(1)证明： W 是 R n 的线性子空间; (2)求 W 的维数.
1 2 22 三、(15 分)设 A ，在线性空间 R 上定义映射 0 3 T ( X ) AX XA, X R 22 . (1)证明： T 是 R 22 上的线性变换； (2)求 T 在基 E11 , E12 , E21 , E22 下的表示矩阵，其中 Eij 是 (i, j ) 元为 1、其余元
为 0 的 2 阶方阵. 四、(15 分)设线性空间 F [ x ]4 { f ( x ) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 | ai R, i 0,1, 2,3} ， 对于任意的 f ( x ), g ( x ) F [ x ]4 ，定义 ( f , g ) f ( x ) g ( x )dx .
(1)求矩阵 A 的 Jordan 标准形； (2)求 A 的最小多项式. 六、(15 分)已知线性方程组 AX b 为：
x1 2 x2 3x3 1 x x 0 1 3 ， 2 x1 2 x3 1 2 x1 4 x2 6 x3 3
(1)求矩阵 A 的满秩分解； (2)求矩阵 A 的广义逆矩阵 A ； (3)求线性方程组 AX b 的最小二乘解； (4)求线性方程组 AX b 的极小范数最小二乘解. 七、(10 分)已知
(2) m A ( ) ( 1) 2 .
1 1 六、(15 分) (1) A BC 2 2
2 1 5 10 2 0 1 0 1 1 2 4 8 4 ；(3) 最小 ,(2) A 0 0 1 1 30 1 1 2 2 4
5 0 8 A 3 1 6 , 2 0 3 1 ， X0 1 1
(1)求矩阵函数 e At ； (2)求微分方程组
dX (t ) AX (t ) 满足初始条件 X (0) X 0 的解. dt
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参考答案
一、填空题(共 5 小题，每题 3 分，共 15 分) 1.
1 0 1 2 n(n 1) 1 , 2. 19 , 3. , 4.-1, 5. A 2 A3 2 3 1 0 1 0 2 . 0 0
二、(15 分) (2) n-2;
0 0 2 2 2 0 三、(15 分) (2) T 在基 E11 , E12 , E21 , E22 下的矩阵为 B 0 0 2 0 0 2
0.4 1 1 1 . 二乘解： X 0.5 k 1 ;(4)极小范数最小二乘解： X A b 2 10 0 1 3 8t 1 4t 0 1 12t t . 七、(10 分) e e 1 6t , X (t ) e 1 9t 3t 2t 0 1 4t 1 6t
.
4. 设 是 n 维欧氏空间 V 中一单位向量，定义 T 2( , ) , V . 若 T 在 标准正交基下的矩阵为 A，则 | A | . .
5.设 4 阶方阵 A 的特征值为 , ,0,0 ，则 sin A =
二、(15 分)设 1 , 2 R n 是两个线性无关的向量， W { R n | ( , i ) 0, i 1, 2} .
At t
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武汉理工大学研究生课程考试试题纸（A 卷）
课程名称 矩阵论 专业年级 全校 2012 级 备注: （共 2 页，共 7 个大题，答题时不必抄题，标明题目序号） 一、填空题(共 5 小题，每题 3 分，共 15 分) 1. 实数域 R 上所有 n 阶反对称矩阵所构成的线性空间的维数是 2. 设向量 (2i, 1, 3i, 1 2i )T ，则 || ||2 = 1 2 3. 已知矩阵 A ，则 A 的 LU 分解为 3 5 . .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 3 四、(15 分) (3)正交基为： 1 1, 2 x, 3 x 2 , 4 x 3 x, 单位化得标准正 3 5 交基
1
2 6 10 14 ,2 (3x 2 1),4 (5 x 3 3x ) x,3 2 2 4 4
1 五、(15 分) (1) , 1 1 1
1 1
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(1)证明 ( f , g ) 是 F [ x ]4 的一个内积;
(2)写出此空间的柯西—施瓦兹不等式； (3)由基 1, x, x 2 , x 3 出发，在题目所定义的内积下求 F [ x ]4 的一组标准正交基.
3 0 8 五、(15 分)设矩阵 A 3 1 6 ， 2 0 5