再由车贝晓夫不等式得到
n 1 n 1 0 P X i EX i ε n i 1 n i 1
1 n D X i n C i 1 ε2 nε 2
于是，当
n 时，有
1 n 1 n lim P X i EX i 0 n n i 1 n i 1
1 n 1 n 或者 lim P X i EX i 1 n n i 1 n i 1
【证】因为 X n 两两不相关, 故
1 n 1 n C D X i D X i n n2 n i 1 i 1
下面我们先介绍大数定律
大数定律的客观背景 在实践中, 人们认识到大量测量值的算术平 均值也具有稳定性. 大数定律就是用于研究大 量随机现象中平均结果的稳定性的理论.
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
二、常用的四种大数定律
定义4.5 设X1 , X 2 ,, X n ,是随机变量序列,
即
n 1 P X E X i n i 1
注 4
车贝晓夫大数定律与马尔可夫大数定律的 区别与联系
车贝晓夫大数定理显然可由马尔可夫大数
定理推出，而马尔可夫大数定理没有任何关于 不相关的假设。
例：设X1, X2,, Xn 是独立同分布的随机变量
序列, E ( X i ) μ, D( X i ) σ 2 均存在, 证明
例： 设随机变量 X 1 , X 2 ,, X n , 相互独立 , 具有如下分布律: X n na 0 na 1 1 1 P 1 2 2 2n n 2n 2 检验是否有 问是否满足车贝晓夫大数定律的条件 数学期望 ? 解 由题意可知随机变量彼此不相关条件满足 . 1 1 1 E ( X n ) na 2 0 1 2 na 2 0, n 2n 2n
【定律】车贝晓夫大数定律
设X1 , X 2 , , Xn , 是两两不相关的随机变量序列,
每一随机变量都有有限 的方差, 并有公共的上界
D X1 C , D X 2 C ,, D X n C , 则对任意的ε 0, 恒有
n n 1 1 lim P X i EX i ε 0 n i 1 n n i 1
4
n2 n 1
2 i D X i 2 i 1
n
4σ 2
n2 n 1
2 i 2 i 1
n

4nn 12n 1 σ 2 6n2 n 12
22n 1 σ 2 3nn 1
从而对任意给定的 0, 由车贝晓夫不等式得 DYn 0 P{| Yn μ | ε } ε2 22n 1 σ 2 0 n 2 3nn 1ε P 因此 Yn .
可见, 每个随机变量的数学期望都存在.
所以 E
2 Xn
D X n E
1 na 2 a 2 n
2
2 Xn
检验是否 有有限方 差
2
E X n
a2
因此, 随机变量 X n n 1, 2, 公共上界.
注3 车贝晓夫大数定律的另一种叙述
设X1 , X 2 , , Xn , 是两两不相关的随机变量序列,
每一随机变量都有有限 的方差, 并有公共的上界
D X1 C , D X 2 C ,, D X n C ,
1 n 1 n 则序列 X X i 依概率收敛于 E X i , n i 1 n i 1
n 2 Yn iX i nn 1 i 1
依概率收敛到 .
解
n 2 因为 E Yn E iX i nn 1 i 1
n n 2 2 iE X i i nn 1 i 1 nn 1 i 1
DYnቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
注1 车贝晓夫大数定律的条件：Xi 之间彼此不相关，
每一个E(X i )都存在，方差D(X i )有限，且有公 共的上界
注2 当 n 很大时, 随机变量 X 1 , X 2 , , X n 的
1 n 算术 平均值 X i 接近于它们的数学期望 的 n i 1 1 n 算术平均值 E X i . n i 1
设X1 , X 2 , , X n , 是随机变量序列, 如果下式成立 n 1 D( X i ) 0 ( n ) 2 n i 1
则对任意的ε 0, 恒有
n n 1 1 lim P X i EX i ε 0 n i 1 n n i 1
主要内容 问题提出 马尔可夫大数定律 车贝晓夫大数定律 贝努里大数定律
泊松大数定律
辛钦大数定律
一、问题的引入
概率论是研究随机现象统计规律性的学 科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下 进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是 说，要从随机现象中去寻求统计规律，应该 研究大量随机现象.
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限理论进行研究. 极 限理论的内容很广泛，其中最重要的两种 是: 大数定律 与 中心极限定理
1 令 Yn X i n i 1
n
如果存在这样一个常数 序列a1, a2 ,, an ,,
对任意的ε 0, 恒有
或者 lim P Yn an 1
n
n
lim P Yn an ε 0
则称随机变量序列 X n 服从大数定律.
【定律】马尔可夫大数定律