专题01：初识极值点偏移一、极值点偏移的含义众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有0212x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则221x x +与极值点m 必有确定的大小关系： 若221x x m +<，则称为极值点左偏；若221x x m +>，则称为极值点右偏.如函数x e x x g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221xx +的左边，我们称之为极值点左偏.二、极值点偏移问题的一般题设形式：1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f .三、问题初现，形神合聚★函数x ae x x x f ++-=12)(2有两极值点21,x x ，且21x x <.证明：421>+x x .★已知函数x x f ln )(=的图象1C 与函数)0(21)(2≠+=a bx ax x g 的图象2C 交于Q P ,，过PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1C ，2C 于点N M ,，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.四、招式演练★过点P(−1,0)作曲线f(x)=e x的切线l．（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=a f(x) (a∈R)交于不同的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，求证：x1+x2<−4．极值点偏移问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策，而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的. 其实，此类问题处理的手段有很多，方法也就有很多，下面我们来逐一探索！专题02：极值点偏移问题利器——极值点偏移判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=； （3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+. （1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增. （2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.（5）若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221xx +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故0)2('21<+x x f .【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(x f 的单调性、极值点，证明)(0x x f +与)(0x x f -（或)(x f 与)2(0x x f -）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212x x x <+或0)2('21<+x x f 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.三、对点详析，利器显锋芒 ★已知函数)()(R x xe x f x ∈=-. (1)求函数)(x f 的单调区间和极值；(2)若21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：221>+x x .★函数3434)(x x x f -=与直线)31(->=a a y 交于),(1a x A 、),(2a x B 两点. 证明：221<+x x .★已知函数2()ln f x x x=+，若1x ≠2x ，且)()(21x f x f =，证明：421>+x x .★已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点.设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.四、招式演练 ★已知函数()22x a g x e x =+，其中, 2.71828a R e ∈=为自然对数的底数，()f x 是()g x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）若1a =-，证明：当12x x ≠，且()()12f x f x =时， 120x x +<.★已知函数()2ln f x x ax =-，其中a R ∈（1）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若函数()f x 有极大值为12-，且方程()f x m =的两根为12,x x ，且12x x <，证明：124x x a +>.专题03：极值点偏移第一招——不含参数的极值点偏移问题函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 例.（2010天津理）已知函数()()x f x xe x R -=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x =. 证明：12 2.x x +>例.（2013湖南文）已知函数21()1xx f x e x -=+，证明：当1212()()()f x f x x x =≠时，120.x x +<招式演练：★已知函数2()ln f x x x x =++，正实数12,x x 满足1212()()0f x f x x x ++=.★已知函数()ln f x x x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若方程()f x m = (2)m <-有两个相异实根1x ，2x ，且12x x <，证明：2122x x <.专题04：极值点偏移第二招——含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元12,x x 的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.★例1. 已知函数x ae x x f -=)(有两个不同的零点12,x x ，求证：221>+x x .★例2. 已知函数()ln f x x ax =-，a 为常数，若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：212.x x e ⋅>★例3.已知21,x x 是函数ax e x f x -=)(的两个零点，且21x x <. （1）求证：221>+x x ； （2）求证：121<⋅x x .★例4.已知函数()(0)ax f x x e a =->，若存在1212,()x x x x <，使12()()0f x f x ==，求证：12xae x <.【招式演练】★设函数()()x f x e ax a a R =-+∈的图像与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点， （1）证明：0)('21<x x f ； （2）求证：1212x x x x <+.★设函数2()ln f x a x bx =-，其图像在点(2,(2))P f 处切线的斜率为3-. 当2a =时，令()()g x f x kx =-，设1212,()x x x x <是方程()0g x =的两个根，0x 是12,x x 的等差中项，求证：0()0g x '<(()g x '为函数()g x 的导函数）.★设函数21()2ln (0)f x a x a ax a x=-->，函数()f x '为()f x 的导函数，且1122(,()),(,())A x f x B x f x 是()f x 的图像上不同的两点，满足12()()0f x f x +=，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0 1.ax >★已知函数)(ln 1)(R a x xa x f ∈--=. （1）若2=a ，求函数)(x f 在),1(2e 上的零点个数；（2）若)(x f 有两零点21,x x （21x x <），求证：132121-<+<-a e x x .★已知函数f(x)=12x 2+(1−a)x −alnx . （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）设a >0，证明：当0<x <a 时，f(a +x)<f(a −x) ； （Ⅲ）设x 1,x 2是f(x)的两个零点，证明f ′(x 1+x 22)>0 .★已知函数()214ln 2f x x mx =-（0m >）.（Ⅰ）若1m =，求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若函数()()()4g x f x m x =--，对于曲线()y g x =上的两个不同的点()()11,M x g x ，()()22,N x g x ，记直线MN 的斜率为k ，若()0k g x ='，证明：1202x x x +>.★已知函数()1n(1)f x x =+，21()2g x x x -．（Ⅰ）求过点()1,0-且与曲线()y f x =相切的直线方程；（Ⅱ）设()()()h x af x g x =+，其中a 为非零实数，()y h x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，求a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：()2120h x x ->．★已知函数()ln f x x =.（1）证明：当1x >时，()()2110x x f x -+->；（2）若函数()()2g x f x x ax =+-有两个零点1x ， 2x （12x x <， 0a >），证明：12213x x g a +⎛⎫<- ⎪⎝⎭'.专题05：极值点偏移第三招——含对数式的极值点偏移问题前面我们已经指明并提炼出利用判定定理解决极值点偏移问题的策略：若()f x 的极值点为0x ，则根据对称性构造一元差函数()()()00F x f x x f x x =+--，巧借()F x 的单调性以及()00F =，借助于()()()12002f x f x f x x x ==--⎡⎤⎣⎦与()002f x x x +-⎡⎤⎣⎦ ()022f x x =-，比较2x 与012x x -的大小，即比较0x 与212x x +的大小．有了这种解题策略，我们师生就克服了解题的盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩。