5（1）解：按照自然数序数理论加法定义，
（2）解：按照自然数序数理论乘法定义
6证明： 当 时，命题成立.（反证法）
7证明： 当 时，命题成立.（ ）
设 时命题成立.
角邮资可能是：（1）完全用3角的邮票来支付；（2）至少用一张5角的邮票来支付.
在（1）下，3角的邮票至少有3张.把它们换成两张5角的邮票便可支付 角的邮票.
为了保证在自然数集中除法的封闭性，像 的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集.
公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集.
为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集.
11证明：（1）根据自然数减法定义有， ，两式相加得： ，于是 ，
若 ，则
若 ，则
（2）
（3）先证
事实上，由
可知要证明的自然数乘法对减法的分配律成立.
由此，为了证明（3），只要证明 ，
根据（1）上式就是
于是只要证明
显然，这个等式是成立的，所以（3）成立.
12证明：（1）根据自然数除法定义有 ，两式相乘，得 ，所以有：若 ，则 ；若 ，则
直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集.
虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集.
4证明：设集合 两两没有公共元素 分别是非空有限集 的基数，根据定义，若 ，则存在非空有限集 ，使得 ；若 从而必存在非空有限集 ，使得 ，所以 所以集合 的基数 大于集合 的基数 ，所以 .
26按照字典排序法，先比较实部，再比较虚部.
27证明：将三次本原单位根 或 分别代入 ：
因此， 含有因式 ，而
所以
28证明（反证法）：若 与3.8的和是有理数 ，即 ，则 .
因为全体有理数称为一个域，对减法运算封闭，所以差 仍是有理数，与 是无理数矛盾，所以 与3.8的和是无理数.
29两个无理数的商可能是有理数.例如： 是无理数，易证 也是无理数，
但是 所以 ，所以 不是整数，这与已知条件矛盾，
所以 是无理数.
24证明：假设 ，
所以 ，因为 ，所以
但是当 时，上式明显不成立；当 时，上式与 矛盾.所以， 不是有理数，又可以证明 是实数，所以 是无理数.
25证明：假设方程有有理数根 ，将 其代入方程，可得： ，由此可知 的任何素数因子 必可整除 ，因此 必可整除 ，从而知 为 与 的公因子，但是 ，所以 ，所以 ，这与 矛盾.所以整系数代数方程 的任何非整实根均为无理数.
(加法结合律)
因此， 这个确定的有理数，它与 的和等于 ，
又如果差为 ，则有 ，于是，两边同加 有：
即差只能是 ，定理得证．
20证明：做差， ， .
所以有
21证明：首先证明 当且仅当 .
事实上，若 ，当 时， 且 ，即 ;当 时， ,有 ,且 ,故 .反之，若 ,当 时， ;当 时， .
下面来证明： .
9举例：正整数集N上定义的整除关系“|”满足半序关系.
证明：（1）（自反性）任意的正整数 ，总有 ；
（2）（反对称性）如果 ，那么 ；
（3）（传递性）如果 ，那么 .
通常意义的小于等于也构成半序关系，同理可证.
10证明：设 ，且
①
②若 ，则 .
若 .
令 是所有不属于 的自然数组成的集合，则 是 的非空子集，按照最小数原理， 中有最小数，设为 .由①知 ，于是存在自然数 ，使 ，这样就有 ，所以 ，但根据②有 ，这与 矛盾.所以 .
取定 ，设 是使三个关系中至少有一个成立的所有 的集合，当 时，若 ，则 成立；若 ，则存在 ，使得 ，这时 成立.因此 .
假若 ，即三个关系中至少有一个成立.
当 时，存在 ，使得 ，则 ，即 成立.
当 时，存在 ，使得 ，若 ，就有 ；
若 ，就有 ，且 ，使得 ，即 成立.
综上， ，从而 .
15证明： ，
（2） ，根据除法定义，（2）成立.
（3） ，根据除法定义，（3）成立.
13证明： .
14证明：设 ，下，下面证明 三种关系有且仅有一个成立.
（1）先证明三个关系中至多有一个成立.
假若它们中至少有两个成立，若令 同时成立，则存在 ，使得：
于是 ，与 矛盾.
同理可证，任意两种关系均不能同时成立.
（2）再证明三中关系中至少有一个成立.
30不能，因为无理数对四则运算不封闭.例如 .
，
16证明：因为 ，
且 ， ，所以 ，即
17证明：因为 ，而有限个奇数的乘积仍是奇数，奇数个奇数的和也是奇数，因而 是奇数，
于是 ，同理有 ，
两式相加： ，所以 .
18解：因为 ，所以 和 必为一奇一偶.
若 为偶数，可验证质数 ，则
若 为偶数，可验证质数 ，则
所以 .
19证明：根据减法是加法的逆运算知，设 是有理数， 是这样一个数，它与 的和等于 ．即 ．但是，我们有
事实上，对于 显然有：
故有 .
由上面的讨论知， .
另一方面， .
故 .
22证明:(反证法)设 其中 是正整数,不妨假定 互素,
取自然数 ,用 乘下列级数表达式两边: ,得:
令 ,
于是 ,则 应为正整数, 应为整数.
但是
因为 ,故 ,即 不可能是整数,产生矛盾,所以 是无理数.
23证明：假设
两边 次得 ，
此文档下载后即可编辑
初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案
第一章 数
1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位 满足 ，和有序实数对 一起组成一个复数 .
2（略）
3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：
在（2）下，把一张5角的邮票换成两张3角的邮票便可以支付 角的邮票.
综合 、 ，命题对于不小于8的所有自然数成立.
8证明：（1）
（2）
当 时，命题成立.
假设 时命题成立，即 .那么 时，原 条直线有 个交点.由条件知，第 条直线与原 条直线各有一个交点，且互不相同.故新增 个交点，所以 .
综合 、 ，命题对于不小于2的所有自然数成立.