2.4.1 虚功原理


力学中最基本而且最普遍的原理之一。 用途：

求解平衡问题最一般的方法。 处在平衡状态中的任何系统，包括刚体、弹性体以及 塑性体。

适用范围：

2.4.1 虚功原理

虚位移与虚功

实位移（u）

由外力引起的、与外力紧密相关的、客观存在着的位移。

实功（W）

外力在相应实位移上所做的功、弹性体内力在相应变形上所做 的功。

扭转应变能
MT r J

dU T
f
2 2 1 1 M T dL 2 1 M T dL dfdL fr df 2 GJ 2 2 GJ
2 1 M T dL UT 2 L GJ
2.2.2 几种基本变形的应变能

组合变形下的应变能



在外载荷作用下，刚架结构杆件的内力有轴力、剪力 、弯矩和扭矩（对空间刚架），杆件产生的变形有拉 压、转角、杆截面在水平方向、垂直方向剪切变形， 和绕中心扭转产生的剪切变形。 当杆件变形很微小时，每一种内力仅在和自己相应的 变形上做功。 整个结构的应变能：
h1
q
1
L
h2
常 用 元 件 的 广 义 力 和 广 义 位 移
第2章
能量原理及其在结构分析中的应用



2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
弹性力学问题及基本方程 功和能的概念 广义力与广义位移 虚功原理和最小位能原理 余虚功原理和最小余能原理 叠加原理与位移互等定理 能量原理在结构分析中的应用
假想的、满足约束条件的、任意的、微小的连续位移。 对于弹性体，凡是在内部满足变形连续条件、在边界上满足几 何约束条件的任何一种微小位移都可选作为虚位移。 在发生虚位移的瞬间，弹性系统原外力和内力均保持不变。

虚位移（u）



2.4.1 虚功原理

虚位移与虚功

虚功（W）

弹性系统发生虚位移时，原外力在作用点发生的相应虚 位移上所做的功、原内力在虚位移引起的相应变形上所 做的功。



2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
弹性力学问题及基本方程 功和能的概念 广义力与广义位移 虚功原理和最小位能原理 余虚功原理和最小余能原理 叠加原理与位移互等定理 能量原理在结构分析中的应用
能量原理简介



能量原理是进行结构分析的基础。 是一些重要的近似解法，如瑞利-李兹法、伽辽金法 及有限元素法等的理论依据。 能量原理的理论基础是弹性力学基本理论。
2.3.2 典型元件举例

承受常剪流作用的矩形板
ΔL
1 2
h
q
γ
4
3
L
qFm 1 1 W Q12 L q 2 2 Gt
2.3.2 典型元件举例

变轴力杆
N1 1 2 N2
q
N 2 N1 N x N1 x L
d x dx Nx dx Ef
(a) N2
Nx N1 1 x L dx
2.2.2 几种基本变形的应变能

例题

图示简支梁，在横截面C处承受载荷F作用。试计算梁 的应变能与截面C的挠度。设弯曲刚度EJz为常数。
第2章
能量原理及其在结构分析中的应用



2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
弹性力学问题及基本方程 功和能的概念 广义力与广义位移 虚功原理和最小位能原理 余虚功原理和最小余能原理 叠加原理与位移互等定理 能量原理在结构分析中的应用


2 y z 2
2 2 z yz 2 yz y
2 z 2 x 2 zx 2 2 zx x z
2 z 1 xy yz zx z x y xy 2 x

在满足位移边界条件的所有容许的位移中，真实位移 ，即又满足平衡条件的位移必使弹性体的总位能有驻 值。 当系统为稳定平衡时，这个驻值是最小值，即总位能 为最小。 实际存在的位移，除了满足位移边界条件外，还满足 最小位能原理。
2.4.2 最小位能原理

应用

例题一

如图所示的桁架，在结点1处受到水平方向和垂直方向的集 中力Px和Py的作用。用最小位能原理求结点1的水平和垂直 位移。

剪切应变能
τ
df
h
y
L Q P b dL Q Q
Q z
Q
dL
QS z bJ z
dU Q f
1 1 Q 2 dL dQ dfdL K f 2 2 2Gf
f K 2 Jz
Q 2 dL U Q K L 2Gf
f
S z2 df 2 b
γdL
2.2.2 几种基本变形的应变能

线性弹性体

如果材料符合虎克定律，而且构 件或结构的变形很小，以致不影外力功（W）

在外力作用下，弹性体发生 变形，外力作用点随之发生 位移。外力在外力作用点相 应位移上所作的功。
W Pd fL d
0 0


2.2.1 外力功和应变能
2.2.2 几种基本变形的应变能

线弹性系统：


外力逐渐消除后，系统恢复原形态，不产生残余变形； 在外力作用下，产生的变形与外力、应变与应力之间的 关系服从虎克定律，呈线性关系； 线弹性系统的应变能和余能相等。
E 2 2 ~ U d Ed 0 0 2 2E
2.4.2 最小位能原理

外力位能（V）：
V ( {X } {u}dV {X } {u}dS )
V s T T

弹性体的总位能（）：
V U



一个泛函，是位移函数{u}的函数。 位移函数{u}是满足几何边界条件的任意的单值连续函 数——泛函的容许函数。 容许函数可以有无穷多组，每一组容许函数都对应有 的某一取值。
u
2 Px L EA
Px L v ( 2 2 ) EA
2.4.2 最小位能原理
δW Pδu
T

外力虚功（WE） 内力虚功（WI）
V
δWE {X } {δu}dV {X } {δu}dS
s
T


虚应变能（u）
δWI { }T {δ }dV
V
δU { } {δ }dV
V
T
2.4.1 虚功原理

虚功原理（虚位移原理）



如果弹性系统在外力作用下处于平衡状态，则当系统 发生满足变形连续条件和给定的几何约束条件的、任 意的、微小的虚位移时，系统中所有的外力和内力所 做的虚功总和为零。 δWE δWI 0 如果一个弹性体在给定的外力作用下处于平衡，则对 于约束条件允许的、任意的虚位移，外力所做的虚功 等于弹性体的虚应变能。 δW δU 外力和内力所做的虚功总和为零是物体处于平衡的充 分必要条件。
2 N 2 dL 1 M 2 dL 1 Q 2 dL 1 1 M T dL U K L L EJ L Gf L GJ 2 Ef 2 2 2 z
2.2.2 几种基本变形的应变能

组合变形下的应变能

同一类型的几个载荷共同作用时，所产生的应变能不 能用每个载荷单独作用产生的应变能之和求得。因为 一个载荷会在另一个载荷引起的变形上做功而产生交 叉项。

外力余功（W ）

曲线上面的那部分面积所代表的功量。
W P Pd dP
0 0

P
2.2.1 外力功和应变能

余应变能（U ）

余应变能密度
~ U d
0

余应变能
~ U U dV
V

外力余功等于弹性体的余应变能。
W U

余应变能无物理意义，但同样服从能量守恒原理。

轴向拉伸和压缩应变能
1 N2 ~ U N UdV dL V L Ef 2
2.2.2 几种基本变形的应变能

弯曲应变能
MdL d EJ z

1 1 M 2 dL dU M Md 2 2 EJ z
1 L M2 U M 2 0 EJ dL z
2.2.2 几种基本变形的应变能
2.2.1 外力功和应变能

弹性体的应变能（变形能、位能，U）


一个弹性体在外力作用下发生变形时，弹性体内所贮存的 能量。 弹性体的应变能等于外力所做的功，也等于负的内力功。
U W

应变能密度

单位体积弹性体内的应力在其应变上所做的功。
~ U d
0
2.2.1 外力功和应变能
P
1 W P 2
MT
x
1 W M T 2 1 W M 2
M
1 W （广义力）（广义位移） 2
2.3.1 广义力与广义位移的定义

任何一个或一组相互有关的力，如果可以用一个代数量来 表示它，则称它为一个广义力。

P = [P, MT, M]

与此广义力相对应的位移称为广义位移。
2
(b)
W
L
0
1 1 L L N x d [ N1 (2 N1 N 2 ) N 2 ( N1 2 N 2 ) 2 2 6 Ef 6 Ef
2.3.2 典型元件举例