

.
我们引入复功率 S ，它定义为
j( ) S U I* U Ie u i S U I c o s j U I sin
P jQ
复功率的单位是 V A （伏安）。
根据功能守恒原理，对整个电路有
在一般情况下， S 0

S 0,
.
解得 I l 1 10 0 A , Il 2 j1 0 A
. . .
I C I l 1 I l 2 (10 j10 ) A
（2）应用结点电压法，有
.
.
U 1(
1 R 1 j L1
j C
1 R 2 j L 2
)
U
S
R 1 j L1
j( t i )
] R e [ 2 Ie
j i
e
j t
j t ] ] R e [ 2 Ie
上式表明，通过数学方法，可把一个实数范围的正弦时间函数与一 个复数范围的复指数函数一一对应起来，该复指数函数包含了正弦 量的角频率、有效值、初相角，而其中的复常数则包含了正弦量的 有效值和初相角，把这个复常数称为正弦量的相量。记为
对于电路中任一结点，根据KCL有 对于电路中任一回路，根据KVL有
. .

.
I 0
.
U
或
. L
0
I Y U
.
对于一个无源一端口来说 U Z I
.
对于单一元件
R、 L、 C
有 U R IR ， U
j L I L ， C j U
.
.
1
C
IC
引入相量法后，描述正弦电流电路的微积分方程转化为以相 量为变量的频域中的代数方程，这样对于任一正弦电流电路，就 可以应用电阻电路中学过的电源等效变换，支路电流法，网孔电 流法，回路电流法，结点电压法，叠加定理，代维宁定理，诺顿 定理等进行求解了。

.
பைடு நூலகம்
1 j L
j C) - j C U
.
. 2

U
S
R1
结点2
.
U
.
2
r I1 r
.
U1 j L
由于U 2 r I 1 r
U1 j L
代入结点1 的结点电压方程，
6 . . S
并代入数据整理得 ( 0 . 005 5 10 要使U 1 与 U
.
r j0.004) U 1 0 . 005 U
回路1 ( R 1 j L 1 j
1
.
1
.
C
)I
l1