从而变力为 F 100 x
所求的功
比例系数
F Ex
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W 100 xdx 0.5J
0
0.1
x x
5
第六节 定积分在物理中的应用
例 2 一圆柱形蓄水池 高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水. 问要把池内的水全部 吸出，需作多少功？
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o a
x
x dx
F ( x)
b
x
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
W dW F ( x )dx
a a
b
b
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本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
第六节 定积分在物理中的应用 例1 设弹簧在1N力的作用下伸长0.01米，要 使弹簧伸长0.1米，需作多少功？ 解 如图：建立直角坐标系。 因为弹力的大小与弹簧的 伸长（或压缩）成正比， 即 F Ex 已知 F 1N , x 0.01 o 代入上式得 E 100
ba 每个小区间的长度 x ; n （2）求和：设各分点处的函数值为 y0 , y1 , y2 ,, yn
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上的平均值近似为
y0 y1 y2 yn1 ; n （3）取极限： 每个小区间的长度趋于零.
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
q k 那么电场对它的作用力的大小为 F k 2 （ r ra 是常数） ，当这个单位正电荷在电场中从
处沿 r 轴移动到 r b 处时，计算电场力F 对它所作的功．
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第六节 定积分在物理中的应用 解 取 r 为积分变量，
x
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第六节 定积分在物理中的应用
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
小矩形片的压力元素为 dP 2gx R 2 x 2 dx
端面上所受的压力
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
P 2gx R 2 x 2 dx
0
R
g
R
0
R2 x 2 d ( R2 x 2 )
这一薄层水的重力为
9.8 32 dx
x dx
5
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
功元素为 dw 88.2 x dx,
x
w 88.2 x dx
0
5
x 88.2 3462 (千焦)． 2 0
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2 5
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1 b 2 f ( x )dx . 函数的均方根（有效值） a ba （理解平均功率、电流的有效值等概念）
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第六节 定积分在物理中的应用
练习题
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
1.
把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上
坐标原点处，它产生一个电场． 这个电场对周围 的电荷有作用力． 由物理学知道，如果一个单位 正电荷放在这个电场中距离原点为 r 的地方，
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第六节 定积分在物理中的应用
正弦交流电i ( t ) I m sin t 的有效值
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
I
1
2

0
2
2

I m sin tdt
2 2
2
Im 2
2
0
2

sin2 td ( t )
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
2 Im R sin 2 t I m 2 R Im R t 2 4 2 0 4 2
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
2
2
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I mU m . (U m I m R) 2 结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率 等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一．
第六节 定积分在物理中的应用
II.
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
液体的静压力
一、预备知识
h 处的 由物理学知道，距液体表面深度为 g 是 是液体密度， 液体压强为 p gh ，这里 A 的平板水平地 重力加速度。如果有一面积为 放置在液体深为h 处，那么，平板一侧所受的 液体压力为 P p A ．
变力沿直线所作的功
一、预备知识
1. 由物理学知道，如果物体在作直线运动的 F 作用在这物体上，且 过程中有一个不变的力 这力的方向与物体的运动方向一致，那么，物 体位移为s 时，力F 对物体所作的功为F F ( x ) W F s. 2. 微元法
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
二、变力沿直线所作的功
如果物体在运动的过程中所受的力F F ( x )
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是变化的，就不能直接使用此公式，而采用 “微元法”思想. 2017/5/13
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第六节 定积分在物理中的应用 如图：以 x 为积分变量，积分区间为 [a , b].
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
在区间 [a , b] 内任取一小区间[ x , x dx ], 功的微元数 dW F ( x )dx 所以
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
解
设电阻为 R ， 则电路中的电压为
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
u iR I m R sin t ,
2 I R sin t, p ui 功率 m 2
一个周期区间 [0, 平均功率 p
2

2
],
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2
0
定积分在物理中的应用
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第五章 定积分
本节知识 引入 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 指导
I. 变力沿直线所作的功 II.液体的录
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第六节 定积分在物理中的应用
I.
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
q
kq 取任一小区间[r , r dr ], 功元素 dw 2 dr , r
r [a , b],
o
r a r dr b
1
r
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
1 kq 1 1 所求功为 w 2 dr kq kq . a r r a a b
第六节 定积分在物理中的应用
小结
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
1. 利用“微元法”思想求变力作 功、水压力等物理问题．
（注意熟悉相关的物理知识）
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
2. 利用“微元法”思想求平均值、 均方差． 1 b y f ( x )dx; 函数的平均值 ba a
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
二、液体的静压力
如果平板垂直放置在液体中，由于液体 在不同的深度压强 p 不同，平板一侧所受的 液体的压力就不能直接使用此公式，可采用 “微元法”来计算.
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第六节 定积分在物理中的应用
例 3 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水， R ，水的比重为 ，计算桶的一端面 设桶的底半径为 上所受的压力．
1

I m R sin2 tdt
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2
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第六节 定积分在物理中的应用
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
p
1
2

0
2
2

Im
2
I m R 2 2 R sin tdt sin td ( t ) 0 2
2
2
I m R 2 (1 cos 2 t )d ( t ) 0 4
1 b y f ( x )dx ba a
几何平均值公式
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区间长度
(b a ) y (b a ) f ( )
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第六节 定积分在物理中的应用
例 4 计算纯电阻电路中正弦交流电i I m sin t 在 一个周期上的功率的平均值（简称平均功率）.
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
解 在端面建立坐标系如图
取x为积分变量，x [0, R]
取任一小区间[ x , x dx ]
o
x
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
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小矩形片上各处的压强近 似相等p gx, 小矩形片的面积为 2 R2 x 2 dx.
x dx
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
解 建立坐标系如图
取x为积分变量， x [0,5]
取任一小区间[ x , x dx ],
o
x
x dx
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x
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第六节 定积分在物理中的应用
o
x
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求