老黄学高数
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ9讲 函数极限的 唯一性与局部有界性
六种类型的函数极限： (1) f(x)；(2) f(x)；(3) (4) f(x)；(5) f(x)；(6)
f(x)； f(x).
1、(唯一性)若 f(x)存在，则此极限唯一.
证：设A，B都是f当x→x0时的极限，则 ∀ε>0，分别有正数δ1与δ2，使 当0<|x-x0|<δ1时，有|f(x)-A|<ε/2； 当0<|x-x0|<δ2时，有|f(x)-B|<ε/2 ； 取δ=min{δ1,δ2}，则当0<|x-x0|<δ时， |A-B|≤|f(x)-A|+|f(x)-B|<ε,
(2)令t=1/x，则
设a>0，证明：(1) ax=1；(2)
=1 .
证：(2)∀ε>0，不妨设ε<1，
要使|a1/x-1|<ε，即1-ε<a1/x<1+ε，
当a>1时，必须有loga(1-ε)<1/x<loga(1+ε). 当0<a<1时，必须有loga(1+ε)<1/x<loga(1-ε). 只要令M=max{1/|loga(1+ε)|,1/|loga(1-ε)|}，
则当|x|>M时，就有|a1/x-1|<ε，
2、(局部有界性)若 f(x)存在，则 f在x0的某空心邻域U⁰(x0)内有界. 若 f(x)存在，则f在某U⁰-(x0) 内有界； 若 f(x)存在，则f在某U⁰+(x0)内有界； 若 f(x)存在，则f在(M, +∞)内有界；(M>0)
若 f(x)存在，则f在(-∞, -M)内有界；
若 f(x)存在，则f在(-∞, -M)∪(M, +∞)内有界.
设a>0，证明：(1) ax=1；(2)
=1 .
证：(1)∀ε>0，不妨设ε<1，
要使|ax-1|<ε，即1-ε<ax<1+ε，
当a>1时，必须有loga(1-ε)<x<loga(1+ε). 当0<a<1时，必须有loga(1+ε)<x<loga(1-ε). 只要令δ=min{|loga(1+ε)|,|loga(1-ε)|}， 则当0<|x|<δ时，就有|ax-1|<ε，
由ε的任意性，可知A=B. 得证！ 类似地，可证其它类型的极限也具有唯一性.
2、(局部有界性)若 f(x)存在，则 f在x0的某空心邻域U⁰(x0)内有界. 证：设 f(x)=A，取ε0=1，则存在正数δ，使得 对一切x∈U⁰(x0;δ)有|f(x)-A|<1， ∴|f(x)|<|A|+1. 得证！